WM

Z9/1. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 1

1

Z9/1. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 1

Z9/1.1. Zadanie 1

Rysunek Z9/1.1 przedstawia wykresy sił przekrojowych w belce prostej. Belka jest wykonana z dwu-

teownika szerokostopowego. Jest on pochylony o kąt 18 stopni w stosunku do pionu. Przedstawia to rysunek
Z9/1.2. Wykorzystując Tablice do projektowania prętów zginanych ukośne zaprojektować przekrój pręta
a następnie wykonać wykres naprężenia normalnego

σ

X

w najbardziej obciążonym przekroju oraz w przek-

roju nad podporą C. Wytrzymałość stali, z której wykonana jest belka wynosi 215 MPa.

A

B

C

D

12,0 kN

24,0 kN/m

6,0

2,0

2,0

[m]

51,0 kN

33,0 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

2,760

3,240

2,760

3,240

51

,0

21,0

12,0

0,

0

18

,0

24

,0

0,

0

63

,3

7

Rys. Z9/1. Wykresy sił przekrojowych w belce

Y=Y

gl

Z=Z

gl

18

0

Rys. Z9/1.2. Położenie przekroju pręta w stosunku do płaszczyzny obciążenia

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/1. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 1

2

Z9/1.2. Zaprojektowanie przekroju pręta

Na podstawie wykresów sił przekrojowych możemy stwierdzić, że wartość bezwzględna ekstre-

malnego momentu zginający na długości belki wynosi

M

Y

EXT

=

63,37 kNm

=

6337kNcm

.

(Z9/1.1)

W Tablicy T9.8 dla dwuteowników szerokostopowych w kolumnie odpowiadającej nachyleniu 18 stopni
odnajdujemy pierwszy przekrój, którego nośność jest większa niż ekstremalny moment zginający (Z9/1.1).
Przekrojem tym jest dwuteownik szerokostopowy 200, którego nośność wynosi

M

R

=

66,90 kNm

.

(Z9/1.2)

Nie musieliśmy stosować współczynnika (T9.7), ponieważ wytrzymałość stali wynosi 215 MPa.

Rysunek Z9/1.3 przedstawia podstawowe wymiary przekroju pręta. Wartości głównych momentów

bezwładności odczytane w Tablicach do projektowania konstrukcji metalowych wynoszą

J

Y

=

J

Ygl

=

5700 cm

4

,

(Z9/1.3)

J

Z

=

J

Zgl

=

2000 cm

4

.

(Z9/1.4)

Y=Y

gl

Z=Z

gl

[cm]

10,0

10,0

10

,0

10

,0

Rys. Z9/1.3. Wymiary dwuteownika szerokostopowego 200

Z9/1.3. Wykres naprężenia normalnego w najbardziej obciążonym przekroju

Najbardziej obciążonym przekrojem jest ten przekrój, w którym moment zginający ma wartość

ekstremalną. Moment ten rozciąga dolną część pręta. Rysunek Z9/1.4 przedstawia składowe wypadkowego
wektora momentu zginającego po kierunkach osi głównych. Oba momenty mają zwroty zgodne ze zwrotami
osi głównych więc oba są dodatnie. Ich wartości wynoszą

M

Y

=

6337

⋅

cos



18

°



=

6027 kNcm

,

(Z9/1.4)

M

Z

=

6337⋅sin



18

°



=

1958 kNcm

.

(Z9/1.5)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/1. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 1

3

Y=Y

gl

Z=Z

gl

18

0

18

0

6337 kNcm

6027 k

Ncm

1958 kNcm

Rys. Z9/1.4. Składowe momentu zginającego po kierunkach osi głównych w najbardziej obciążonym przekroju

Funkcja naprężenia normalnego, zgodnie z (9.7) ma postać



X

=−

1958
2000

⋅

y



6027
5700

⋅

z

=−

0,979

⋅

y



1,057

⋅

z

.

(Z9/1.6)

Równanie osi obojętnej ma postać

−

0,979⋅y 1,057⋅z=0

.

(Z9/1.7)

Możemy je przedstawić w postaci

1,057⋅z=0,979⋅y

.

(Z9/1.8)

Ostatecznie równanie osi obojętnej będzie miało postać

z=0,9262⋅y

.

(Z9/1.9)

Kąt nachylenia osi obojętnej do osi Y=Y

gl

wynosi więc



=

arctan



0,9262

=

42,81°

.

(Z9/1.10)

Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z9/1.5. Jak widać na nim najdalej oddalonymi punktami od osi
obojętnej są punkty 1 i 2. Naprężenie normalne w tych punktach wynosi



X



1



=−

0,979

⋅



10,0



1,057

⋅

−

10,0

=−

20,36

kN

cm

2

=−

203,6 MPa

,

(Z9/1.11)



X



2



=−

0,979⋅



−

10,0





1,057⋅



10,0



=

20,36

kN

cm

2

=

203,6 MPa

.

(Z9/1.12)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/1. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 1

4

Y=Y

gl

Z=Z

gl

42,81

0

1

2

Rys. Z9/1.5. Położenie osi obojętnej w najbardziej obciążonym przekroju

Wykres naprężenia normalnego w przekroju odnosimy na prostej prostopadłej do osi obojętnej. Wykres ten
przedstawia rysunek Z9/1.6. Jak widać jest to wykres liniowy a wartości bezwzględne największych
naprężeń normalnych nie przekraczają wytrzymałości 215 MPa.

Y=Y

gl

Z=Z

gl

42,81

0

1

2

σ

X

[MP

a]

203

,6

203

,6

0,0

Rys. Z9/1.6. Wykres naprężenia normalnego w najbardziej obciążonym przekroju

Z9/1.4. Wykres naprężenia normalnego w przekroju nad podporą C

Zgodnie z wykresem momentu zginającego w przekroju nad podporą C działa moment zginający

rozciągający górną część belki a jego wartość bezwzględna wynosi

∣

M

Y

∣

=

24,0 kNm

=

2400 kNcm

.

(Z9/1.13)

Rysunek Z9/1.7 przedstawia składowe wypadkowego wektora momentu zginającego po kierunkach

osi głównych w przekroju nad podporą C. Momenty te wynoszą

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/1. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 1

5

Y=Y

gl

Z=Z

gl

18

0

18

0

2400 kNcm

2283 kNc

m

741,6 k

Ncm

Rys. Z9/1.7. Składowe momentu zginającego po kierunkach osi głównych w przekroju nad podporą C

M

Y

=−

2400⋅cos



18

°



=−

2283 kNcm

,

(Z9/1.14)

M

Z

=−

2400⋅sin



18

°



=−

741,6 kNcm

.

(Z9/1.15)

Oba momenty mają zwroty przeciwne do zwrotów osi głównych więc oba są ujemne.

Funkcja naprężenia normalnego, zgodnie z (9.7) ma postać



X

=−

−

741,6

2000

⋅

y

−

2283

5700

⋅

z=0,3708⋅y−0,4005⋅z

.

(Z9/1.16)

Równanie osi obojętnej ma postać

0,3708⋅y−0,4005⋅z=0

.

(Z9/1.17)

Możemy je przedstawić w postaci

0,4005⋅z=0,3708⋅y

.

(Z9/1.18)

Ostatecznie równanie osi obojętnej będzie miało postać

z=0,9258⋅y

.

(Z9/1.19)

Kąt nachylenia osi obojętnej do osi Y=Y

gl

wynosi więc

=

arc tan



0,9258



=

42,79°

.

(Z9/1.20)

Jak widać wartość ta jest w przybliżeniu równa wartości wyznaczonej ze wzoru (Z9/1.10). Położenie osi
obojętnej przedstawia rysunek Z9/1.8. Jak widać na nim najdalej oddalonymi punktami przekroju od osi
obojętnej są punkty 1 i 2. Naprężenie normalne w tych punktach wynosi

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z9/1. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 1

6

Y=Y

gl

Z=Z

gl

42,79

0

1

2

Rys. Z9/1.8. Położenie osi obojętnej w przekroju nad podporą C



X



1



=

0,3708⋅



10,0



−

0,4005⋅



−

10,0



=

7,713

kN

cm

2

=

77,13 MPa

,

(Z9/1.21)



X



2



=

0,3708⋅



−

10,0



−

0,4005⋅



10,0



=−

7,713

kN

cm

2

=−

77,13 MPa

.

(Z9/1.22)

Rysunek Z9/1.9 przedstawia wykres naprężenia normalnego w przekroju nad podporą C.

Y=Y

gl

Z=Z

gl

42,79

0

1

2

σ

X

[MP

a]

77,1

3

0,0

77,1

3

Rys. Z9/1.9. Wykres naprężenia normalnego w przekroju nad podporą C

Dr inż. Janusz Dębiński