WM

Z6/1. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 1

1

Z6/1. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 1

Z6/1.1. Zadanie 1

Pręt o przekroju blachownicowym jest to pręt, który jest zbudowany z blach połączonych między sobą

za pomocą spawania. Rysunek Z6/1.1 przedstawia blachownicę o przekroju dwuteowym. Wszystkie
wymiary dwuteownika podane są w centymetrach. Grubości blach użytych na półki są jednakowe. W przek-
roju tym wyznaczymy wartości głównych momentów bezwładności.

4,0

Z

0

=Z

gl

Y

0

=Y

gl

20,0

10,0

10,0

28

,0

4,0

18

,0

18

,0

2,0

[cm]

sc

Rys. Z6/1.1. Blachownica dwuteowa

Z6/1.2. Wyznaczenie środka ciężkości

Ponieważ przekrój dwuteowy posiada dwie osie symetrii środek ciężkości znajduje się w punkcie ich

przecięcia. Rysunek Z6/1.1 przedstawia położenie środka ciężkości.

Z6/1.3. Główne momenty bezwładności

Ponieważ osie środkowe są także osiami symetrii to możemy stwierdzić, że dewiacyjny moment

bezwładności dwuteownika w układzie osi środkowych Y

0

Z

0

wynosi zero. Jeżeli wynosi on zero to układ osi

środkowych Y

0

Z

0

jest także układem osi głównych.

Na rysunku Z6/1.2 przedstawiono najbardziej naturalny podział przekroju dwuteowego na trzy

prostokąty: półkę górną i dolną o wymiarach 20,0 cm na 4,0 cm oraz środnik o wymiarach 28,0 cm na 2,0
cm. Środki ciężkości figur numer 1, 2 i 3 posiadają współrzędne

y

01

=

0,0 cm z

01

=−



14,0

4,0

2



=−

16,0 cm

,

(Z6/1.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/1. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 1

2

10,0

10,0

20,0

4,

0

14

,0

4,

0

14

,0

16

,0

16

,0

Z

0

=Z

gl

Y

0

=Y

gl

Z

01

Y

01

Z

02

Y

02

Z

03

Y

03

sc

3

[cm]

2,0

sc

1

sc=sc

2

Rys. Z6/1.2. Podział dwuteownika na figury składowe

y

02

=

0,0 cm z

02

=

0,0 cm

,

(Z6/1.2)

y

03

=

0,0 cm z

03

=

14,0

4,0

2

=

16,0 cm

.

(Z6/1.3)

Zgodnie ze wzorami (6.31), (6.32) momenty bezwładności względem osi Y

gl

i Z

gl

wynoszą

J

Y0

=

J

Ygl

=

20,0⋅4,0

3

12





−

16,0



2

⋅

20,0⋅4,0



2,0⋅28,0

3

12





0,0



2

⋅

28,0⋅2,0



20,0⋅4,0

3

12





16,0



2

⋅

20,0⋅4,0=44830 cm

4

.

(Z6/1.4)

J

Z0

=

J

Zgl

=

4,0⋅20,0

3

12





0,0



2

⋅

20,0⋅4,0



28,0⋅2,0

3

12





0,0



2

⋅

28,0⋅2,0



4,0⋅20,0

3

12





0,0



2

⋅

20,0⋅4,0=5352 cm

4

.

(Z6/1.5)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/1. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 1

3

Ponieważ moment bezwładności względem osi Y

0

=Y

gl

jest bardzo często wykorzystywanym momen-

tem bezwładności należałoby poszukać szybszej drogi jego obliczenia. Na rysunku Z6/1.3 przedstawiony
został podział dwuteownika w celu wyznaczenia momentu bezwładności względem osi Y

0

=Y

gl

. Jak widać

składa się on z dużego prostokąta o wymiarach 20,0 cm na 36,0 cm oraz odjętych dwóch prostokątów
o wymiarach 9,0 cm na 28,0 cm.

4,0

14

,0

4,0

14

,0

36

,0

20,0

Z

0

=Z

gl

Y

0

=Y

gl

Z

01

Y

01

Z

02

Y

02

Y

03

Z

03

[cm]

9,0

9,0

2,0

sc

2

sc=sc

1

sc

3

Rys. Z6/1.3. Podział dwuteownika na figury składowe

Środki ciężkości figur numer 1, 2 i 3 posiadają współrzędną z

równą

z

01

=

0,0 cm

,

(Z6/1.6)

z

02

=

0,0 cm

,

(Z6/1.7)

z

03

=

0,0 cm

.

(Z6/1.8)

Zgodnie ze wzorem (6.31) moment bezwładności względem osi Y

0

=Y

gl

wynosi

J

Y0

=

J

Ygl

=

20,0⋅36,0

3

12





0,0



2

⋅

20,0⋅36,0

−



9,0⋅28,0

3

12





0,0



2

⋅

9,0⋅28,0



−



9,0⋅28,0

3

12





0,0



2

⋅

9,0⋅28,0



=

20,0⋅36,0

3

12

−

2⋅9,0⋅28,0

3

12

=

44830 cm

4

.

(Z6/1.9)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z6/1. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 1

4

Z

0

=Z

gl

Y

0

=Y

gl

s

g

h

h

S

Rys. Z6/1.4. Ogólne wymiary dowolnego dwuteownika

Moment bezwładności względem osi Z

0

=Z

gl

najwygodniej jest liczyć przy podziale dwuteownika

według rysunku Z6/1.2 i wzoru (6.32) natomiast moment bezwładności względem osi Y

0

=Y

gl

najwygodniej

jest liczyć przy podziale dwuteownika według rysunku Z6/1.3 i wzoru (6.31). Rysunek Z6/1.4 przedstawia
dwuteownik. Moment bezwładności dwuteownika względem osi Y

0

=Y

gl

ogólnie wynosi

J

Y0

=

J

Ygl

=

s⋅h

3

−



s− g



⋅

h

s

3

12

.

(Z6/1.10)

Dr inż. Janusz Dębiński