Kinematyka i dynamika punktu i ciała sztywnego

Materiał nauczania

Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się badaniem ruchu ciał bez uwzględniania przyczyn, które ten ruch wywołują. Ruchem nazywamy zmianę położenia ciała względem innego ciała, które traktowane jest jako układ odniesienia. Ze względu układ odniesienia ruch dzielimy na:

− ruch bezwzględny; jest to ruch określony w ruchomym układzie odniesienia,

− ruch względny; jest to ruch określony względem ruchomego układu odniesienia.

Ruch punktu możemy określić równaniem prędkości:

v = f ( t)

i równaniem ruchu:

s = f ( t)

Ze względu kształt toru ruch można podzielić na:

− prostoliniowy − torem jest linia prosta,

− krzywoliniowy − torem jest dowolna linia na geometryczna na płaszczyźnie (ruch płaski) lub w przestrzeni (ruch przestrzenny).

Ruch prostoliniowy jednostajny

W ruchu prostoliniowym jednostajnym stosunek drogi do czasu, w którym ta droga została przebyta, nazywamy prędkością. Prędkość ma wartość stałą

s

v =

= const [m/s]

t

Droga w ruchu jest proporcjonalna do czasu trwania ruchu.

s = v ⋅ t równanie ruchu prostoliniowego jednostajnego Wykresem prędkości w ruchu jednostajnym jest odcinek równoległy do osi czasu, a pole zawarte pod wykresem prędkości przedstawia w odpowiedniej podziałce drogę. Graficznym odwzorowaniem drogi jest linia prosta nachylona do osi t pod kątem α . Wartość kąta α

przedstawia zależność

tgα = v =const

Jeżeli czas jest liczony od chwili, w której punkt przebył już drogę s , to całkowita droga o

wynosi s = s + v ⋅ t

o

a)

b)

Rys. 1. Wykresy: a) prędkości, b) drogi

Ruch prostoliniowy zmienny

Prędkość punktu zmienia się. Jeżeli prędkość rośnie, to mamy do czynienia z ruchem przyspieszonym, a gdy maleje z ruchem opóźnionym.

Stosunek przyrostu drogi do przyrostu czasu nazywamy prędkością średnią punktu.

s

∆

s − s

v =

= 2

1

t

∆

t − t

2

1

s

∆

Prędkością chwilową nazywamy granicę wyrażenia

, jeżeli przyrost ∆ t dąży do zera.

t

∆

∆ s

v =lim

, gdy ∆ t → 0

∆ t

Dla określenia przyspieszenia wyznaczamy przyrosty prędkości.

Przyspieszeniem średnim nazywamy stosunek przyrostu prędkości do czasu, w którym ten przyrost nastąpił.

∆ v v − v

a =

= 2

1

[m/s2]

t

∆

t − t

2

1

Przyspieszenie chwilowe określa zależność

∆ v

a =lim

, gdy ∆ t → 0

t

∆

Równanie prędkości ruchu jednostajnie zmiennego przyspieszonego

v = v + a ⋅ t

o

Równanie prędkości ruchu jednostajnie zmiennego opóźnionego

v = v − a ⋅ t

o

Równanie drogi

2

a ⋅ t

s = v ⋅ t ±

o

2

a)

b)

Rys. 2. Wykresy: a) prędkości, b) drogi

Ruch krzywoliniowy jednostajny

Torem takiego ruchu jest linia krzywa, do której styczne są wektory prędkości o równych wartościach.

Miejsce geometryczne wektorów prędkości wykreślonych ze wspólnego punktu nazywamy hodografem prędkości. Hodograf w ruchu krzywoliniowym jednostajnym jest łukiem okręgu o promieniu równym wartości prędkości poruszającego się punktu.

Rys. 3. Ruch krzywoliniowy jednostajny: a) wektory prędkości, b) hodograf prędkości Przyspieszenie chwilowe ma kierunek prostopadły (normalny) do prędkości poruszającego się punktu. Przyspieszenie związane ze zmianą kierunku wektora prędkości nazywa się przyspieszeniem normalnym.

Ruch krzywoliniowy zmienny

Wektory prędkości w tym ruchu zmieniają kierunek i wartość.

a)

b)

c)

Rys. 4. Ruch krzywoliniowy zmienny: a) wektory prędkości, b) hodograf prędkości, c) przyspieszenie Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym zmiennym tworzy z wektorem prędkości kąt α .

Po rozłożeniu przyspieszenia na dwa kierunki otrzymujemy przyspieszenie:

− normalne (dośrodkowe) a , o kierunku prostopadłym do toru i wartości a = a ⋅sinα , n

n

− styczne a , o kierunku prędkości i wartości a = a ⋅cosα .

t

t

Na podstawie kierunków i wartości składowych przyspieszenia a i a można ustalić n

t

klasyfikację ruchów:

a ≠0

a ≠0

− ruch krzywoliniowy zmienny

n

t

a =0

a ≠0

− ruch prostoliniowy zmienny

n

t

a ≠0

a =0

− ruch krzywoliniowy jednostajny

n

t

a =0

a =0

− ruch prostoliniowy jednostajny

n

t

Ruch jednostajny po okręgu

W czasie ruchu po okręgu o promieniu r punkt materialny przebywa w równych odstępach czasu równe drogi oraz zatacza równe kąty α . Prędkość punktu poruszającego się po okręgu nazywamy prędkością liniową lub obwodową.

Stosunek drogi kątowej α do czasu, w którym ta droga została przebyta, nazywamy prędkością kątową ω .

ω α

=

[rad/s]

t

Często prędkość kątową uzależniamy od ilości obrotów na minutę, wielkość tę nazywamy prędkością obrotową.

ω π ⋅ n

=

30

Prędkość liniowa v w ruchu jednostajnym po okręgu jest stała, równa iloczynowi prędkości kątowej ω i promienia r .

π ⋅ n⋅ r

v =ω ⋅ r =

30

W ruchu jednostajnym po okręgu wartość przyspieszenia stycznego jest równa zeru, a przyspieszenie normalne obliczamy ze wzorów

v 2

a = 2

ω ⋅ r =

n

r

Rys. 5. Ruch punktu po okręgu: a) prędkość i przyspieszenie, b) hodograf prędkości

Ruch zmienny po okręgu koła

W ruchu zmiennym po okręgu koła występuje przyspieszenie normalne i styczne do toru.

Wielkością charakteryzującą ten ruch jest przyspieszenie kątowe, które jest stosunkiem przyrostu prędkości kątowej do przedziału czasu, gdy ten dąży do zera.

ε

ω

=lim

, gdy ∆ t → 0

[rad/s2]

t

∆

Przyspieszenie normalne

v 2

a =

n

r

Przyspieszenie styczne

a = r ⋅ε ,

gdzie r − promień koła.

t

Ciała sztywne mogą poruszać się ruchem:

− postępowym,

− obrotowym,

− płaskim.

W ruchu postępowym punkty ciała sztywnego zakreślają jednakowe tory, na których wszystkie punkty mają jednakową prędkość i przyspieszenie.

W ruchu obrotowym ciała sztywnego punkty wykonują ruch dookoła prostej, zwanej osią obrotu. Jeżeli prędkość kątowa jest wielkością stałą ruch nazywa się ruchem obrotowym jednostajnym, a jeżeli zmienną ruchem obrotowym zmiennym.

Ruch płaski ciała sztywnego może być rozpatrywany jako suma dwóch ruchów: postępowego z prędkością dowolnego punktu ciała i obrotowego dookoła tego punktu z prędkością kątową lub może być w każdej chwili ruchem obrotowym dookoła chwilowego środka obrotu (S − środek chwilowego obrotu jest punktem przecięcia normalnych do wektorów prędkości).

a)

b)

r

r

r

V = V + V

A

B

B− A

Rys. 6. Ruch płaski bryły: a) suma ruchu postępowego i obrotowego, b) ruch obrotowy względem środka chwilowego obrotu

Prędkość punktów w ruchu płaskim możemy wyznaczyć kilkoma metodami:

− z wykorzystaniem twierdzenia o rzutach prędkości:

Rzuty prędkości dwu punktów ciała sztywnego, poruszającego się ruchem płaskim, na prostą łączącą te punkty są sobie równe.

Rys. 7. Rzuty prędkości i zastosowanie twierdzenia o rzutach prędkości

− metodą prędkości obróconych:

Linie działania prędkości obróconych wszystkich punktów poruszającego się przekroju przecinają się w chwilowym środku obrotu S. Końce wektorów prędkości obróconych leżą na prostej równoległej do prostej łączącej te punkty zwaną linią przewodnią prędkości obróconych.

Rys. 8. Prędkość obrócona i linia przewodnia prędkości obróconych

− metodą toru ocechowanego:

Prędkość w punkcie B:

w

v = k ⋅

B

2 ⋅ t

∆

gdzie:

v − Prędkość w punkcie B w cm/s

B

w − długość siecznej, w cm

t

∆ − czas, w jakim punkt przebywa drogę między sąsiednimi

punktami, w s,

k − podziałka długości

Rys. 9. Wyznaczanie prędkości metodą toru ocechowanego

− metodą planu prędkości:

Rys. 10. Wyznaczanie prędkości w czworoboku przegubowym metodą planu

W metodzie tej na podstawie równania wektorowego

r

r

v =

r

v + v

B

A

B− A

wyznacza się wykreślnie wartości i kierunki prędkości v i prędkości względnej v B

B−

.

A

Dynamika bada związki między ruchem ciała i przyczynami, który ten ruch wywołują.

Oparta jest na trzech prawach Newtona.

Pierwsze prawo ( prawo bezwładności): Punkt materialny lub ciało sztywne, na który nie działa żadna siła, lub działają siły równoważące się, pozostaje w spoczynku lub w ruchu jednostajnym prostoliniowym.

Drugie prawo: Przyspieszenie punktu materialnego lub ciała sztywnego jest proporcjonalne do wartości siły działającej na ten punkt i ma kierunek oraz zwrot zgodnie z działającą siłą

F = m ⋅ a (dynamiczne równanie ruchu punktu)

Trzecie prawo: Każdemu działaniu towarzyszy równe, lecz przeciwnie zwrócone przeciwdziałanie.

Z drugim prawem związana jest siła bezładności, która jest zwrócona przeciwnie niż

przyspieszenie ruchu.

a)

b)

Rys. 11. Siły bezwładności w ruchu obrotowym: a) pręta, b) punktu

Siła bezwładności jest równa iloczynowi masy poruszającego się ciała i przyspieszenia tego ruchu.

Suma wszystkich sił zewnętrznych działających na punkt materialny znajdujący się w ruchu równoważy się w każdej chwili z siłą bezwładności tego punktu.

(− m⋅ a)

F +

=0

zasada D′Alemberta

W ruchu postępowym badanie ruchu sprowadza się do badania jednego punktu, przy czym najczęściej punkt ten jest środkiem masy ciała. Siła F działająca na środek masy ciała w przestrzennym prostokątnym układzie osi współrzędnych x, y , z rozłożona może być na trzy składowe, które wywołują ruch wzdłuż tych osi.

Dynamiczne równania ruchu postępowego

F = m ⋅ a

x

x

F = m ⋅ a

y

y

F = m ⋅ a

z

z

Rys. 12. Ruch postępowy i równanie dynamiczne ruchu

W uchu obrotowym ciała sztywnego dookoła nieruchomej osi wyznaczmy dynamiczne równanie ruchu dla każdej elementarnej masy z uwzględnieniem elementarnego momentu obrotowego.

Dynamiczne równania ruchu obrotowego dla

elementarnej masy

F = m

∆ ⋅ a

i

i

i

Elementarny moment obrotowy

F r

m

2

r ⋅ε

i ⋅ i = ∆

i ⋅

i

Dynamiczne równanie ruchu obrotowego ciała

sztywnego

M = J ⋅ε

M − moment bezwładności ciała

J − masowy moment bezwładności ciała

ε − przyspieszenie kątowe

Rys. 13. Ruch obrotowy i równanie dynamiczne ruchu obrotowego

Masowe momenty bezwładności pól o prostych figurach i brył geometrycznych wyznacza się najczęściej względem osi przechodzącej przez środek masy (osie główne lub środkowe) korzystając ze wzorów z tabel.

Tabela 1. Masowe momenty bezwładności prostych figur i brył geometrycznych Rysunek figury

J

J

(bryły)

x

y

2

m ⋅ l

J =

J =0

x

y

12

koło

2

m ⋅ r

2

m ⋅ r

J =

J =

x

4

y

4

kula

2

2

J =

2

⋅ m ⋅ r

J =

2

⋅ m ⋅ r

x

5

y

5



2 

m

h

2

r

J =

2

r +

x





J = m ⋅

4 

3 

y

2

Gdy oś obrotu jest przesunięta równolegle do osi głównej masowy moment bezwładności oblicza się korzystając z twierdzenia Steinera.

2

J = J + m ⋅ z

l

o

Moment bezwładności ciała sztywnego względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności J względem osi równoległej do prostej l i przechodzącej przez o

środek masy oraz iloczynu masy i ciała i kwadratu odległości między nimi.

Z ruchomym punktem, który pod działaniem siły może się przesuwać wzdłuż

określonego toru, związana jest praca.

Praca mechaniczna w ruchu prostoliniowym jest równa iloczynowi siły działającej wzdłuż kierunku ruchu i drogi, jaką przebył punkt zaczepienia tej siły.

Praca w ruchu obrotowym wyraża się iloczynem momentu obrotowego M oraz kąta obrotu α wyrażonego w radianach.

a)

b)

W = F ⋅ s ⋅ cosα [1J = N⋅1m]

W = M ⋅α

Rys. 14. Praca w ruchu: a) prostoliniowym, b) obrotowym

Jednostką pracy w układzie jednostek SI jest dżul (J). Jest to praca wykonana siłą jednego niutona na drodze jednego metra.

Do oceny pracy zostało wprowadzone pojęcie mocy.

Moc P jest to iloraz pracy i czasu, w którym ta praca została wykonana.

W

J

1

P =

[W], 1W=

t

s

P = F ⋅ v

w ruchu prostoliniowym

P = M ⋅α

w ruchu obrotowym.

Jednostką mocy w układzie jednostek SI jest wat (W), czyli praca jednego dżula wykonana w czasie jednej sekundy.

W urządzeniach mechanicznych moment obrotowy (skręcający) oblicza się ze wzoru: P

M = 95514, 14 ⋅

[N⋅m]

n

P − moc w kW

n − prędkość obrotowa w obr/min.

Sprawnością maszyny η nazywamy stosunek pracy użytecznej W do pracy włożonej W .

u

W

W

u

η =

lub

u

η =

⋅100%

W

W

Sprawność można również określić stosunkiem mocy użytecznej P do mocy włożonej P .

u

Pu

η =

p

Jeżeli maszyna składa się z kilku mechanizmów, to sprawność ogólna jest iloczynem sprawności poszczególnych mechanizmów.

η =η

1 ⋅η 2 ⋅η

⋅K

3

⋅η n

Sprawność jest liczbą niemianowaną zawartą w przedziale 0 < η < 1.