WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
___________________________________________________________
Laboratorium M iernictwa Elektrycznego
Graficzna prezentacja wyników pomiarów
Instrukcja do ćwiczenia
Nr 15
Opracował dr inż. R. Piotrowski
___________________________________________________
Białystok 1999
2
Ć wi c z . N r 1 5 G r a f i c z n a p r e z e n t a c j a wy n i k ó w p o m i a r ó w
1. Wprowadzenie
raficzna forma wyników pomiaru, znana najczęściej jako tzw. wykres,
posiada istotne zalety, dla których jest powszechnie stosowana. Tak
G więc pozwala ona szybko ocenić charakter badanego zjawiska, układu,
elementu elektrycznego, itp. Pod tym względem jest wprost niezastą piona.
Umoż liwia dalej łatwe wychwycenie punktów szczególnych charakterystyki, tzn.
punktów zerowych, ekstremalnych, itp.
Waż ne znaczenie ma również fakt, iż dysponują c skoń czoną liczbą
wyników pomiaru, moż na przez sporzą dzenie wykresu uzyskać informacje
o charakterystyce obiektu dla dowolnego jej punktu z określonego przedziału.
Charakteryzowanie właściwości obiektów przy pomocy róż norodnych
form graficznych stosowane jest w nauce i technice powszechnie. Należ y przy
tym podkreślić , ż e spotykane w dokumentacjach, katalogach i innych
opracowaniach wykresy, mają znaczenie nie tylko poglą dowe. Bardzo często
bowiem są wykorzystywane w praktyce projektowej, eksploatacyjnej, a takż e
w badaniach naukowych jako ź ródła ścisłych informacji o właściwościach
obiektów.
Studenci powinni to sobie uświadomić by nie traktować sporzą dzanych
przez siebie wykresów jako czegoś drugorzędnego wobec pomiaru, lub co
gorsza, jako oderwanej od laboratoryjnej rzeczywistości pracy artystycznej, co
niestety zdarza się nad wyraz często.
Budowa układu współrzędnych prostoką tnych
Przeważ ają ca większość wielkości fizycznych ma charakter cią gły, a ich
obrazem graficznym jest linia cią gła występują ca w układzie współrzędnych
prostoką tnych.
Układ taki tworzą dwie osie liczbowe wzajemnie do siebie prostopadłe,
o wspólnym punkcie począ tkowym.
Oś liczbowa jest obrazem graficznym uporzą dkowanego zbioru
liczbowego
z
określonego
przedziału.
Każ demu
punktowi
prostej
przyporzą dkowana jest tu jedna i tylko jedna liczba. Wobec tego każ dej liczbie
odpowiada jedna i tylko jedna długość odcinka prostej, będą ca odległością
danego punktu od punktu zerowego (począ tkowego) osi. Określanie długości
3
Ć wi c z . N r 1 5 G r a f i c z n a p r e z e n t a c j a wy n i k ó w p o m i a r ó w
odcinków odwzorowujących poszczególne liczby danego zbioru odbywa się
w wię kszoś ci wypadków według nastę pującej formuły.
l = a ⋅ x
x
l = b ⋅
(1)
y
y
gdzie:
x, y - liczby ze zbiorów X , Y
l , l
x
y - długoś ci odcinków odpowiadające liczbom x, y odpowiednio na
osi poziomej (odcię tych) oraz pionowej (rzę dnych)
a, b - współczynniki proporcjonalnoś ci, wyraż ające długoś ci odcinków
jednostkowych na każ dej z osi
Zasady wyłoż one wyż ej ilustruje rys.1.
y
5
y = 4
P(3,4)
4
3
ly= 4 cm
(b= 1cm)
2
1
x
0
1
2
3
4
x = 3
lx= 6 cm (a = 2cm)
Rys.1. Zasada tworzenia układu współrzę dnych prostokątnych
Tworzenie układu współrzę dnych prostokątnych polega wię c na obliczaniu
długoś ci stosowanych odcinków prostej, a nastę pnie przez ich odkładanie od
punktu zerowego każ dej osi znajdowanie interesujących nas punktów tej osi.
Jest oczywiste, ż e tak znalezione punkty opisuje się liczbami
przedstawianymi graficznie a nie długoś ciami odcinków (rys.1).
4
Ć wi c z . N r 1 5 G r a f i c z n a p r e z e n t a c j a wy n i k ó w p o m i a r ó w
Papier milimetrowy
Do sporządzania układu współrzę dnych prostokątnych bardzo przydatny
jest tzw. papier milimetrowy. Zawiera on gę stą siatkę utworzoną przez dwie
rodziny prostych równoległych, wzajemnie do siebie prostopadłych. Linie
prowadzone są w odstę pach milimetrowych, a co piąta i co dziesiąta z nich jest
wyróż niona wię kszą gruboś cią.
Podziałka logarytmiczna
Podziałka logarytmiczna znajduje zastosowanie w przypadkach, gdy
przedział zmiennoś ci wielkoś ci x, y jest bardzo szeroki (rys.2). Gdyby w takich
razach konstruować podziałkę według formuły (1), tzn. liniową, punkty
odpowiadające małym liczbom byłyby trudne do zidentyfikowania na osi. Na
przykład punkt odpowiadający liczbie 10 musiałby leż eć 1000 razy bliż ej
początku układu współrzę dnych niż punkt odpowiadający liczbie 10 000. Jeś li
wię c liczbie 10 000 przyporządkowalibyś my odcinek długoś ci 15 cm, to liczbie
10 odpowiadać musiałby odcinek 0,015 cm, czyli tylko nieco dłuż szy od 0,1 mm.
Podziałkę logarytmiczną tworzy się przez przyporządkowanie liczbom
odcinków prostej według formuły (2).
lx = a ∗ log x
(2)
ly = b ∗ log y
gdzie:
x, y - liczby ze zbiorów X , Y
l , l
x
y - długoś ci odcinków odpowiadające logarytmom liczb x, y
odpowiednio na osi poziomej (odcię tych) oraz pionowej
(rzę dnych)
a, b - współczynniki proporcjonalnoś ci, wyraż ające długoś ci odcinków
jednostkowych na każ dej z osi
Podobnie jak poprzednio, również tym przypadku wyznaczone na osi
punkty opisuje się przedstawianymi graficznie liczbami. Zasadę takiego
odwzorowywania liczb na osiach układu współrzę dnych prostokątnych ilustruje
rys.2.
Zauważ my, ż e na osiach liczbowych nie znajdują swego obrazu liczby
z przedziału 0 ≤ x <1. Logarytm zera równy jest -∞, zaś liczbom ułamkowym
odpowiadają ujemne wartoś ci logarytmów. Liczb ułamkowych nie odwzorowuje
się w tym przypadku, to znaczy w przypadku gdy operuje się wartoś ciami bardzo
duż ymi, dla których podziałka logarytmiczna została stworzona.
5
Ć wi c z . N r 1 5 G r a f i c z n a p r e z e n t a c j a wy n i k ó w p o m i a r ó w
Wobec tego za punkt początkowy każ dej z osi, a wię c i układu
współrzę dnych przyjmuje się punkt odpowiadający liczbie 1 (log1 = 0).
Konstruowanie podziałki logarytmicznej jest doś ć ż mudne, gdy konieczne
staje się wyznaczenie na osiach liczb innych niż 10, 100, 1000 itp. Dlatego
najczę ś ciej korzysta się z gotowego papieru logarytmicznego. Na papierze takim
na obydwu osiach naniesione są punkty wg formuły (2) dodatkowo prowadzone
proste prostopadłe, tworzące gę stą nieregularną siatkę .
y
100000
P(103,104)
y = 104
10000
1000
ly= b∗log(104)=
= 4 cm
100
(b= 1cm)
10
x = 103
x
1
10
100
1000 10000
lx= a∗log(103)= 6cm
(a= 2 cm)
Rys.2. Zasada konstruowania podziałek logarytmicznych na osiach układu
współrzę dnych prostokątnych.
Na rys.3 przedstawiono układ punktów podstawowej sekwencji (1,10)
podziałki logarytmicznej. Odległoś ci mię dzy punktami w pozostałych
sekwencjach (rys. 4) są identyczne, lecz opisywane liczbami 10, 100, 1000 razy
wię kszymi. Jest to zrozumiałe, bowiem
log c - log d = log 10c - log 10d
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
Rys. 3. Rozmieszczenie punktów podstawowej sekcji podziałki logarytmicznej
Tablica 1 zawiera wartoś ci logarytmów liczb z przedziału (1, 10) i ma na
celu ułatwienie ć wiczącym sporządzanie własnych podziałek logarytmicznych.
6
Ć wi c z . N r 1 5 G r a f i c z n a p r e z e n t a c j a wy n i k ó w p o m i a r ó w
Ponieważ opisywanie punktów dużymi liczbami prowadziłoby do
pogorszenia czytelnoś ci opisu, w każdej sekwencji stosowany jest opis przy
użyciu liczb z przedziału (1,10). Ilustruje to rys. 4. W każdym kolejnym
przedziale liczbom tym należy przypisywać wartoś ci dziesię ciokrotnie wię ksze
niż w przedziale poprzednim.
Punktem począ tkowym osi niekoniecznie musi być liczba 1. Każda z osi
może zaczynać się liczbą 10, 100. itd., w zależnoś ci od konkretnych potrzeb.
Tablica 1
log 1 = 0,0000
log 2 = 0,3010
log 3 = 0,4771
log 4 = 0,6021
log 5 = 0,6990
log 6 = 0,7782
log 7 = 0,8451
log 8 = 0,9031
log 9 = 0,9542
log 10 = 1,0000
W użyciu jest także tzw. papier półlogarytmiczny, na którym na jednej osi
(zwykle osi rzę dnych) naniesiona jest podziałka liniowa, na drugiej zaś
logarytmiczna Papier taki stosowany jest w przypadkach, gdy tylko jedna ze
zmiennych funkcji y = f(x) przybiera wartoś ci z bardzo szerokiego przedziału.
Samodzielne sporządzanie podziałki logarytmicznej
Przystę pują c do sporzą dzania podziałki logarytmicznej, należy znać
najwię kszą wartoś ć wielkoś ci, która ma być odwzorowana na osi. Na tej
podstawie okreś lić można potrzebną liczbę n sekwencji podziałki (patrz rys.4),
zgodnie z warunkiem
Xmax ≤ 10n
ską d
log X
≤
max n
(3)
gdzie n - liczba naturalna
Najlepiej przy tym zaokrą glić liczbę Xmax do całkowitej potę gi dziesię ciu,
a nastę pnie obliczyć zgodnie z (3) liczbę sekwencji podziałki.
Jeżeli np. Xmax = 86 000 Hz, to zaokrą glają c tę wartoś ć do 100 000 Hz,
otrzymujemy zgodnie z (3) n = 5.
7
Ć wi c z . N r 1 5 G r a f i c z n a p r e z e n t a c j a wy n i k ó w p o m i a r ó w
1 2 3 4 5 6 7 8 10
2 3 4 5 6 7 8 102 2 3 4 5 6 7 8 103
sekwencja I
sekwencja II
sekwencja III
Rys. 4. Przykład opisu osi zawierającej trzy sekwencje podziałki logarytmicznej
Nie zawsze jednak tak duż a liczba sekwencji jest potrzebna. Jeś li na osi
nie muszą być odwzorowywane np. pojedyncze herce, to wystarczy przyjąć
n = 4, a gdy dodatkowo nie muszą być takż e zaznaczane dziesiątki herców,
wtedy n = 3. Kwestia ta zostanie wyjaś niona bliż ej w dalszej czę ś ci instrukcji.
Po ustaleniu liczby n , należ y zorientować się , jaka długoś ć na osi moż e być
przeznaczona na jedną sekwencję . Zależ y to od formatu posiadanego arkusza
papieru.
Niech długoś ć odpowiadająca jednej sekwencji wynosi L, wtedy długoś ci
odpowiadające liczbom z przedziału (1, 10) okreś lone są zależ noś cią,
lx = L log x
(4)
Sporządzając samodzielnie podziałkę logarytmiczną, moż emy nanieś ć na
osi te punkty, które są nam potrzebne do sporządzenia wykresu, ale oprócz tego
powinniś my takż e oznaczyć te punkty „standardowe”, tzn. spotykane na
produkowanym fabrycznie papierze logarytmicznym.
Odległoś ci lx obliczone i naniesione dla pierwszej sekwencji, mogą być
przeniesione cyrklem lub specjalnym przenoś nikiem na pozostałe sekwencje osi,
jak wiadomo bowiem, układ punktów dla każ dej sekwencji jest taki sam.
Formuła (4) pozwala takż e znaleź ć na papierze fabrycznym te punkty,
które nie są oznaczone. Należ y w tym celu zmierzyć długoś ć L pojedynczej
sekwencji.
Szczegółowe zasady sporządzania wykresów
Niech dane bę dą dwa zbiory wyników pomiaru wielkoś ci y, x, o których
wiadomo, ż e istnieje mię dzy nimi związek y = f(x). Należ y na podstawie tej
ograniczonej liczby danych pomiarowych wykreś lić linię ciągłą, która
stanowiłaby obraz graficzny funkcji y = f(x). Zadanie to należ y wykonać według
nastę pujących zasad.
8
Ć wi c z . N r 1 5 G r a f i c z n a p r e z e n t a c j a wy n i k ó w p o m i a r ó w
1. Dokonać analizy otrzymanych z pomiaru wyników i zdecydować o wyborze
potrzebnego papieru (milimetrowego, logarytmicznego, czy półlogaryt-
micznego).
2. Zarysować lekko ołówkiem na posiadanym arkuszu papieru ramy wykresu,
pamię tają c o koniecznoś ci pozostawienia z jego lewej strony marginesu
o szerokoś ci 3 cm., z prawej zaś - ok. 1,5 cm, jak też pozostawieniu wolnego
miejsca u góry (tytuł) i u dołu wykresu (podpisy, objaś nienia). Moż na np.
zaplanować wykres na planie kwadratu, albowiem wskazane jest aby obie osie
układu współrzę dnych miały zbliż one do siebie długoś ci. Okreś lanie obydwu
współrzę dnych punktów wykresu jest wtedy obarczone jednakowymi błę dami
wzglę dnymi.
3. Narysować obydwie osie układu i oznaczyć na nich taką iloś ć punktów równo
od siebie odległych, jaka się zmieś ci. Jeż eli posługujemy się papierem
milimetrowym, to niezależ nie od jego formatu, poleca się oznaczenie punktów
co 5 , 10 lub 20 mm. Mniej korzystne są odległoś ci 15 mm, ze wzglę du na
póź niejsze trudnoś ci przy interpolowaniu (nieprzyjemne dzielenie przez 15).
Wybrane punkty oznaczamy krótkimi (2mm), prostopadłymi od osi kreskami
skierowanymi ku wnę trzu układu współrzę dnych.
4. Opisać liczbami oznaczone punkty osi. Zadanie to wymaga wyczucia
i doś wiadczenia. Moż na polecić tu nastę pują ce zasady:
a) nie wszystkie oznaczone punkty osi muszą być wykorzystane.
b) nie wszystkie punkty oznaczone na osi muszą być opisane liczbami, moż na np.
opisać co drugi oznaczony punkt, unikają c w ten sposób nadmiernego
zagę szczenia liczb.
c) opis powinien zapewniać łatwoś ć interpolacji, tzn. okreś lania liczb dla
punktów położ onych mię dzy dwoma są siednimi punktami opisanymi.
d) wartoś ć ostatniego opisanego punktu powinna nieznacznie przekraczać
maksymalny wynik pomiaru.
9
Ć wi c z . N r 1 5 G r a f i c z n a p r e z e n t a c j a wy n i k ó w p o m i a r ó w
Przykład 1
Jeżeli przy zdejmowaniu pewnej charakterystyki, zmieniano napię cie do zera
do 220V, to oś napię ć może być przykładowo opisana tak, jak pokazuje rys. 5.
U
0
20
40
60 80
100 120 140 160 180 200 220 V
U
0
40
80
120
160
200
240
V
U
0
30
60
90
120
150
180
210
240
V
Rys.5. Możliwe warianty opisu osi układu współrzę dnych.
5. Jeżeli liczby opisują ce oś są zbyt duże (np. 1500) lub zbyt małe (np. 0,0002),
co może pogorszyć czytelnoś ć opisu, wskazane jest dziesię cio-, stu- lub
tysią ckrotne (najwłaś ciwsze) zmniejszenie ich lub zwię kszenie, a w ś lad za
tym umieszczenie na koń cu osi stosownego mnożnika, albo zmiana jednostki
miary danej wielkoś ci, tak jak to pokazano na rys.6.
I
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
x10-3 A
I
0
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
2,4
mA
Rys. 6. Przykład opisu osi z zastosowaniem mnożnika
6. Począ tkowy punkt osi nie musi być koniecznie opisany zerem. Jeżeli wyniki
pomiarów zawierają się w przedziale liczbowym nie zawierają cym zera
i odległym od niego, to począ tek osi może być opisany liczbą bliską naj-
mniejszemu wynikowi pomiaru.
10
Ć wi c z . N r 1 5 G r a f i c z n a p r e z e n t a c j a wy n i k ó w p o m i a r ó w
7. W koniecznych przypadkach dopuszczalne jest stosowanie innej skali na
półosi dodatniej, innej zaś na półosi ujemnej. Jest to na przykład konieczne
przy wykreślaniu charakterystyki prą dowo-napię ciowej diody Zenera.
8. Obowiązuje zasada, iż nad osią odcię tych ( na jej koń cu) umieszcza się
symbol wielkoś ci, pod osią zaś - symbol jednostki (patrz rys.5 i rys. 6).
Dla osi rzę dnych zasada ta brzmi - z lewej strony osi symbol jednostki - z
prawej - symbol wielkoś ci. Liczby umieszcza się z lewej strony osi
rzę dnych i pod osią odcię tych.
9. W przypadku papieru logarytmicznego lub półlogarytmicznego, jesteśmy
bardziej ograniczeni w wyborze, jako ż e punkty osi układu zastajemy już
opisane. Jak już wyjaśniano, na papierze takim znajduje się kilka identycznych
sekwencji
punktów
(rys.4).
Uż ytkownik
korzystać
moż e
z jednej lub wię cej sekwencji, przypisują c ponadto zastanym liczbom wartości
10k krotnie wię ksze (k = 1,2,3,...). Kwestię tę wyjaśniają podane niż ej
przykłady.
Przykład 2
Podczas badań pewnego obiektu, zmieniano czę stotliwość napię cia
podawanego na jego wejście. Zanotowano przy tym nastę pują ce czę stotliwości:
5, 10, 20, 40, 60, 80,100, 200, 400, 600, 800, 1000 Hz.
Sposób wykorzystania podziałki logarytmicznej jest tu jasny. Pojedynczym
hercom przypisać należ y punkty z I sekwencji, dziesią tkom herców punkty z II
sekwencji, zaś setkom herców - z III sekwencji. W tej ostatniej znajdzie
odwzorowanie takż e czę stotliwość 1000 Hz (jako ostatni punkt).
Przykład 3
W podobnym do opisanego doświadczeniu zanotowano nastę pują ce
czę stotliwości: 500, 1000, 5000, 10 000, 50 000, 100 000 Hz. Jeż eli do
dyspozycji mamy podziałkę logarytmiczną z rys. 4 (jest tu wystarczają ca), to
liczbom z I sekwencji należ y przypisać wartości 100 razy wię ksze od podanych,
zaś liczbom z każ dej nastę pnej sekwencji dziesię ciokrotnie wię ksze od wartości
liczb z sekwencji poprzedniej (pierwszy punkt osi oznaczyć trzeba wtedy liczbą
100).
11
Ć wi c z . N r 1 5 G r a f i c z n a p r e z e n t a c j a wy n i k ó w p o m i a r ó w
Sposób nanoszenia punktów i kreślenia krzywej
Punkty wykresu nanosi się ostrym, niezbyt miękkim ołówkiem, odciskają c
najpierw jego ś lad punktowy, a następnie przekreś lają c go niewielkim
krzyż ykiem.
Przez naniesione punkty prowadzi się linię cią głą , prowadzą c ołówek przy
krzywiku. Krzywik (jeden z trzech występują cych zwykle w komplecie)
powinien obejmować co najmniej trzy punkty, zaś kreś lona krzywa powinna
być doprowadzona do połowy odległoś ci między dwoma są siednimi punktami.
Jej dalszy odcinek moż e być kreś lony przy innym położ eniu krzywika.
Poszczególne odcinki powinny tworzyć łą cznie gładką , pozbawioną
jakichkolwiek załamań linię cią głą .
Gdyby objęcie krzywikiem trzech punktów było niemoż liwe, należ y
prowadzić krzywą między punktami tak, aby w koń cowym rezultacie po obu
stronach wykreś lonej linii znajdowała się w przybliż eniu taka sama liczba
punktów.
Moż na w tym przypadku stosować technikę polegają cą na łą czeniu
są siednich punktów pomocniczymi odcinkami prostej, a następnie prowadzeniu
krzywej przez ś rodki tych odcinków.
Wszystkie pomocnicze linie muszą być znacznie słabiej widoczne niż
krzywa wykresu.
Jeż eli we wspólnym układzie współrzędnych ma być wykreś lonych kilka
krzywych, moż na je wyróż nić kolorami, nie zakrywają c jednak obrazu
kreś lonego ostrym ołówkiem..
Poza tym poszczególne krzywe moż na odróż nić stosownymi przepisami
prowadzonymi równolegle do tych krzywych lub w inny czytelny sposób.
Pod wykresami powinien znaleź ć się stosowny podpis oraz dodatkowe
objaś nienia, jeś li potrzebne to jest do właś ciwego zrozumienia wykresów.
Przedstawione w tej instrukcji zasady, nie wyczerpują wszystkich
zagadnień zwią zanych z graficznym przedstawianiem wyników pomiarów.
Wynika to m.in. z mnogoś ci przypadków, z jakimi moż na się spotkać w prak-
tyce pomiarowej.
Swoje umiejętnoś ci w tej dziedzinie należ y doskonalić przez uważ ne
ś ledzenie wykresów zamieszczonych w dobrych wydawnictwach naukowych
i technicznych.
12
Ć wi c z . N r 1 5 G r a f i c z n a p r e z e n t a c j a wy n i k ó w p o m i a r ó w
2. Przebieg ćwiczenia
Studenci wykreślają , zgodnie z poznanymi zasadami, krzywe wynikają ce z
przedstawionych niż ej wyników pomiarów zawartych w Tablicy 2 oraz
Tablicy 3. Wykonane prace podlegają ocenie i decydują o zaliczeniu ć wiczenia.
Zadanie 1
Wykreśl charakterystykę I = f(U) na podstawie wyników pomiaru
zawartych w Tablicy 2.
Tablica 2
U
V
0
1,5
3,0
4,5
6,0
7,5
9,0
10,5
I
mA
0
2,3
3,6
5,9
6,6
8,4
8,3
9,3
Zadanie 2
Wykreśl charakterystykę R = f(I) na podstawie wyników pomiaru
zawartych w Tablicy 3.
Tablica 3
I
mA
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
R
Ω
95
81
67,5 54,5 43,5 33,8 25,5 19,1 14,3 11,2
10
Zadanie 3
(studenci samodzielnie sporzą dzają podziałkę logarytmiczną )
Wykreśl funkcję y = x2 dla nastę pują cych wartości argumentu x:
Tablica 4
x
1 2
5
10
20
50
100
200
500
1000
Każ dy z trzech wykresów należ y zamieścić na oddzielnym arkuszu papieru
milimetrowego, opisać zależ nością funkcyjną , której jest on obrazem,
a takż e podać nazwisko i imię autora.
13
Ć wi c z . N r 1 5 G r a f i c z n a p r e z e n t a c j a wy n i k ó w p o m i a r ó w
3. Literatura
Jako literaturę poleca się wszelkie techniczne wydawnictwa ksią ż kowe
oraz czasopisma, w których zwrócić należ y uwagą na zamieszczone tam
przykłady graficznego przedstawiania zależ noś ci funkcyjnych.