I. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest poznanie podstawowych zagadnień związanych z opracowaniem

wyników pomiaru.

II. Wprowadzenie

Umiejętność właściwego opracowania wyników pomiaru jest niezbędna w wielu dziedzinach

nauki, techniki oraz gospodarki.

Pomiary można ogólnie podzielić na bezpośrednie lub pośrednie. Pomiarem bezpośrednim

jest na przykład pomiar napięcia stałego za pomocą woltomierza. Przykładem pomiaru

pośredniego jest pomiar rezystancji metodą techniczną: prąd płynący przez mierzony rezystor

jest mierzony za pomocą amperomierza, a spadek napięcia na rezystorze – za pomocą

woltomierza. Rezystancja obliczana jest z prawa Ohma.

Klasyfikacja błędów

Ogólnie błędy dzieli się na:

1) systematyczne,

2) przypadkowe,

3) nadmierne (grube).

Powyższy podział powstał na podstawie obserwacji zachowania się wyników pomiaru przy

powtarzaniu doświadczenia pomiarowego.

III. Opracowanie wyników

1) Pomiar napięcia (programowany generator funkcyjny)

a) multimetr cyfrowy RIGOL (seria DM3000)

Seria pomiarowa N = 30

Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej

arytmetycznej):

$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{S_{x}}{\sqrt{N}} = \frac{0,000844}{\sqrt{30}} = 0.000154$

Niepewność typu B:

$u_{B}\left( x \right) = \frac{a}{\sqrt{3}}$

gdzie:

- a to rozpiętość przedziału obliczona z wzoru zawartego

w dokumentacji przyrządu.

Dla zakresu 20[V]: a = 0.2%odczytu + 0.1%zakresu

czyli:

$a = \frac{0.2}{100} \bullet 5.044133 + \frac{0.1}{100} \bullet 20 = 0.030088$

tak więc:

$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.030088}{\sqrt{3}} = 0.017371$

Standardowa niepewność końcowa:

$u_{C}\left( x \right) = \sqrt{\left( u_{A}\left( x \right) \right)^{2} + \left( u_{B}\left( x \right) \right)^{2}}$

u_C(x) = 0.01737

Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 30:

U = 5.044 ± 0.017[V]

gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest

wartością złożonej niepewności standardowej u_c, a nie

jest przedziałem ufności.

Seria pomiarowa N = 10

Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej

arytmetycznej):

$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{0,000500}{\sqrt{10}} = 0.000158$

Niepewność typu B:

$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.030095}{\sqrt{3}} = 0.017375$

Standardowa niepewność końcowa:

u_C(x) = 0.01737

Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 10:

U = 5.048 ± 0.017[V]

gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest

wartością złożonej niepewności standardowej u_c, a nie

jest przedziałem ufności.

Seria pomiarowa N = 4

Niepewność typu A (z rozkładu t-studenta):

- liczba stopni swobody

k = N − 1 = 3

- kwantyl dla określonego poziomu ufności α=0,6827 i

stopnia swobody

t_k, α = 1.20

$S_{x} = \frac{0.0005}{\sqrt{4}} = 0.00025$

u_A(x) = t_k, α • S_x = 1.20 • 0.00025 = 0.000208

Niepewność typu B (analogicznie jak poprzednio):

$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.030098}{\sqrt{3}} = 0.017377$

Standardowa niepewność końcowa:

u_C(x) = 0.017378

Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 4:

U = 5.049 ± 0.017[V]

b) multimetr cyfrowy METEX

Seria pomiarowa N = 30

Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej

arytmetycznej):

$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{0,000889}{\sqrt{30}} = 0.000162$

Niepewność typu B:

a = 1%odczytu + 3dgts

$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.050195}{\sqrt{3}} = 0.02898$

Standardowa niepewność końcowa:

u_C(x) = 0.02898

Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 10:

U = 5.037 ± 0.028[V]

gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest

wartością złożonej niepewności standardowej u_c, a nie

jest przedziałem ufności.

Seria pomiarowa N = 10

Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej

arytmetycznej):

$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{0,001}{\sqrt{10}} = 0.000316$

Niepewność typu B:

a = 1%odczytu + 3dgts

$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.050187}{\sqrt{3}} = 0.02897$

Standardowa niepewność końcowa:

u_C(x) = 0.02897

Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 10:

U = 5.037 ± 0.028[V]

gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest

wartością złożonej niepewności standardowej u_c, a nie

jest przedziałem ufności.

Seria pomiarowa N = 4

Niepewność typu A (z rozkładu t-studenta):

- liczba stopni swobody

k = N − 1 = 3

- kwantyl dla określonego poziomu ufności α=0,6827 i

stopnia swobody

t_k, α = 1.20

$S_{x} = \frac{0.001}{\sqrt{4}} = 0.0005$

u_A(x) = t_k, α • S_x = 1.20 • 0.0005 = 0.0006

Niepewność typu B (analogicznie jak poprzednio):

$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.05016}{\sqrt{3}} = 0.02979$

Standardowa niepewność końcowa:

u_C(x) = 0.029796

Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 4:

U = 5.035 ± 0.029[V]

2) Pomiar napięcia (autotransformator)

a) multimetr cyfrowy RIGOL (seria DM3000)

Seria pomiarowa N = 30

Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej

arytmetycznej):

$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{S_{x}}{\sqrt{N}} = \frac{0,010502}{\sqrt{30}} = 0.001917$

Niepewność typu B:

$u_{B}\left( x \right) = \frac{a}{\sqrt{3}}$

gdzie:

- a to rozpiętość przedziału obliczona z wzoru zawartego

w dokumentacji przyrządu.

Dla zakresu 20[V]: a = 0.2%odczytu + 0.1%zakresu

czyli:

$a = \frac{0.2}{100} \bullet 5.067533 + \frac{0.1}{100} \bullet 20 = 0.030135$

tak więc:

$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.030135}{\sqrt{3}} = 0.017398$

Standardowa niepewność końcowa:

$u_{C}\left( x \right) = \sqrt{\left( u_{A}\left( x \right) \right)^{2} + \left( u_{B}\left( x \right) \right)^{2}}$

u_C(x) = 0.01737

Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 30:

U = 5.068 ± 0.017[V]

gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest

wartością złożonej niepewności standardowej u_c, a nie

jest przedziałem ufności.

Seria pomiarowa N = 10

Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej

arytmetycznej):

$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{0,005}{\sqrt{10}} = 0.00158$

Niepewność typu B:

$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.0301616}{\sqrt{3}} = 0.017413$

Standardowa niepewność końcowa:

u_C(x) = 0.01738

Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 10:

U = 5.081 ± 0.017[V]

gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest

wartością złożonej niepewności standardowej u_c, a nie

jest przedziałem ufności.

Seria pomiarowa N = 4

Niepewność typu A (z rozkładu t-studenta):

- liczba stopni swobody

k = N − 1 = 3

- kwantyl dla określonego poziomu ufności α=0,6827 i

stopnia swobody

t_k, α = 1.20

$S_{x} = \frac{0.002875}{\sqrt{4}} = 0.00143$

u_A(x) = t_k, α • S_x = 1.20 • 0.00143 = 0.00171

Niepewność typu B (analogicznie jak poprzednio):

$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.030153}{\sqrt{3}} = 0.017409$

Standardowa niepewność końcowa:

u_C(x) = 0.017376

Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 4:

U = 5.077 ± 0.017[V]

b) multimetr cyfrowy METEX

Seria pomiarowa N = 30

Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej

arytmetycznej):

$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{0,005271}{\sqrt{30}} = 0.000962$

Niepewność typu B:

a = 1%odczytu + 3dgts

$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.05032}{\sqrt{3}} = 0.02905$

Standardowa niepewność końcowa:

u_C(x) = 0.02899

Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 10:

U = 5.0745 ± 0.028[V]

gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest

wartością złożonej niepewności standardowej u_c, a nie

jest przedziałem ufności.

Seria pomiarowa N = 10

Niepewność typu A (odchylenie standardowe średniej

arytmetycznej):

$u_{A}\left( x \right) = S_{x} = \frac{0,0042}{\sqrt{10}} = 0.00133$

Niepewność typu B:

a = 1%odczytu + 3dgts

$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.05029}{\sqrt{3}} = 0.02903$

Standardowa niepewność końcowa:

u_C(x) = 0.029

Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 10:

U = 5.074 ± 0.029[V]

gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest

wartością złożonej niepewności standardowej u_c, a nie

jest przedziałem ufności.

Seria pomiarowa N = 4

Niepewność typu A (z rozkładu t-studenta):

- liczba stopni swobody

k = N − 1 = 3

- kwantyl dla określonego poziomu ufności α=0,6827 i

stopnia swobody

t_k, α = 1.20

$S_{x} = \frac{0.005375}{\sqrt{4}} = 0.00268$

u_A(x) = t_k, α • S_x = 1.20 • 0.00268 = 0.00321

Niepewność typu B (analogicznie jak poprzednio):

$u_{B}\left( x \right) = \frac{0.0503}{\sqrt{3}} = 0.02904$

Standardowa niepewność końcowa:

u_C(x) = 0.029217

Końcowy wynik dla serii pomiarowej N = 4:

U = 5.075 ± 0.029[V]

3) Z powyższych pomiarów wywnioskowaliśmy, iż programowalny generator funkcyjny RIGOL jest dokładniejszy od autotransformatora, natomiast multimetr RIGOL jest dokładniejszy od multimetru METEX

4) Obliczenie pośrednie rezystancji

Rezystancję obliczamy ze wzoru:

$$R = \frac{U}{I}$$

Dla prądu stałego:

U = (4,785±0.030)[V]

I = (0.00472±0.000029)[A]

R = 1013.771[Ω]

Dla pomiarów pośrednich niepewności wynoszą:

Współczynniki wrażliwości oraz ci wynoszą:

R = (1013,7±6,9)[Ω]

Symbol wielkości	Oszacowanie wielkości	Niepewność standardowa	Współczynnik wrażliwości	Niepewność składowa R	Udział w niepewności złożonej
X
U	4,785[V]	0,014[V]	211,9[1/a]	3[Ω]	43%
I	0,00472[A]	0,000029[A]	213767[V/A^2]	6,2[Ω]	90%
R	1013,7[Ω]	6,9[Ω]

Budżet niepewności:

5) Charakterystyka napięciowo-prądowa żarówki