Wykład 21

Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012

20 grudnia 2011

Całka z funkcji wymiernej. Posługując się metodami pochodzącymi z analizy zespolonej obliczymy całkę w sensie Riemanna

Z

∞

d x

I =

.

0

x 4 + 1

Zauważmy, że ze względu na symetrię funkcji podcałkowej względem zmiany znaku, prawdą jest, iż

Z

∞

d x

2 I =

.

−∞ x 4 + 1

Powyższa całka jest całką niewłaściwą, bardzo przyzwoicie zbieżną, zatem prawdą jest także, że

Z

R

d x

2 I = lim

.

R→∞

−R x 4 + 1

Całka po odcinku [ −R, R] jest składnikiem całki z funkcji 1

f ( z) = z 4 + 1

po konturze zaznaczonym na rysunku kolorem czerwonym i zorientowanym kanonicznie, tzn.

przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Kontur ten oznaczmy Γ.

z 2

z 1

b

b

−R

R

b

b

z 3

z 4

Drugim (oprócz odcinka) składnikiem tego konturu jest półokrąg Γ R o promieniu R i środku w z = 0. Przedyskutujmy wartość całki z funkcji f po konturze Γ R: Z

d z

Z

π

Rieiϕ d ϕ

Z

π Rieiϕ d ϕ

Z

π

R d ϕ

=

¬

=

z 4 + 1

R 4 e 4 iϕ + 1

R 4 e 4 iϕ + 1

(Γ R, +)

0

0

0

|R 4 e 4 iϕ + 1 |

Ostatnią całkę oszacujemy z góry zastępując funkcję podcałkową funkcją nieco większą, nieza-leżną od ϕ. Żeby zwiększyć ułamek mianownik trzeba zmniejszyć. Sprawdźmy więc jaka jest najmniejsza wartość wyrażenia |R 4 e 4 iϕ +1 |. Wyrażenie to jest odległością punktu z = R 4 e 4 iϕ od punktu − 1. Gdy ϕ przebiega odcinek [0 , π] liczba z przebiega (dwukrotnie) okrąg o promieniu R 4. Najmniejsza odległość − 1 od jest wtedy, gdy z = −R 4. Odległość ta jest równa R 4 − 1.

Mamy więc

Z

π

R d ϕ

Z

π

R d ϕ

πR

¬

=

0

|R 4 e 4 iϕ + 1 |

0

R 4 − 1

R 4 − 1

1

2

Ostatnie wyrażenie zmierza do zera gdy R dąży do nieskończoności. Okazało się więc, że Z

d z

lim

= 0

R→∞

(Γ

z 4 + 1

R , +)

Z drugiej strony całka po całym czerwonym konturze może być obliczona metodą residuów.

Wynik nie zależy od promienia R jeśli tylko jest on wystarczająco duży, żeby punkty osobliwe z 1 i z 2 znalazły się wewnątrz konturu. Mamy więc Z

d z

= 2 πi( Resz f + Res f) 1

z 2

(Γ , +) z 4 + 1

oraz

Z

d z

lim

= 2 πi( Resz f + Res f) .

1

z 2

R→∞

(Γ , +) z 4 + 1

Z naszych wcześniejszych rozważań wynika, że Z

d z

Z

d z

Z

R

d x

Z

∞

d x

lim

= lim

+ lim

= 0 +

= 2 I

R→∞

(Γ , +) z 4 + 1

R→∞

(Γ

z 4 + 1

R→∞

x 4 + 1

x 4 + 1

R , +)

−R

−∞

Ostatecznie

I = πi( Resz f + Res f ) .

1

z 2

Kluczem do obliczenia całki jest więc policzenie residuów funkcji f w punktach z 1 i z 2. Funkcja f ma w tych punktach bieguny pierwszego rzędu.

1

Resz f ( z) = lim ( z − z ( z − z

=

1

1) f ( z) = lim

1)

z→z 1

z→z 1

( z − z 1)( z − z 2)( z − z 3)( z − z 4) 1

( z 1 − z 2)( z 1 − z 3)( z 1 − z 4) Podobnie

1

Resz f ( z) = lim ( z − z

.

2

2) f ( z) =

z→z 2

( z 2 − z 1)( z 2 − z 3)( z 2 − z 4) Podstawiamy do powyższych wzorów z 1 = eiπ 4 , z 2 = ei 3 π 4 , z 3 = ei 5 π 4 , z 4 = ei 7 π 4 i upraszczamy otrzymane wyrażenia:

1

1

=

=

( z 1 − z 2)( z 1 − z 3)( z 1 − z 4) ( eiπ 4 − ei 3 π 4 )( eiπ 4 − ei 5 π 4 )( eiπ 4 − ei 7 π 4 ) 1

=

e 2 i π 4 ( e−i π 4 − eiπ 4 ) ei 3 π 4 ( e−i 2 π 4 − ei 2 π 4 ) ei 4 π 4 ( e−i 3 π 4 − ei 3 π 4 ) 1

1

=

.

i(2 i)[ − sin( π )] ei 3 π 4 (2 i)[ − sin( π )]( − 1)(2 i)[ − sin(3 π )]

4 ei 3 π 4

4

2

4

1

1

=

=

( z 2 − z 1)( z 2 − z 3)( z 2 − z 4) ( ei 3 π 4 − eiπ 4 )( ei 3 π 4 − ei 5 π 4 )( ei 3 π 4 − ei 7 π 4 ) 1

=

ei 2 π

4 ( ei π 4 − e−i π 4 ) ei 4 π

4 ( e−i π 4 − ei π 4 ) ei 5 π

4 ( e−i 2 π

4

− ei 2 π 4 )

1

1

=

i(2 i)[sin( π )]( − 1)(2 i)[ − sin( π )] ei 5 π 4 (2 i)[ − sin( π )]

4 iei 5 π 4

4

4

2

3

Obliczamy całkę:

1

1

iπ 1

1

iπ

i = πi

+

=

+

=

=

π

e−i 3 π

4

+ e−π 4

4 ei 3 π 4

4 iei 5 π 4

4

ei 3 π

4

e 4

4

√

√

iπ

π

iπ

π

π

2

π 2

e− 2 π

4

e−i π 4 + e 4

=

( −i)2 cos( ) =

=

.

4

4

4

2 2

4

Podobnie obliczyć można całkę z funkcji wymiernej x 7→ Q( x) po R jeśli funkcja Q spełnia następujące warunki:

(1) z 7→ Q( z) nie ma osobliwości na osi rzeczywistej; (2) lim |z|→∞ zQ( z) = 0

Warunek (1) gwarantuje, że całka po konturze czerwonym Γ jest dobrze określona, warunek (2) gwarantuje, że w granicy R → ∞ całka po konturze Γ R znika. Jedynym niezerowym wkładem do całki po Γ jest wtedy całka po R z funkcji Q. Z drugiej strony całkę po Γ można obliczyć uwzględniając residua w górnej półpłaszczyźnie.