Wykład 15. 24 stycznia 2011

Funkcje wypukłe.
Niech f : I −→ , I - przedział w .
f

jest wypukła ⇔

∀x

1

, x

2

∈ I ∀ t ∈ [0, 1] f((1 − t)x

1

+ tx

2

) ¬ (1 − t)f(x

1

) + tf (x

2

).

f

jest wklęsła ⇔

∀x

1

, x

2

∈ I ∀ t ∈ [0, 1] f((1 − t)x

1

+ tx

2

) ­ (1 − t)f(x

1

) + tf (x

2

) ⇔ −f jest wypukła.

A

⊂

2

jest wypukły ⇔

∀ (x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

) ∈ A ∀ t ∈ [0, 1] (1 − t)(x

1

, y

1

) + t(x

2

, y

2

) ∈ A.

Twierdzenie o funkcjach wypukłych.

Niech I - przedział otwarty w

, f :

I

−→ .

Jeżeli f jest wypukła to f jest ciągła.

f

jest wypukła ⇔ nadwykres(f) = {(x, y) ∈

2

: x ∈ I, f(x) ¬ y} jest wypukły.

Jeżeli f

0

jest ciągła na I to f wypukła ⇔ f

0

jest niemalejąca.

Jeżeli f

00

(x) = (f

0

)

0

istnieje w I to f wypukła ⇔ f

00

jest nieujemna.

Jeżeli f jest wypukła to ∀ n ∈

∀x

1

, . . . , x

n

∈ I ∀ t

1

, t

2

, . . . , t

n

­ 0,

n

P

k

=1

t

k

= 1

f

(t

1

x

1

+ · · · + t

n

x

n

) ¬ t

1

f

(x

1

) + · · · + t

n

f

(x

n

).

Jeżeli f jest wypukła, g : f (I) −→

jest wypukła i niemalejąca to g ◦ f(x) =

g

(f (x)) jest wypukła na I.

Przykłady funkcji wypukłych

Funkcja liniowa f (x) = ax + b jest wypukła.

Funkcja kwadratowa jest wypukła.

Funkcja wykładnicza f (x) = a

x

jest wypukła.

Funkcja f (x) = − ln x jest wypukła.

91

Zastosowanie.

Jeżeli x

1

, . . . , x

n

>

0 to

− ln

x

1

+ · · · + x

n

n

¬ −

ln x

1

+ · · · + ln x

n

n

co jest równoważne nierówności Cauchy’ego

n

√

x

1

· · · · · x

n

¬

x

1

+ · · · + x

n

n

.

Liczenie granic

Twierdzenie Cauchy’ego.

Jeżeli

lim

n→∞

x

n

= x

0

to

lim

n→∞

x

1

+ · · · + x

n

n

= x

0

.

Wniosek. Jeżeli x

n

>

0 i lim

n→∞

x

n

= x

0

to

lim

n→∞

n

√

x

1

· · · · · x

n

= x

0

.

D.

Jeżeli x

0

>

0 to lim

n→∞

ln x

n

= ln x

0

. Stąd

x

0

= exp lim

n→∞

ln x

n

= exp lim

n→∞

ln x

1

+ · · · + ln x

n

n

= exp lim

n→∞

ln

n

√

x

1

· · · x

n

= lim

n→∞

n

√

x

1

· · · x

n

.

Jeżeli natomiast x

0

= 0 to mamy

0 ¬

n

√

x

1

· · · x

n

¬

x

1

+ · · · + x

n

n

→ 0

i możemy zastosować twierdzenie o 3 ciągach.

b

:=

∪ {−∞, +∞}

Działania w

b

.

a

∈

⇒ a ± ∞ = ±∞,

+∞ + ∞ = ∞, −∞ − ∞ = −∞,

+∞ · (+∞) = −∞ · (−∞) = +∞,
+∞ · (−∞) = −∞ · (+∞) = −∞,

a >

0 ⇒ a · (±∞) = ±∞,

a <

0 ⇒ a · (±∞) = ∓∞,

92

1 > a > 0 ⇒ a

+∞

= 0, a > 1 ⇒ a

+∞

= +∞,

1 > a > 0 ⇒ a

−∞

= +∞, a > 1 ⇒ a

−∞

= 0,

a >

0 ⇒ (+∞)

a

= +∞.

Działania nieoznaczone.

∞ − ∞, 0 · ∞, 0 : 0, ∞ : ∞, (+∞)

0

,

1

∞

.

Uwaga.

Jeżeli chcemy badać ciąg a

n

to w wielu sytuacjach możemy zastąpić ba-

danie tego ciągu badaniem funkcji f (x) takiej, że f (n) = a

n

. Np. aby stwierdzić,

że ciąg a

n

=

ln n

n

malejąco (od pewnego miejsca) zmierza do zera badamy funkcję

f

(x) =

ln x

x

, x >

1.

Twierdzenie Cauchy’ego.

Z: f, g : [a, b] −→

funkcje ciągłe, różniczkowalne na (a, b), przy czym g

0

(x) 6= 0

na (a, b)

T: ∃c ∈ (a, b)

f

0

(c)

g

0

(c)

=

f

(b) − f(a)

g

(b) − g(a)

.

Zastosowanie pochodnych do obliczania granic wyrażeń nieoznaczonych

- reguła de l’Hospitala.

Jężeli lim

x→x

0

f

(x) = lim

x→x

0

g

(x) = 0 lub lim

x→x

0

f

(x) = lim

x→x

0

g

(x) = ∞ to mówimy, że

iloraz

f

(x)

g

(x)

jest wyrażeniem nieoznaczonym typu

h

0
0

i

lub typu

h

∞
∞

i

.

Reguła de l’Hospitala.

Jeżeli

f

(x)

g

(x)

jest wyrażeniem nieoznaczonym i istnieje granica

lim

x→x

0

f

0

(x)

g

0

(x)

= A ⇒ lim

x→x

0

f

(x)

g

(x)

= A.

Uwagi.

1) powyższym twierdzeniu x

0

może być zarówno liczbą rzeczywistą ale także x

0

=

−∞ lub x

0

= +∞.

2) Granica punkcie x

0

może być zastąpiona przez granicę lewostronną lub prawo-

stronną.

3) Może istnieć granica lim

x→x

0

f

(x)

g

(x)

mimo, że nie istnieje granica lim

x→x

0

f

0

(x)

g

0

(x)

. Tak jest na

przykład gdy x

0

= +∞, f(x) = x + sin x, g(x) = x +

√

x

. Tutaj

lim

x→+∞

x

+ sin x

x

+

√

x

= 1

93

a nie istnieje granica w nieskończoności wyrażenia

1 + cos x

1 +

1

2

√

x

.

4) W wielu przypadkach trzeba stosować regułę de l’Hospitala wielokrotnie, na przy-

kład aby wykazać, że

lim

x→∞

x

n

e

x

= 0

stosujemy ją n-krotnie.

5) Jeżeli granicę wyrażenia nieoznaczonego otrzymamy stosując regułę de l’Hospitala

to piszemy

lim

x→x

0

f

(x)

g

(x)

H

= lim

x→x

0

f

0

(x)

g

0

(x)

.

Istnieją inne wyrażenia nieoznaczone, które możemy sprowadzić do wyrażeń nie-

oznaczonych typu

h

0
0

i

lub

h

∞
∞

i

i używać reguły de l’Hospitala. Na przykład

[0 · ∞]

f

(x) · g(x) =

f

(x)

1

g

(x)

=

g

(x)

1

f

(x)

;

[∞ − ∞]

f

(x) − g(x) =

1

1

f

(x)

−

1

1

g

(x)

=

1

g

(x)

−

1

f

(x)

1

f

(x)g(x)

.

W tym drugim przypadku możemy również napisać

f

(x) − g(x) = ln e

f

(x)

− ln e

g

(x)

= ln

e

f

(x)

e

g

(x)

,

gdzie

e

f

(x)

e

g

(x)

jest już kanonicznym wyrażeniem nieoznaczonym typu

h

0
0

i

lub

h

∞
∞

i

.

Przykłady.
1)

lim

x→

π

2

x

−

π

2

tg x = lim

x→

π

2

x

−

π

2

1

ctg x

= lim

x→

π

2

x

−

π

2

ctg x

H

= lim

x→

π

2

1

−1

sin

2

x

= −1.

2)

lim

x→∞

(π − 2arctg x) ln x = lim

x→∞

π

− 2arctg x

1

ln x

H

= lim

x→∞

−2

1+x

2

−1

x

ln

2

x

= 2 lim

x→∞

x

ln

2

x

1 + x

2

= 2 lim

x→∞

ln

2

x

x

= 2

lim

x→∞

ln x

√

x

!

2

H

=





lim

x→∞

1
x
1

2

√

x





2

= 2

lim

x→∞

2

√

x

!

2

= 0.

3)

lim

x→1

1

x

− 1

−

1

ln x

= lim

x→1

ln x − x + 1

(x − 1) ln x

H

= lim

x→1

1

x

− 1

ln x + 1 −

1
x

H

= lim

x→1

−1

x

2

1

x

+

1

x

2

= −

1
2

.

4)

lim

x→0

1

x

−

1

sin x

= lim

x→0

sin x − x

x

sin x

H

= lim

x→0

cos x − 1

sin x + x cos x

H

= lim

x→0

− sin x

2 cos x − x sin x

= 0.

94

Badanie funkcji y

= f (x).

1) Określenie dziedziny funkcji D

f

= D.

1

∗

) Jeżeli dziedzina D jest symetryczna to badamy parzystość f (x).

1

∗∗

) Jeżeli dziedzina ma własność x ∈ D ⇒ x+T ∈ D, przy pewnym stałym T 6= 0,

to możemy badać T okresowość f (x).

2) Badamy miejsca zerowe i punkty przecięcia z osią OY .

3) Badamy asymptoty pionowe (gdy D 6= ) obliczając granice funkcji na końcach

przedziałów, z których składa się dziedzina.

4) Obliczamy f

0

(x) i podajemy jej dziedzinę D

f

0

.

5) Badamy asymptoty ukośne i poziome.

6) Badamy monotoniczność funkcji badając znak pochodnej.

7) szukamy ekstremów lokalnych na podstawie zmiany znaku pochodnej (lub punk-

tów w których f

0

(x

0

) = 0, f

00

(x

0

) 6= 0).)

8

∗

) Obliczamy f

00

(x) = (f

0

(x))

0

; badamy znak f

00

(x) aby określić przedziały wypu-

kłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu.

9) Uzyskane dane wpisujemy w odpowiednią tabelkę.

10) Na podstawie uzyskanych danych szkicujemy wykres funkcji.

Przykłady.
I) f (x) = x arctg(x).

1) Określenie dziedziny funkcji D

f

= D.

1) D

f

= .

1

∗

) Jeżeli dziedzina D jest symetryczna to badamy parzystość f (x).

1

∗

) (−x) = −x arctg(−x) = (−1)

2

x

arctg(x) = f (x) - funkcja parzysta.

2) Badamy miejsca zerowe i punkty przecięcia z osią OY .

2) f (x) = 0 ⇔ x = 0 x arctg(x) = 0 ⇔ x = 0 lub arctg(x) = 0 ⇔ x = 0, f(0) = 0.
4) Obliczamy f

0

(x) i podajemy jej dziedzinę D

f

0

.

4)

f

0

(x) = arctg(x) +

x

1 + x

2

, D

f

0

= .

5) Badamy asymptoty ukośne i poziome.

5)

lim

x→∞

f

(x)

x

= lim

x→∞

arctg(x) =

π

2

; lim

x→−∞

f

(x)

x

= lim

x→−∞

arctg(x) = −

π

2

.

lim

x→+∞

f

(x) −

π

2

x

[0·∞]

=

lim

x→+∞

x

arctg(x) −

π

2

[

0
0

]

= lim

x→+∞

arctg(x) −

π

2

1

x

H

= lim

x→+∞

1

1+x

2

−1

x

2

95

= − lim

x→+∞

x

2

1 + x

2

= −1.

Podobnie

lim

x→−∞

f

(x) +

π

2

x

= −1.

6) Badamy monotoniczność funkcji badając znak pochodnej.

6)

x <

0 ⇒ arctg x < 0 ⇒ arctg x +

x

1 + x

2

= f

0

(x) < 0;

x >

0 ⇒ arctg x > 0 ⇒ arctg x +

x

1 + x

2

= f

0

(x) > 0;

f

0

(0) = 0.

Na przedziale (−∞, 0) funkcja f(x) jest malejąca, na przedziale (0, +∞) funkcja

f

(x) jest rosnąca.

7) szukamy ekstremów lokalnych na podstawie zmiany znaku pochodnej (lub punk-

tów w których f

0

(x

0

) = 0, f

00

(x

0

) 6= 0).)

7) x

min

= 0, y

min

= 0.

8

∗

) Obliczamy f

00

(x) = (f

0

(x))

0

; badamy znak f

00

(x) aby określić przedziały wypu-

kłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu.

8

∗

)

f

00

(x) =

1

1 + x

2

+

1

1 + x

2

+ x ·

−x

(1 + x

2

)

2

=

2

(1 + x

2

)

2

>

0

Funkcja f (x) jest wypukła w swojej dziedzinie.

9) Uzyskane dane wpisujemy w odpowiednią tabelkę.

9)

x

−∞ . . . 0 . . . +∞

y

0

−

π

2

−

0

+

π

2

y

00

0

+

+

+

0

y

∞

& 0 % +∞

10) Na podstawie uzyskanych danych szkicujemy wykres funkcji.
10)

-4

-2

2

4

-6

-4

-2

2

4

96

II) y =

x

2

−3

x−2

.

1) Określenie dziedziny funkcji D

f

= D.

1) D

f

=

\ {2} = (−∞, 2) ∪ (2, +∞). D

f

nie jest symetryczna.

2) Badamy miejsca zerowe i punkty przecięcia z osią OY .

2)

x

2

− 3

x

− 2

= 0 ⇔ x =

√

3 lub x = −

√

3, f (0) =

3
2

.

3) Badamy asymptoty pionowe (gdy D 6= ) obliczając granice funkcji na końcach

przedziałów, z których składa się dziedzina.

3)

f

(x) =

x

2

− 4 + 1

x

− 2

= x + 2 +

1

x

− 2

.

lim

x→2−

f

(x) = −∞, lim

x→2+

f

(x) = +∞.

4) Obliczamy f

0

(x) i podajemy jej dziedzinę D

f

0

.

4)

y

0

= 1 −

1

(x − 2)

2

=

(x − 2)

2

− 1

(x − 2)

2

=

(x − 1)(x − 3)

(x − 2)

2

, D

f

0

= D

f

.

5) Badamy asymptoty ukośne i poziome.

5)

lim

x→±∞

(f (x) − (x + 2)) = 0.

Prosta y = x + 2 jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f (x).

6) Badamy monotoniczność funkcji badając znak pochodnej.

6)

y

0

>

0 ⇔ (x − 1)(x − 3) > 0 i x 6= 2 ⇔ x ∈ (−∞, 1) ∪ (3, +∞);

y

0

<

0 ⇔ (x − 1)(x − 3) < 0 i x 6= 2 ⇔ x ∈ (1, 2) ∪ (2, 3).

Na przedziałach (−∞, 0), (3, +∞) funkcja jest rosnąca, podczas gdy na przedziałach

(1, 2), (2, 3) funkcja jest malejąca.

7) szukamy ekstremów lokalnych na podstawie zmiany znaku pochodnej (lub punk-

tów w których f

0

(x

0

) = 0, f

00

(x

0

) 6= 0).)

7)

y

0

= 0 ⇔ x = 1 lub x = 3.

x

max

= 1, y

max

= 2

x

min

= 3, y

min

= 6.

97

8

∗

) Obliczamy f

00

(x) = (f

0

(x))

0

; badamy znak f

00

(x) aby określić przedziały wypu-

kłości i wklęsłości oraz punkty przegięcia wykresu.

8

∗

)

y

00

=

2

(x − 2)

3

= 2

x

− 2

(x − 2)

4

.

y

00

>

0 ⇔ x > 2 ⇔ x ∈ (2, +∞); y

00

<

0 ⇔ x < 2 ⇔ x ∈ (−∞, 2).

Funkcja f (x) jest wypukła na przedziale (2, +∞) a wklęsła na przedziale (−∞, 2).
9) Uzyskane dane wpisujemy w odpowiednią tabelkę.

9)

x

−∞ . . . 1 . . .

2−

2+

. . .

3 . . .

+∞

y

0

1

+

0

− −∞ −∞ −

0

+

1

y

00

0

− − − −∞ +∞ + + +

0

y

−∞ % 2 & −∞ +∞ & 6 % +∞

10) Na podstawie uzyskanych danych szkicujemy wykres funkcji.

-4

-2

2

4

6

8

10

-10

10

20

98