Wprowadzenie do fizyki
Mirosław Kozłowski
rok akad. 2002/2003
Część piąta
Siły centralne
Siły centralne
Siły centralne
Slajd podsumowania
5.1 Historia grawitacji
Koniec
5.2 Definicja siły centralnej
pokazu
5.3 Ruch płaski pod wpływem siły centralnej
5.4 Ruch punktu materialnego w polu sił centralnych
5.4 Ruch punktu materialnego w polu sił centralnych
5.5 Wnioski
5.6 Prawa Keplera (orbity kołowe)
5.7 Nowe układy planetarne
5.8 Zasada antropiczna
Siły centralne 3
Linki do stron WWW
Hyper Physics
Astronomy Picture of the Day
Space Photos and Images
4
Ziemia widziana z Voyagera 1 z odległości 6,4 bilionów
kilometrów
5
http://www.planetary.org/html/society/advisors/
http://www.planetary.org/html/society/advisors/
sagandot.html
The Earth-Moon System
Credit:NEAR Spacecraft Team, JHUAPL, NASA
6
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap980129.html
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap980129.html
Earth at Night
Credit: C. Mayhew & R. Simmon (NASA/GSFC), NOAA/NGDC, DMSP
Digital Archive
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap001127.html
7
Welcome to Planet Earth
Welcome to Planet Earth
Credit: Apollo 17 Crew, NASA
Apollo 17 Crew, NASA
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap010204.html
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap010204.html
8
5.1 Historia grawitacji
Johannes Kepler (1571-1630)
1619 - Harmonia Światów
Kwadraty okresów obiegów planet są
proporcjonalne do sześcianów promieni orbit.
2 3
T H" r .
T H" r .
Robert Hooke (1635-1703)
Siły, dzięki którym istnieje Układ Słoneczny, a
więc siły utrzymujące planety wokół Słońca
oraz Księ\
yc wokół Ziemi to są te same siły,
dzięki którym jabłko spada z jabłoni.
Siły centralne 9
Isaak Newton (1642-1726)
1687 - Mathematical Principles of
Natural Philosophy
1. Zasady dynamiki
r
2
r
r
d r
d r
v
v
F = ma m .
F = ma m .
2
dt
2. Grawitacja: Ruch w polu grawitacyjnym -
elipsa (okrąg), parabola, hiperbola.
Siły centralne 10
Ruch jednostajny po okręgu:
r
2
r
mv r
Fd = er ,
r
r
r
r
Fd = Fd ,
d d
2
mv
F = .
d
r
Siły centralne 11
Prawo Keplera (obserwacja!)
2
2Ąr
�ł �ł
T2 = H" r3,
�ł �ł
v
�ł łł
1
2
v H" ,
r2
H" r ,
H" r3,
r
r
v2
v2
v2 1
1
Fd H" H" ,
2
F H" .
r r
2
r
Siły centralne 12
5.2 Definicja siły centralnej
r
r
Ć
Fc = F(r)r = F(r)r.
r
5.3 Ruch płaski pod wpływem siły
5.3 Ruch płaski pod wpływem siły
r
Fc .
centralnej
a. Moment pędu
r
r r
L = r � p.
Siły centralne 13
b. Dla sił centralnych:
r
d L
c
= 0 .
d t
Mamy bowiem:
r
r r
r
dL dr r r d p r
= � p + r � = r �F.
dt dt dt
Siły centralne 14
r
r
dLc r
= r � Fc =
dt
r
Ć
= r � r F(r)= 0;
r
Lc nie zmienia się w czasie.
Lc nie zmienia się w czasie.
r
r r r r
Lc = r � p = r �(mv).
Siły centralne 15
Wiemy jednak, \
e
r
Ć &
v = r r + r �& �Ć,
r r r
Ć &
( )
r � v = r � r r + r�& �Ć =
2
= r � ęL ,
= r �& eL ,
r
2
Lc = mr �& ęL ,
r
2
Lc = Lc = m r �& = stałe.
Siły centralne 16
d Lc
2
&
&
= 2m r r �& + m r �& = 0.
d t
Dla sił centralnych:
2
Lc = stałe = mr �&.
Siły centralne 17
5.4 Ruch punktu materialnego w
polu sił centralnych.
r
r
F = m a =
&
Ć && &
{ =
= m r(r - r�& 2 )+ �Ć(2 r�& + r�&)}
Ć
= F (r )r.
Otrzymujemy dwa równania:
Otrzymujemy dwa równania:
&&
F (r ) = m (r - r�& 2 ),
&
&
0 = m (2 r�& + r�&),
opisujące ruch punktu materialnego w polu
sił centralnych.
Siły centralne 18
Równanie pierwsze
2
&&
m r - mr �& 2 = F (r ).
Wprowadzamy nową zmienną r=1/u i
równanie otrzymujemy w postaci:
równanie otrzymujemy w postaci:
2
d u m 1 1
+ u = - F�ł �ł. (*)
�ł �ł
2
d� L2 u2 �ł u
łł
c
Siły centralne 19
5.5 Wnioski
a. Równanie (") jest podstawowym równaniem
ruchu opisującym ruch punktu materialnego o
masie m w polu sił centralnych F(r)a"F(1/u).
b. Równanie (") jest słuszne dla dowolnej funkcji
F(r)=F(1/u).
Na przykład:
Na przykład:
K1 K2 K3
F(r)= ; ; ;
2
rĄ r3 r
K4 K5
; .
-4.62
r0.634 r
Siły centralne 20
W zmiennej u
1
�ł �ł
Ą 3 2
F = K u , K u , K u
�ł �ł
1 2 3
u
�ł łł
0 .634 - 4 .62
K u , K u .
4 5
Makroskopowy Wszechświat mo\
na opisać
uwzględniając tylko dwa rodzaje sił:
grawitacja  prawo Newtona
elektromagnetyzm  prawo Coulomba, siła
Lorentza.
Siły centralne 21
Oba rodzaje sił mają tę samą zale\
ność od r, (u):
K
( )
Fc r = = Ku2.
r
r2
DLACZEGO?
Siły centralne 22
Dla sił typu F=Ku2 otrzymujemy
równanie (") w postaci:
2
d u m 1
2
+ u = - Ku =
2 2 2
d � L u
c
Km
= - = stała,
2
L
L
c
c
czyli
d2u
+ u = W = stała,
2
d�
Km
( )
W = - .
L2
c
Siły centralne 23
m
Rozwiązania równania znamy:
Rozwiązania równania znamy:
u = W + A cos � ,
1
r (� ) = .
W + A cos �
Siły centralne 24
W zale\
ności od wartości stałych W
oraz A:
elipsa
(okrąg),
ńł
�ł
�ł
r (� ) = parabola,
r (� ) = parabola,
�ł
�ł
hiperbola.
ół
Siły centralne 25
5.6 Prawa Keplera (orbity kołowe)
Prędkość polowa:
S = Ą r2.
ds
Prędkość polowa ,
dt
ds dr
= 2Ą r = 2Ą rv,
dt dt
ds L
ds
= 2Ą r2�& = 2Ą .
= stałe.
dt m
dt
Siły centralne 26
2Ą r
T = ,
v
2
4Ą r2
2
T = ,
v2
2
4Ą r
4Ą r3
2
2
T = ,
T = ,
v2r
2 2 2 2
T 4Ą 4Ą r 4Ą am2
= = = = stałe.
r3 �&2 r3 �&2r4 L2
Siły centralne 27
Wniosek
1. Prędkość polowa jest stała.
2. T 2/r 3 = stałe.
Siły centralne 28
5.7 Nowe układy planetarne
1. Rozwiązanie równania Newtona w polu potencjału
sił centralnych V(r)
2
d u m 1
+ u = - K u2,
2
d� L2 u2
c
K "V(r) K
K "V(r), K
( )
Fc = = - V(r)= ,
r2 " r r
u = W + Acos� ,
1
r = ,
W + Acos�
Siły centralne 29
-1
W p
r(� )= = ,
A
1+ � cos �
1+ cos �
W
elipsa (okrąg), � < 1(0),
ńł
�ł
�ł
( )
r(� )= parabola, � = 1,
�ł
�ł
hiperola, � > 1,
ół
p = parametr krzywej sto\
kowej,
� = mimośród.
Siły centralne 30
a. Definicja krzywej sto\
kowej
d2
P
r
�
ognisko
ognisko
d1
Krzywa sto\
kowa:
zbiór punktów dla których stosunek: odległość
do ogniska / odległość do prostej jest stały i
równy � = mimośród.
Siły centralne 31
r r
= = �,
d2 d1 - r cos�
d1� -� r cos� = r,
d1� p
r = = .
1+� cos� 1+� cos�
b. Prędkość radialna na krzywej sto\
kowej
b. Prędkość radialna na krzywej sto\
kowej
- p(-� sin� )�&
&
vr = r = =
2
(1+ � cos� )
p� sin� �&
= .
2
(1+ � cos� )
Siły centralne 32
Prawo zachowania momentu pędu
&
L = mr2� = stała = B,
2
B B(1+ � cos� )
&
� = = ,
mr2 mp2
2
2
p� sin� B(1+ � cos� ) � B
p� sin� B(1+ � cos� ) � B
vr = = sin�.
2
mp
mp2(1+ � cos� )
vr = stała �" sin� .
Siły centralne 33
2. Zagadnienie dwóch ciał
a. środek masy
z
z
r
r
r2
r
r
r1
y
r
r1'
r2'
r
r0
y
x
x
Siły centralne 34
a = 1, 2, 3K
r r2 r
ra = ra + r0 ,
r
r
r r d r0
2
va = va + V , V = .
dt
N
N
r
r
r r r
r r r
2
p = m va = m va + V m .
" " "
" " "
a a a
a =1 a a
r
r r
2
p = p + V m .
"
a
a
Siły centralne 35
r
2
p = 0.
Istnieje taki układ odniesienia, w którym
Układ środka masy
r
r
p
V = = prędkość środka masy,
m
ma
"
"
a
r
r
mara
"
r r
r dR
a
r0 = = R, = V ,
ma dt
"
Siły centralne 36
r
określa poło\
enie środka masy układu
R
r
Wybieramy początek układu w R
r r
"m ra = 0, "m va = 0.
a a
a a
Siły centralne 37
b. Zagadnienie dwóch ciał.
Rozwa\
my dwa ciała oddziałujące na siebie za
pomocą potencjału
r r r r r
V(r1 -r2 ), r = r1 -r2.
Całkowita energia układu dwóch ciał:
r r
& &
m r1 2 m r22
1 2
E = + +
(1)
2 2
r r
+V (r1 - r2 ).
Siły centralne 38
Umieszczamy początek układu w środku masy
dwóch ciał. Oznacza to, \
e
r r r r r
m1r1 + m2r2 = 0, r = r1 - r2,
r r r
(- m1)(r1 - r2)= r(- m1),
r r r
- m1r1 + m1r2 = -m1r ,
r r
r r
r
( + )= -
r2(m1 + m2)= -m1r ,
r m1r
r2 = - ,
m1 + m2
r
r m1 r r dr
v2 = - u, gdzie u = .
m1 + m2 dt
Siły centralne 39
r r r
m (r1 - r2 ) = r (m ),
2 2
r r r
m r1 - m r2 = m r ,
2 2 2
r r
r1(m1 + m ) = m r ,
2 2
r
r m r
2
r1 = ,
r1 = ,
m + m
m1 + m
2
r m r
2
v1 = u .
m1 + m
2
Siły centralne 40
2 2
r r
& &
Stąd
�ł �ł �ł �ł
m1 �ł m2r m2 �ł - m1r
�ł �ł
E = + + V (r)=
�ł �ł
2 m1 + m2 �ł 2 m1 + m2 �ł
�ł łł �ł łł
2
r
2 2
&
�ł �ł
(r) m1m2 m2m1
�ł �ł
= + + V (r)=
2 2
�ł �ł
2
(m1 + m2 ) (m1 + m2 )
�ł łł
r2 �ł
&
m1m2r m2 + m1 �ł
�ł �ł
= =
2
�ł �ł
2
2
(m1 + m2 )
(m1 + m2 )
�ł łł
�ł łł
m1m2 r
&2
=
2(m1 + m2 )r + V (r).
r2
&
� r
(2)
E = +V(r).
� nazywamy masą zredukowaną.
2
Siły centralne 41
Wzór (2) opisuje energię całkowitą jednego ciała o
masie � poruszającego się w zewnętrznym potencjale
V(r).
m2
r
r
v2
v1
r m2 r
v1 = u, m1 środek masy
m1 + m2
m1 + m2
m >> m ,
m >> m ,
1 2
r m1 r
m " ,
v2 = - u.
1
r
m1 + m2
v1 0 ,
r r
v = - u .
2
Siły centralne 42
Nowy układ planetarny
1 AU <" 1.5 � 108 km
v
�
v
v
Obserwator na Ziemi
8
10 km
- 6
� H" H" 10 .
14
10 km
Siły centralne 43
13
14
10
50 lat
ś
50 lat
ś
wietlnych
~50 � 10
km
~5 �10
km
Masy Słońca
i niektórych planet
Ziemia 5,97 � 1024 kg
Jowisz 1,9 � 1027 kg
Słońce 1,9 � 1030 kg
Siły centralne 44
M sin i Period Semimajor Eccen- K
Star Name [Fe/H]
(Mjup ) (d) Axis (AU) tricity (m/s)
1
HD68988 1.90 6.276 0.071 0.14 187.0 0.24
2 HD142 1.00 337.1 0.980 0.38 29.6 0.04
3 HD4203 1.64 406.0 1.09 0.53 51.0 0.22
4 HD114783 0.99 501.0 1.20 0.10 27.0 0.33
5 HD23079 2.54 627.3 1.48 0.06 56.7 *****
6 HD4208 0.81 829.0 1.69 0.04 18.3 -0.24
7 HD33636 7.71 1553.0 2.62 0.39 148.0 -0.13
8 HD39091 10.37 2115.2 3.34 0.62 196.2 0.09
http://exoplanets.org/eight_new.shtml
Siły centralne 45
http://exoplanets.org/doppler.html
http://exoplanets.org/doppler.html
Siły centralne
46
http://exoplanets.org/graphics/kepslaw.gif
http://exoplanets.org/graphics/kepslaw.gif
Siły centralne
47
HD 46375 Radial Velocity
HD 46375 Radial Velocity
Author: Goeff Marcy (UC Berkeley)
Goeff Marcy (UC Berkeley)
http://origins.stsci.edu/news/2000/01/content
http://origins.stsci.edu/news/2000/01/content
/hd46375rvw.jpg
Siły centralne
48
HD 46375 Orbit
HD 46375 Orbit
Goeff Marcy (UC Berkeley
UC Berkeley)
http://origins.stsci.edu/news/2000/01/content/
http://origins.stsci.edu/news/2000/01/content/
hd46375orbitw.jpg
Siły centralne
49
Nowy układ planetarny
mp H" 2000me.
e
p
10-10m
Wprawdzie proton i elektron poruszają się wokół
wspólnego środka masy, ale praktyczne biorąc
prędkość protonu jest równa zeru. To gwarantuje
istnienie stabilnej struktury związków chemicznych.
Siły centralne 50
5.8 Zasada antropiczna
Rozpatrzmy własności fizyczne innego (od naszego
Wszechświata) wszechświata, o n wymiarach
przestrzennych w którym siła grawitacji i siła
elektrostatyczna są opisywane za pomocą wzoru:"
F = (n - 2)rK , n > 2.
(1)
rn-1
" Energia potencjalna w innym wszechświecie ma postać:
K
V(r)= = Kr2-n,
rn-2
"V(r) (n-2)K
F(r)= - = -(2-n)Kr1-n = .
"r rn-1
We wszechświecie z n=2 nie mogą istnieć struktury biologiczne.
Siły centralne 51
Równanie Newtona w innym wszechświecie:
d2u m 1 1
(2)
+u = - F�ł �ł.
�ł �ł
2
d� L2 u2 �ł u
łł
Podstawiamy wzór (1) do wzoru (2) i otrzymujemy:
2
d u m 1
d u m 1
n-1
n-1
+ u = - (n - 2)Ku ,
+ u = - (n - 2)Ku ,
2 2
d� L2 u
2
d u m
n-3
( )
+ u = - (n - 2)Ku .
2
d� L2
Siły centralne 52
We Wszechświecie trójwymiarowym  naszym
Wszechświecie (n = 3) równanie (2) ma
następujące rodzaje orbit:
parabola
parabola
orbity, które nie gwarantują
orbity, które nie gwarantują
powstania i podtrzymania
hiperbola
\
ycia.
elipsa  orbita stabilna, która gwarantuje
warunki do powstania i trwania \
ycia.
Siły centralne 53
W innym wszechświecie (n>3) równanie ( )
nie ma rozwiązania w postaci elipsy. Trajektorie
punktów materialnych przyciąganych przez
centrum siły (grawitacja, elektrodynamika) albo
mijają centrum i oddalają się do nieskończoności
albo spadają na centrum siły.
1
5
2
3
4
"
"
"
"
Siły centralne 54
Zasada antropiczna
Wszechświat musi być taki, aby dopuszczać
powstanie w nim obserwatorów.
B. Carter: Confrontation of cosmological theories with
observations, M. Longair ed. Reidel 1973.
Siły centralne 55
Zasada antropiczna
Jedynym prawdziwie rzeczywistym
wszechświatem jest ten, który jest
postrzegany, tote\
ten rzeczywisty
wszechświat musi dostosować swoje
właściwości do warunków niezbędnych do
właściwości do warunków niezbędnych do
istnienia obserwatorów.
P.C. Davies, The anthropic principle,
Progres in Particle and Nuclear Physics, 10 (1983) 1,
Postępy Fizyki 37 (1986) 214.
Siły centralne 56
Sir Izaak Newton zmienił obraz świata
Sir Izaak Newton zmienił obraz
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap000723.html
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/ap000723.html
57
58
59
Płaszczyzna ekliptyki
Płaszczyznę ekliptyki definiujemy jako płaszczyznę zawierającą orbitę Ziemi
wokół Słońca. W tej płaszczyz
nie zawarte są orbity większości planet (oprócz
Neptuna). Na zdjęciu (od prawej) widzimy Księ\
yc oświetlony słabym
promieniowaniem Ziemi oraz planety: Saturn, Mars, Merkury.
Credit: The Clementine Project
http://antwr.gsfc.nasa.gov/apod/ap001014.html
60
Wschód Księ\
yca nad Ziemi
yca nad Ziemią
Credit: STS-35 Crew, NASA
35 Crew, NASA
http://antwr.gsfc.nasa.gov/apod/ap001028.html
http://antwr.gsfc.nasa.gov/apod/ap001028.html
61
Saturn i jego księ\
yce http://pds.jpl.nasa.gov/planets/
62
To jest ostatni slajd rozdziału  Siły centralne .
Mo\
esz:
" przejść do  Spisu treści i wybrać kolejny rozdział,
" wrócić do materiału tego rozdziału,
" zakończyć pokaz.
Spis treści
Spis treści
Koniec
pokazu