Analiza korelacji
Statystyka  Wykład 3.
Analiza korelacji
dr Michał Trzęsiok
[e-mail]
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
Katedra Analiz Gospodarczych i Finansowych
19 paz
dziernika 2015 r.
dr Michał Trzęsiok Wykład 3.  Statystyka: analiza korelacji
Pojęcia wprowadzające
Analiza korelacji Kierunek zwiÄ…zku
Siła związku
Wprowadzenie
Jednostki statystyczne wchodzące w skład badanej
zbiorowości są zazwyczaj opisywane za pomocą więcej niż
jednej cechy (zmiennej)
Analizowane zmienne bardzo często są ze sobą w pewien
sposób powiązane
Celem analizy korelacji jest stwierdzenie, czy między
badanymi zmiennymi zachodzą jakieś związki a jeśli tak, to
jakie są kierunek i siła tej zależności
Przykład związku, który możemy badać wykorzystując analizę
korelacji: zależność popytu od ceny danego produktu
Do statystycznego badania tego typu związków posługujemy
siÄ™ miarami korelacji
dr Michał Trzęsiok Wykład 3.  Statystyka: analiza korelacji
Pojęcia wprowadzające
Analiza korelacji Kierunek zwiÄ…zku
Siła związku
Dopasowanie mierników do skali pomiaru zmiennej
Przypomnienie
Miary Miary Miary Miary
położenia rozproszenia asymetrii korelacji
Nominalna Dominanta Entropia  Statystyka Ç2
Porządkowa Mediana Odchylenie Pozycyjny Współczynnik
Kwantyle ćwiartkowe współcz. asym. korelacji Ä Kendalla
Przedziałowa Średnia Odchylenie Klasyczny Współczynnik
arytmetyczna standardowe współcz. asym. korelacji Pearsona
Ilorazowa Średnia Współczynnik Klasyczny Stosunek
geometryczna zmienności współcz. asym. korelacyjny
i harmoniczna
dr Michał Trzęsiok Wykład 3.  Statystyka: analiza korelacji
Pojęcia wprowadzające
Analiza korelacji Kierunek zwiÄ…zku
Siła związku
Analiza korelacji dla dwóch zmiennych ilościowych
Zakładamy, że mamy dwie zmienne (X i Y ) mierzone na
mocnych skalach
Istnieją logiczne (merytoryczne) przesłanki badania związków
między tymi zmiennymi
Należy się zastanowić nad tym, czy zależność z natury jest
jednokierunkowa (np. tylko Y (X )), czy dwukierunkowa
(zarówno Y (X ) jak i X (Y ))
Najsilniejsza znana forma zależności, to zależność funkcyjna
(w matematyce: każdemu argumentowi odpowiada dokładnie
jedna wartość), ale takie zależności rzadko występują
w naukach ekonomicznych (społecznych); dlatego badamy
inny rodzaj zależności  zależności korelacyjne. Zależności
korelacyjne w istocie dotyczą zależności: Y (X ) oraz X (Y )
dr Michał Trzęsiok Wykład 3.  Statystyka: analiza korelacji
Pojęcia wprowadzające
Analiza korelacji Kierunek zwiÄ…zku
Siła związku
Wykres rozrzutu
Analizę korelacji warto rozpocząć od zilustrowania
współzmienności na wykresie rozrzutu
dr Michał Trzęsiok Wykład 3.  Statystyka: analiza korelacji
Pojęcia wprowadzające
Analiza korelacji Kierunek zwiÄ…zku
Siła związku
Pomiar liniowego zwiÄ…zku korelacyjnego
jeśli obwiednia danych jest w przybliżeniu elipsą, to związek
jest w przybliżeniu liniowy i do jego zbadania możemy
posłużyć się współczynnikiem korelacji liniowej Pearsona
(ozn. rxy lub r(x, y))
cov(x, y)
rxy =
s(x) · s(y)
gdzie kowariancjÄ™ definiujemy jako:
N

1
cov(x, y) = (xi - x) · (yi - y)
Å» Å»
N
i=1
dr Michał Trzęsiok Wykład 3.  Statystyka: analiza korelacji
Pojęcia wprowadzające
Analiza korelacji Kierunek zwiÄ…zku
Siła związku
Własności współczynnika korelacji liniowej Pearsona
rxy jest miarą klasyczną (wrażliwą na wartości oddalone)
jest miarą symetryczną, tj. rxy = ryx (bez względu na to, czy
zależność ma charakter jedno czy dwukierunkowy)
rxy " -1, 1
Kierunek liniowej zależności korelacyjnej
rxy = 0  brak liniowego związku korelacyjnego między
badanymi zmiennymi
rxy > 0  korelacja dodatnia [wraz ze wzrostem wartości
zmiennej X wartości Y średnio rzecz biorąc rosną]
rxy < 0  korelacja ujemna [wraz ze wzrostem wartości
zmiennej X wartości Y średnio rzecz biorąc maleją]
dr Michał Trzęsiok Wykład 3.  Statystyka: analiza korelacji
Pojęcia wprowadzające
Analiza korelacji Kierunek zwiÄ…zku
Siła związku
Własności współczynnika korelacji liniowej Pearsona c.d.
Siła liniowej zależności korelacyjnej
im rxy bliższe wartości 0, tym asymetria słabsza, im dalsze 0,
tym silniejsza
stosowane czasem przedziały do określania siły związku:
|rxy | < 0, 3  słaby związek liniowy;
0, 3 |rxy | < 0, 7  zwiÄ…zek liniowy o umiarkowanej sile;
|rxy | 0, 7  silny zwiÄ…zek liniowy;
|rxy | = 1  funkcyjny zwiÄ…zek liniowy;
Uwaga
Powyższe przedziały określania siły związku korelacyjnego są
umowne i kontrowersyjne
dr Michał Trzęsiok Wykład 3.  Statystyka: analiza korelacji
Pojęcia wprowadzające
Analiza korelacji Kierunek zwiÄ…zku
Siła związku
Własności współczynnika korelacji liniowej Pearsona c.d.
Siła liniowej zależności korelacyjnej (2)
lepszy do oceny siły zależności korelacyjnej jest współczynnik
determinacji:
R2 = (rxy )2
który w przypadku zależności Y (X ) informuje jaki procent
zmian zmiennej Y można wyjaśnić zmianami w wartościach
zmiennej X [precyzyjniejsze niż powyższe umowne przedziały]
Uwaga dotycząca wniosków z analizy korelacji
Analiza korelacji daje informacje o współwystępowaniu
zmiennych a nie o zależnościach przyczynowo skutkowych
między nimi
dr Michał Trzęsiok Wykład 3.  Statystyka: analiza korelacji
Pojęcia wprowadzające
Analiza korelacji Kierunek zwiÄ…zku
Siła związku
Uwagi dotyczÄ…ce miar korelacji
Inne miary zależności korelacyjnej
Dla zmiennych Y i X mierzonych na skalach ilorazowych
zależność korelacyjną można badać wykorzystując bardziej
uniwersalną miarę  stosunek korelacyjny [można go
stosować zarówno w przypadku zależności liniowych jak
i krzywoliniowych]
Możliwe jest badanie zależności wyróżnionej zmiennej Y od
wielu zmiennych X1, X2, X3, . . .; Współczynnik do tego
używany nazywamy współczynnikiem korelacji wielorakiej
Jak było wskazane w tabelce na początku wykładu, dla
zmiennych ze sÅ‚abych skal stosujemy miarÄ™ Ç2, lub
współczynniki korelacji rang: Ä Kendalla lub Spearmana
dr Michał Trzęsiok Wykład 3.  Statystyka: analiza korelacji
Pojęcia wprowadzające
Analiza korelacji Kierunek zwiÄ…zku
Siła związku
DZI
KUJ
ZA UWAG
!
dr Michał Trzęsiok Wykład 3.  Statystyka: analiza korelacji
Pojęcia wprowadzające
Analiza korelacji Kierunek zwiÄ…zku
Siła związku
Statystyka  Wykład 3.
Analiza korelacji
dr Michał Trzęsiok
[e-mail]
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
Katedra Analiz Gospodarczych i Finansowych
19 paz
dziernika 2015 r.
dr Michał Trzęsiok Wykład 3.  Statystyka: analiza korelacji