NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA.
Inspiracją do powstania artykułu było popularne powiedzenie : ,, ... to jest oczywiste jak 2 x 2 jest 4 ’’.
To powiedzenie pokazuje jak bardzo system dziesiętny zakorzenił się w rzeczywistości.
Dlatego chciałabym przedstawić ogólne zasady zapisu liczb w różnych systemach oraz podstawowe działania na tych liczbach.
TABLICA 1 podaje przykłady zapisu liczb od 1 do 40 w systemach : dziesiętnym ( ) 10
,dwójkowym ( ) 2 , trójkowym ( ) 3 itd.
Z tabeli tej wynika np. że liczba 7 wyrażona kolejno w tych systemach ma postać : (7)10=(111)2 =(21)3=(13)4=(12)5=(11)6=(10)7=(7)8=(7)9=(7)11=(7)12
a liczba 10 w tych systemach :
(10)10=(1010)2 =(101)3=(22)4=(20)5=(14)6=(13)7=(12)8=(11)9=(D)11=(D)12
Zapis liczb w różnych systemach opiera się na tych samych zasadach co w systemie dziesiętnym a różnią się ilością używanych cyfr. W systemie dwójkowym używamy dwóch cyfr , w trójkowym trzech itd.
W systemach jedenastkowym , dwunastkowym itd. trzeba wprowadzić dodatkowe symbole na oznaczenia liczb : 10 , 11 itd. , które w tych systemach są cyframi ( ja oznaczyłam : 10 – D, 11 – J ).
Każdą liczbę np. 234 w systemie dziesiętnym przedstawiamy w postaci :
(234)10 = 200+30+4 = 2⋅102+3⋅101+4⋅100
Aby liczbę zapisaną w danym systemie zapisać w systemie dziesiętnym postępujemy analogicznie : (234)7 = 2⋅72+3⋅71+4⋅70 = 98+21+4 = 123
(234)5 = 2⋅52+3⋅51+4⋅50 = 50+15+4 = 69
(234)12 = 2⋅122+3⋅121+4⋅120 =288+36+4=328
(5D7)12 = 5⋅122+10⋅121+7⋅120 =720+120+7=847
(5D7)11 = 5⋅112+10⋅111+7⋅110 =605+110+7=722
(110101)2 = 1⋅25+1⋅24+0⋅23 +1⋅22+0⋅21+1⋅20 =32+16+0+4+0+1=53
Aby dokonać zamiany liczby zapisanej w systemie dziesiętnym na dowolny system np. siódemkowy najlepiej wykonać kolejne dzielenia przez 7.
Pierwsze dzielenie : 234:7=33
21
=24
21
=3
Z tego dzielenia wyszła reszta 3 więc ta liczba w systemie siódemkowym na ostatniej pozycji będzie mieć cyfrę 3 .
1
28
=5
Z tego dzielenia wyszła reszta 5 więc ta liczba w systemie siódemkowym na przedostatniej pozycji będzie mieć cyfrę 5 i analogicznie ostatnią uzyskaną cyfrą będzie cyfra 4 ponieważ : 4: 7 = 0 reszty 4
czyli : 234=(453)7
Można wykonać sprawdzenie : (453)7 = 4⋅72+5⋅71+3⋅70 =196+35+3=234
Te obliczenia, jak widać, są dość żmudne. Poniższe programy pomagają dokonać zmiany liczb w systemie dziesiętnym na system dwójkowy - TABLICA 2 , trójkowy - TABLICA 3 , piątkowy - TABLICA 4
i siódemkowy - TABLICA 5 . Wystarczy wpisać w żółtym polu liczbę w systemie dziesiętnym a w pomarańczowym polu pojawi się ta liczba zapisana w systemie dwójkowym ( trójkowym, piątkowym , siódemkowym) .Program wykonuje także operację odwrotną . Można wpisać w zielonym polu liczbę w systemie dwójkowym ( trójkowym, piątkowym , siódemkowym) a w niebieskim polu pokaże się ta liczba zapisana w systemie dziesiętnym .
Na liczbach zapisanych w innych systemach można również wykonywać działania np. dodawanie w systemie siódemkowym.
(2265)7
+(5604)7
(11202)7
Dodając jednostki poszczególnych rzędów musimy stale uważać by uzyskany wynik był też w systemie siódemkowym tzn. 5+4=9=1⋅71+2⋅70 =(12)7
więc na ostatniej pozycji piszemy 2 a jedynkę dodajemy do następnego rzędu tzn. 6+0+1=7=(10)7 itd.
Aby ułatwić obliczanie możemy korzystać z następującej tabliczki dodawania
TABLICZKA DODAWANIA
W SYSTEMIE SIÓDEMKOWYM
0 1
2
3
4
5
6
1 2
3
4
5
6
10
2 3
4
5
6
10 11
3 4
5
6
10 11 12
4 5
6
10 11 12 13
5 6
10 11 12 13 14
6 10 11 12 13 14 15
Np.
(216546)7
+ (64325)7
(314204)7
Dodając 6 do 5 odszukujemy wynik na przecięciu 6 kolumny i 5 wiersza czyli liczbę 14 więc na ostatniej pozycji wpisujemy 4 a jedynkę dodajemy do następnego rzędu : (4+2)+1=6+1=(10)7 itd.
Podobną tabliczkę dodawania można ułożyć w dowolnym systemie np. piątkowym
i wykorzystać ją analogicznie do dodawania liczb w tym systemie
2
TABLICZKA DODAWANIA
W SYSTEMIE PIĄTKOWYM
0
1
2
3
4
1
2
3
4
10
2
3
4
10
11
3
4
10
11
12
4
10
11
12
13
np.
1 1 1
(43412)5
+(21423)5
(120340)5
Jeszcze ostrożniej trzeba postępować przy dodawaniu większej ilości liczb.
TABLICA 6 i TABLICA 7 zawierają programy wykonujące dodawanie trzech liczb w systemach odpowiednio : siódemkowym i piątkowym.
Wystarczy w zielonych polach wpisać liczby w systemie np. siódemkowym ( piątkowym ) a w polu pomarańczowym pokaże się suma tych liczb też w systemie siódemkowym ( piątkowym ) .
Także wyniki mnożenia w systemach np. siódemkowym lub piątkowym można zapisać w tabelkach i wykorzystywać je w analogiczny , jak wyżej , sposób :
TABLICZKA MNOŻENIA
W SYSTEMIE SIÓDEMKOWYM
TABLICZKA MNOŻENIA
W SYSTEMIE PIĄTKOWYM
1
2
3
4
5
6
2
4
6
11
13
15
1
2
3
4
3
6
12
15
21
24
2
4
11
13
4 11
15
22
26
33
3
11
14
22
5 13
21
26
34
42
4
13
22
31
6
15
24
33
42
51
Np.
(5342)7
× ( 6)7
(45045)7
Obliczenia cząstkowe :
(6×2)7=(15)7
(6×4)7+(1)7=(33)7+(1)7=(34)7
(6×3)7+(3)7=(24)7+(3)7=(30)7
(6×5)7+(3)7=(45)7
Można ten wynik sprawdzić :
(5342)7 =5⋅73+ 3⋅72+4⋅71+2⋅70 =1715+147+28+2=1892
1892×6=11352
3
(45045)7 =4⋅74+5⋅73+ 0⋅72+4⋅71+5⋅70=9604+1715+28+5=11352
np.
(3214)5
× ( 3)5
(20202)5
Obliczenia cząstkowe :
(3×4)5=(22)5
(3×1)5+(2)5=(3)5+(2)5=(10)5
(3×2)5+(1)5=(11)5+(1)5=(12)5
(3×3)5+(1)5=(14)5+(1)5=(20)5
Sprawdzenie :
(3214)5 = 3⋅53+2⋅52+1⋅51+4⋅50 =375+50+9=434
434×3=1302
(20202)5 = 2⋅54+0⋅53+2⋅52+0⋅51+2⋅50 =1250+50+2=1302
Posługując się w odpowiedni sposób tymi tabliczkami można za pomocą tabliczek dodawania wykonywać odejmowanie a za pomocą tabliczek mnożenie – dzielenie.
TABLICA 6 i TABLICA 7 zawierają również programy wykonujące mnożenie dwóch liczb w systemach odpowiednio : siódemkowym i piątkowym.
Wystarczy w żółtych polach wpisać liczby w systemie np. siódemkowym ( piątkowym ) a w polu niebieskim pokaże się iloczyn tych liczb też w systemie siódemkowym ( piątkowym ) .
opracowała : URSZULA ORDON
BIBLIOGRAFIA
„Liczę i myślę”- W. Wilkosz
„Wstęp do teorii liczb”- W. Sierpiński
„Tajemnice liczb”- W. Krysicki
„Jak liczono dawniej , jak liczymy dziś”- W. Krysicki , E. Kącki
„Rachunek i liczba”- G. Berman
4
( )10 ( )2
( )3
( )4 ( )5 ( )6 ( )7 ( )8 ( )9 ( )11 ( )12
0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
0
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1
2
10 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
3
11 3
10 3
3 3
3 3
3 3 3 3 3 3 3 3
3 3
3
4
100 4
11 4 10 4
4 4
4 4 4 4 4 4 4 4
4 4
4
5
101 5
12 5 11 5 10 5
5 5 5 5 5 5 5 5
5 5
5
6
110 6
20 6 12 6 11 6 10 6 6 6 6 6 6 6
6 6
6
7
111 7
21 7 13 7 12 7 11 7 10 7 7 7 7 7
7 7
7
8
1000 8
22 8 20 8 13 8 12 8 11 8 10 8 8 8
8 8
8
9
1001 9 100 9 21 9 14 9 13 9 12 9 11 9 10 9
9 9
9
10
1010 10 101 10 22 10 20 10 14 10 13 10 12 10 11 10
D 10
D
11
1011 11 102 11 23 11 21 11 15 11 14 11 13 11 12 11 10 11
J
12
1100 12 110 12 30 12 22 12 20 12 15 12 14 12 13 12 11 12 10
13
1101 13 111 13 31 13 23 13 21 13 16 13 15 13 14 13 12 13 11
14
1110 14 112 14 32 14 24 14 22 14 20 14 16 14 15 14 13 14 12
15
1111 15 120 15 33 15 30 15 23 15 21 15 17 15 16 15 14 15 13
16
10000 16 121 16 100 16 31 16 24 16 22 16 20 16 17 16 15 16 14
17
10001 17 122 17 101 17 32 17 25 17 23 17 21 17 18 17 16 17 15
18
10010 18 200 18 102 18 33 18 30 18 24 18 22 18 20 18 17 18 16
19
10011 19 201 19 103 19 34 19 31 19 25 19 23 19 21 19 18 19 17
20
10100 20 202 20 110 20 40 20 32 20 26 20 24 20 22 20 19 20 18
21
10101 21 210 21 11 21 41 21 33 21 30 21 25 21 23 21 1D 21 19
22
10110 22 211 22 112 22 42 22 34 22 31 22 26 22 24 22 20 22 1D
23
10111 23 212 23 113 23 43 23 35 23 32 23 27 23 25 23 21 23 1J
24
11000 24 220 24 120 24 44 24 40 24 33 24 30 24 26 24 22 24 20
25
11001 25 221 25 121 25 100 25 41 25 34 25 31 25 27 25 23 25 21
26
11010 26 222 26 122 26 101 26 42 26 35 26 32 26 28 26 24 26 22
27
11011 27 1000 27 123 27 102 27 43 27 36 27 33 27 30 27 25 27 23
28
11100 28 1001 28 130 28 103 28 44 28 40 28 34 28 31 28 26 28 24
29
11101 29 1002 29 131 29 104 29 45 29 41 29 35 29 32 29 27 29 25
30
11110 30 1010 30 132 30 110 30 50 30 42 30 36 30 33 30 28 30 26
31
11111 31 1011 31 133 31 111 31 51 31 43 31 37 31 34 31 29 31 27
32 100000 32 1012 32 200 32 112 32
52 32 44 32 40 32 35 32 2D 32 28
33 100001 33 1020 33 201 33 113 33
53 33 45 33 41 33 36 33 30 33 29
34 100010 34 1021 34 202 34 114 34
54 34 46 34 42 34 37 34 31 34 2D
35 100011 35 1022 35 203 35 120 35
55 35 50 35 43 35 38 35 32 35 2J
36 100100 36 1100 36 210 36 121 36 100 36 51 36 44 36 40 36
33 36 30
37 100101 37 1101 37 211 37 122 37 101 37 52 37 45 37 41 37
34 37 31
38 100110 38 1102 38 212 38 123 38 102 38 53 38 46 38 42 38
35 38 32
39 100111 39 1110 39 213 39 124 39 103 39 54 39 47 39 43 39
36 39 33
40 101000 40 1111 40 220 40 130 40 104 40 55 40 50 40 44 40
37 40 34
( )2
( )3
( )4 ( )5 ( )6 ( )7 ( )8 ( )9 ( )11 ( )12
5
ZAMIANA LICZB W SYSTEMIE DZIESIĘTNYM
NA SYSTEM DWÓJKOWY I NA ODWRÓT
podaj liczbę w systemie dziesiętnym z zakresu od 1 do 1048575 :
n = 40
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
podaj liczbę w systemie dwójkowym z zakresu od 0 do 11111111111111111111 : k = 101000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
k = 40
6
TABLICA 3
ZAMIANA LICZB W SYSTEMIE DZIESIĘTNYM
NA SYSTEM TRÓJKOWY I NA ODWRÓT
podaj liczbę w systemie dziesiętnym z zakresu od 1 do 3486784400 :
n = 146
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1
0
2
podaj liczbę w systemie trójkowym z zakresu od 0 do 22222222222222222222
k = 12102
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1
0
2
k = 146
7
ZAMIANA LICZB W SYSTEMIE DZIESIĘTNYM
NA SYSTEM PIĄTKOWY I NA ODWRÓT
podaj liczbę w systemie dziesiętnym z zakresu od 1 do 95367431640624 :
n = 40
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
3
0
podaj liczbę w systemie piątkowym z zakresu od 0 do 44444444444444444444 : k = 444444
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
4
4
4
4
4
k = 15624
8
ZAMIANA LICZB W SYSTEMIE DZIESIĘTNYM
NA SYSTEM SIÓDEMKOWY I NA ODWRÓT
podaj liczbę w systemie dziesiętnym z zakresu od 1 do 79792266297612000 : n = 1892
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
3
4
2
podaj liczbę w systemie siódemkowym z zakresu od 0 do 66666666666666666666 : k = 5604
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
6
0
4
k = 2013
9
DODAWANIE NA LICZBACH W SYSTEMIE SIÓDEMKOWYM
k1
(
216546 )7
k2
(
64325 )7
k3
+
(
)7
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
1
4
2
0
4 ) 7
MNOŻENIE NA LICZBACH W SYSTEMIE SIÓDEMKOWYM
k1
(
5342 )7
k2
X
(
6 )7
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
5
0
4
5 )7
10
TABLICA 7
DODAWANIE NA LICZBACH W SYSTEMIE PIĄTKOWYM
k1
(
43412 )5
k2
(
21423 )5
k3
+
(
)5
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
3
4
0 ) 5
MNOŻENIE NA LICZBACH W SYSTEMIE PIĄTKOWYM
k1
(
3214 )5
k2
X
(
3 )5
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
2
0
2 )5
11