3. Znają c transformację współrzę dnych Lorentza, dla

przypadku, gdy układ S2 porusza się wzglę dem S1 ze stałą

prę dkoś cią v wzdłuż osi x-ów:…wyprowadź transformację

prę dkoś ci. Przeanalizuj otrzymany wynik w porównaniu z

transformacją Galileusza.

Lorentzowskie dodawanie prędkości - transformacja

prędkości Lorentza

r

dr r

v =

Przypomnienie: Def. Prędkości:

dt (1.29)

składowe prędkości

vx = dx/dt

vy = dy/dt (1.30a-c)

vz = dz/dt

Korzystamy z TL wzór (1.21a-d) , następnie wyliczamy

różniczki kolejnych współrzędnych a potem ich pochodne po

czasie.

dx − vdt

( v − v) d t

1

1

1

1

dx

x

=

=

2

2

2

1 − ( v / c)

1 − ( v / c)

dy = dy

2

1

dz = dz

2

1 (1.31a-d)

2

2

dt − v / c dx

1

[ − ( v / c ) v ] dt

1

1

1

1

dt

x

=

=

2

2

2

1− ( v / c)

1− ( v / c)

Dzieląc obustronnie równania (1.31a-c) przez (1.31c)

otrzymujemy transformacje prędkości Lorentza w następującej

postaci:

v − v

1 x

v

=

2 x

1 − ( v / c 2 ) v 1 x

v

1 − v

( / c 2

)

1 y

v

=

2 y

1 − v

( / c 2 ) v 1 x (1.32a-c)

v

1 − ( v / c 2

)

1 z

v

=

2 z

1 − ( v / c 2 ) v 1 x

Ze związków (1.32a-d) wynika, że mimo iż ruch układu S2

względem S1 odbywa się wzdłuż osi x-ów to składowe

prędkości v2y oraz v2z zależą również od v1x. Dla v/c →0 TL

równania (1.32a-d) przechodzą w równania opisujące TG dla

prędkości.

v2x = v1x – v

v2y = v1y (1.33a-d) v2z = v1z

10. Dla równania ruchu: x=Asin(ω t+φ ) znajdź : prę dkość ,

przyspieszenie oraz wyraż enie na siłę , która powoduje taki

ruch. Objaś nij wielkoś ci wystę pują ce w równaniu ruchu.

Korzystają c z wektora wirują cego podaj graficzną

interpretację wychylenia x w ruchu harmonicznym.

Wychylenie i siła

Szukamy wyrażenia na siłę, która powoduje ruch oscylacyjny

np. sinusoidalny.

x = A sin(ωt + ϕ) (2.18) gdzie:A – amplituda (maksymalne wychylenie dla sin (ωt+ϕ)

=1), ω = 2π/T (T okres ), jest prędkością kątową, ϕ - faza

początkowa ruchu (dla t=0)

Szukamy wyrażenia na prędkość v oraz na przyspieszenie a:

v = dx/dt = Aωcos(ωt + ϕ) (2.19) a = dv/dt = d2x/dt2 = - Aω2sin(ωt + ϕ) (2.20)

Znając wyrażenie na a możemy zapisać wzór na siłę F, która

musi działać na ciało, ażeby poruszało się ono ruchem

harmonicznym (np. sinusoidalnym). Zgodnie z zasadami

dynamiki Newtona otrzymujemy:

r

2

= r = − ω

F

ma

m

x (2.21)

F=-kx (2.22)

k jest stałą sprężystości zdefiniowaną :

k = mω2

(2.23)

Stąd relacja :

ω = (k/m)1/2 (2.24)

Wychylenie w ruchu harmonicznym można zilustrować za

pomocą wektora wirującego.

Wychylenie ciała w ruchu harmonicznym (sinusoidalnym)

można rozważyć, jako składową x-ową wektora OP, którego

moduł OP = A.

Wektor OP obraca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

wokół osi O, z prędkością kątową ω i dla t=0, tworzy kąt ϕ z

osią y

Rys. Układ współrzędnych i wektor wirujący.

23. Podaj i zilustruj definicję zdolnoś ci rozdzielczej

Reyleigh’a.

Zdolność rozdzielcza Reyleigh’a – iest to najmniejszy kąt jaki tworzą między sobą dwie fale pochodzące od dwóch

oddalonych źródeł, dla którego obrazy dyfrakcyjne mogą być

rozdzielone, przyjmuje się że dwa obrazy mogą być

rozdzielone, gdy centralne maksymum jednego (n>0) pokrywa

się z pierwszym minimum drugiego oznacza to, że θ=λ/b

32.Podaj prawa dla statycznych pól B i E. W oparciu o te

prawa omów własnoś ci tych pól.

Pola statyczne:Pola E i B traktowane oddzielnie, podstawowe

równanie pozwalające wyliczyć E i B, gdy znane są ładunki i

prądy

Prawo

Forma całkowa

Forma różniczkowa

Prawo Gaussa dla pola

r

ρ

r

r

q

divE =

E; pole źródłowe

∫ E ⋅ s

d =

Σ

ε

ε

Prawo Gaussa dla pola

r

∫ B ⋅ s

d

r

r

= 0

di B

v =

B; pole bez źródłowe

Σ

0

Krążenie pola E; pole

r

r

r

∫ E ⋅ dl = 0

ro E

t = 0

bez wirowe

Γ

Krążenie pola B; pole

r

r

∫ B ⋅ l

d = µ I

r

r

ro B

t = µ j

wirowe

0

Γ

0

33. Wylicz pole E oraz B w układzie wspolzednych S1 i S2

dla następującego przykładu: układ S2 porusza się względem

S1 z prędkością v (v,0,0) W układzie S2 znajdują się w

spoczynku ładunki Qi q. Ładunek Q znajduje się w początku

układu S2 i jest źródłem pola elektrycznego, ładunek q jest

ładunkiem próbnym. Rozważamy :

Układ S porusza się względem układu S wzdłuż osi x-ów 2

1

z prędkością v r . Ładunki q (ładunek próbny) oraz Q

ładunek, który wytwarza pole E ) znajdują się w spoczynku w układzie S . Ładunki q i Q są takie same w układzie 2

S i S .

1

2

Rys. 5.7 Układ współrzędnych oraz ładunki Q i q

W układzie S , występuje tylko oddziaływanie

2

elektryczne, którego siła jest opisana znanym wzorem (5.21).

r

r

F = qE

2

2

r

E jest polem elektrycznym wytworzonym przez ładunek

2

Q i mierzonym w punkcie, gdzie znajduje się ładunek q .

r

Składowe F są następujące: F

= qE

2

x 2

x 2

F

= qE F = qE

y 2

y 2

z 2

z 2

Obserwator znajdujący się w układzie S widzi ładunki Q

1

i q w ruchu, czyli występuje pole E i B , którego siła 1

1

wyraża się wzorem:

r

r

r

F = q( E + v r × B )

1

1

1

Po rozpisaniu iloczynu wektorowego i uwzględnieniu

składowej wektora v r ( v , 0 , 0 ) , otrzymujemy

następujące równania skalarne na składowe wektora siły w

r

układzie S : F ( F , F , F )

1

1

1

x

y 1

z 1

F

=

1

x

qE 1

x

F

=

q( E

− vB )

1

y

1

y

1

z

F

=

q( E

+ vB )

1

z

1

z

1

y

Zgodnie z transformacją Lorentza związki między siłą F w

1

układzie S , a siłą F w układzie S są następujące: 1

2

2

F

= F

x 2

1

x

F 1

y

F

=

F

y 2

1

=

2

F

z

z 2

v

2

1 −

v

1 −

2

c

2

c

Wykorzystując związki (5.22a-c) oraz (5.25a-c) otrzymujemy:

qE

=

x 2

qE 1

x

q( E

−

+

1

vB

y

1 )

z

q( E 1 vB

z

1 )

y

qE

=

=

y 2

qEz 2

2

v

2

v

1 −

1 −

2

c

2

c

Wzory (5.26a-c) stanowią TL dla pola elektromagnetycznego.

Wynika z nich, że pola E i B nie są wielkościami

rozdzielonymi, ale stanowią całość - pole elektromagnetyczne.

Rozdzielenie pola elektromagnetycznego na składową

elektryczną i magnetyczną nie jest sprawa bezwzględną, ale

zależy od ruchu ładunku w stosunku do obserwatora. Tak więc

możemy mówić o oddziaływaniach elektromagnetycznych.