Wydział WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
Twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a
Zad.1 Sprawdź, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle’a w podanych przedziałach: 1.1 f (x) = x3 + 4x2 − 7x − 10
− 1 6 x 6 2
1.2 f (x) = ln sin x
π 6 x 6 5π
6
6
1.3 f (x) = π − arctg |x|
− 1 6 x 6 1
4
Zad.2
Nie znajdując pochodnej funkcji f (x) = (x + 1)(x − 2)(x − 4)(x − 5) oblicz ilość pierwiastków równania f 0(x) = 0 i podaj przedziały, w których one leżą.
Zad.3 Sprawdź, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Lagrange’a w podanych przedziałach: 3.1 f (x) = x − x2
− 2 6 x 6 1
3.2 f (x) = arctg x
0 6 x 6 1
√
Zad.4 Zastosuj twierdzenie Lagrange’a do funkcji f (x) = arctg x na przedziale −1 , 3 . Wyznacz odpowiednie
punkty.
Różniczka zupełna
Zad.5 Wyznacz różniczki zupełne funkcji:
√
5.1 f (x) =
x2−1 + arcsin 1
5.2 f (x) = ln e2x + 1 − 2 arctg ex x
x
5.3 f (x) = ( x2 + 9 ) arctg x − 3x 3
Zad.6 Oblicz, korzystając z różniczki zupełnej, przybliżoną wartość wyrażenia:
√
6.1 ln(1, 02)
6.2
3 8, 12
6.3 arctg (1, 01)
6.4 e−0,05
6.5 arcsin (0, 505)
6.6
1
√8,99
Wzór Taylora
Zad.7 Napisz wzór Taylora rzędu n dla funkcji f (x) w otoczeniu punktu x0 : 7.1 f (x) = arcsin x
n = 1, x0 = 0
7.2 f (x) = x cos x
n = 3, x0 = 0
7.3 f (x) = x2x
n = 1, x0 = 1
7.4 f (x) = ln(x2 + x − 2)
n = 2, x0 = 2
Zad.8 Napisz wzór Maclaurina dla funkcji f (x) : 8.1 f (x) = 4 sin x cos x
8.2 f (x) = e3x
8.3 f (x) =
1
√1−x
Zad.9 Napisz wzór Taylora dla funkcji f (x) w otoczeniu punktu x0 : 9.1 f (x) = cos x
x0 = π
9.2 f (x) = e2x
x
x
2
0 = 1
9.3 f (x) = 1x
0 = −1
Zad.10 Wielomian f (x) = x4 − 5x3 + x2 − 3x + 4 przedstaw jako sumę potęg dwumianu x − 4 .
Zad.11 Oszacuj błędy wzorów przyblożonych: 11.1
ex ≈ 1 + x + x2 + x3 + x4
0 6 x 6 1
2
6
24
11.2
tg x ≈ x + x3
|x| 6 0, 1
6
√
11.3
1 + x ≈ 1 + x − x2
|x| 6 1
2
8
4