Warszawa 09.06.08

Politechnika Warszawska

Wydział Inżynierii lądowej Instytut Mechaniki Konstrukcji Inżynierskich Zakład Wytzrymałości Materiałów Teorii Sprężystości i Plastyczności Praca projektowa

Wykonał Piotr Skorek

Zadanie 1

Dane do zadania:

kN := 1000⋅N

4

kN

kN

kN

E := 2.05⋅

kN

10 ⋅

R

:=

⋅

:=

⋅

:=

⋅

H

19

Re

23

R

20.5

2

2

2

2

cm

cm

cm

cm

λ := π

E

gr

RH

Geometria kratownicy

2

2

L :=

(

⋅

+ (

⋅

=

:=

:=

1

250 cm)

300 cm) L1 390.512 cm cosβ

250cm

sinβ

300cm

L1

L1

2

2

L :=

(

⋅ ) + (150⋅cm) L =

cosα

400cm

:=

sinα

150cm

:=

2

400 cm

2

427.2 cm

L

L

2

2

2

2

L :=

(

⋅

+ (

⋅

=

3

450 cm)

150 cm) L3 474.342 cm

cosγ

450cm

:=

sinγ

150cm

:=

L

L :=

⋅

3

L3

4

300 cm

L :=

5

L3

L :=

=

=

6

L2

cosα

0.936

sinα

0.351

L :=

7

L1

L :=

=

=

8

300cm

cosβ

0.64

sinβ

0.768

L

:=

11

L8

cosγ = 0.949

sinγ = 0.316

L :=

9

250cm

L

:=

10

L9

Obliczenie reakcji

150kN⋅550cm − 40kN⋅250cm

S :=

:=

R :=

S

R =

8

0

10

0

1

1

90.625 kN

800cm

S :=

S

:=

150⋅kN⋅250cm − 40kN⋅550cm

9

0

11

0

V :=

V =

5

5

19.375 kN

800cm

H := ⋅

5

0 kN

Obliczenie sił podłużnych w kratownicy Węzeł 1

R −

⋅

+

⋅

1

S2 sinα S1 sinβ = 0

S ⋅

+

⋅

2 cosα

S1 cosβ = 0

S = −

1

89.88 kN

S =

2

61.452 kN

Węzeł 2

S

− ⋅

−

−

⋅

1 sinβ

150kN

S3 cosγ = 0

S +

⋅

−

⋅

4

S3 sinγ S1 cosβ = 0

S = −

3

85.331 kN

S = −

4

30.556 kN

Węzeł 5

S ⋅

+

⋅

6 cosα

S7 cosβ = 0

V −

⋅

+

⋅

5

S6 sinα S7 sinβ = 0

S =

6

13.138 kN

S = −

7

19.216 kN

Węzeł 4

40kN − S ⋅

−

⋅

7 sinβ

S5 cosγ = 0

S

−

−

⋅

+

⋅

4

S5 sinγ S7 cosβ = 0

S = −

4

30.556 kN

S =

5

57.724 kN

Węzeł 3 - spr

S ⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

2 sinα

S3 cosγ S5 cosγ S6 sinα 0 N

OK!

Zadanie 2

1.W prętach rozciąganych pasa dolnego (2, 6) P

:=

max

S2

P

=

max

61.452 kN

Pmax

2

A :=

=

1

A1 2.998cm

R

Przyjęto przekrój ][40:

2

A :=

⋅

1

7.02 cm

4

4

I

:=

⋅

:=

⋅

y1

14.52 cm

Iz1

11.40 cm

i

:=

⋅

:=

⋅

y1

1.44 cm

iz

1.27 cm

2.W prętach ściskanych pasa górnego (4) L =

:=

4

300 cm

Pmax

S4

P

= −

λ =

kN

max

30.556 kN

gr

103.193

R = 20.5

2

cm

Dla przekroju ][40

2

i

:=

⋅

:=

⋅

min

1.27 cm

A2

7.02 cm

L

λ

4

:=

λ = 236.22

imin

π2⋅E

kN

R

:=

=

kr

Rkr 3.626

λ2

2

cm

P

:=

⋅

=

kr

Rkr A2

Pkr 25.454 kN

3.W pozostałych prętach

3.1 rozciąganych (5)

P

:=

max

S5

P

=

max

57.724 kN

Pmax

2

A

:=

=

3r

A3r 2.816cm

R

3.2 ściskanych (1,3, 7)

pręt 1 i 3

kN

L =

:=

=

:=

1

390.512 cm

Pmax1

S1

L3 474.342 cm

Pmax3

S3

λ =

=

gr

103.193

R

20.5

2

cm

P

= −

= −

max1

89.88 kN

Pmax3

85.331 kN

Dla przekroju złożonego z dwóch kątowników 65x65x6a, grubość przewiązki 10

2

i

:=

⋅

:=

⋅

min

2.48 cm

A3s

15.10 cm

L

π2⋅

L

π2⋅

λ

1

:=

λ =

E

:=

λ

3

:=

λ =

E

:=

1

1

157.465

Rkr1

3

3

191.267

Rkr3

imin

λ 2

imin

λ 2

1

3

kN

kN

R

=

:=

⋅

=

:=

⋅

kr1

8.16

Pkr1

Rkr1 A3s

Rkr3 5.531

Pkr3

Rkr3 A3s

2

2

cm

cm

P

=

=

kr1

123.215 kN

Pkr3 83.512 kN

Przekrój nie spełnia wymagań Dla przekroju złożonego z dwóch kątowników 65x65x7, grubość przewiązki 10

2

i

:=

⋅

:=

⋅

min

2.47 cm

A3s

17.40 cm

L

π2⋅

L

π2⋅

λ

1

:=

λ =

E

:=

λ

3

:=

λ =

E

:=

1

1

158.102

Rkr1

3

3

192.041

Rkr3

imin

λ 2

imin

λ 2

1

3

kN

kN

R

=

:=

⋅

=

:=

⋅

kr1

8.094

Pkr1

Rkr1 A3s

Rkr3 5.486

Pkr3

Rkr3 A3s

2

2

cm

cm

P

=

=

kr1

140.84 kN

Pkr3 95.458 kN

A :=

3

A3s

Zadanie 3

Obliczenie przemieszczeń w węźle 3(K) Reakcje

1

1

R

:=

:=

1j

V5j

2

2

Obliczenie sił podłużnych w kratownicy Węzeł 1

R

−

⋅

+

⋅

1j

S2j sinα S1j sinβ = 0

S ⋅

+

⋅

2j cosα

S1j cosβ = 0

S

= −

1j

0.496

S

=

2j

0.339

Węzeł 2

S

− ⋅

−

⋅

1j sinβ

S3j cosγ = 0

S

+

⋅

−

⋅

4j

S3j sinγ S1j cosβ = 0

S

=

3j

0.402

S

= −

4j

0.444

Z symetri obciążenia i geometri: S

:=

5j

S3j

S

:=

6j

S2j

S

:=

7j

S1j

Węzeł 3 - spr

S ⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

− =

2j sinα

S3j cosγ S5j cosγ S6j sinα 1 0

OK!

1

1

1

w :=

⋅( ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ) +

⋅( ⋅ ⋅ ) +

⋅( ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

k

L2 S2 S2j L6 S6 S6j

L4 S4 S4j

L1 S1 S1j L3 S3 S3j L5 S5 S5j L7 S7 S

E⋅A

⋅

⋅

1

E A2

E A3

w =

k

0.148 cm

Zadanie 4

a) Macierze sztywności prętów w układzie lokalnym Pręt 1

250⋅cm

300⋅cm

c :=

s :=

L

L

1

1

 2

2





c

c⋅s

c

−

c

− ⋅s 

 374.35

449.221

3

− 74.35

4

− 49.221









E⋅A

2

2

3

c

 ⋅s

s

c

− ⋅s

s

−

449.221

539.065

4





− 49.221 5

− 39.065  kN

K

:=

⋅

K

=

e1

e1







L

2

2

3

− 74.35

4

− 49.221 374.35

449.221  cm

1

c

−

c

− ⋅s c

c⋅s









 4

− 49.221 5

− 39.065 449.221 539.065 



2

2 

 c

− ⋅s

s

−

c⋅s

s



Pręt 2

400⋅cm

c :=

1

− 50⋅cm

s

L

:=

2

L2

 2

2





c

c⋅s

c

−

c

− ⋅s 

 295.336

1

− 10.751 2

− 95.336 110.751









E⋅A

2

2

1

c

 ⋅s

s

c

− ⋅s

s

−

1



 − 10.751

41.532

110.751

4

− 1.532  kN

K

:=

⋅

K

=

e2

e2







L

2

2

2

− 95.336 110.751 295.336

1

− 10.751  cm

2

c

−

c

− ⋅s c

c⋅s









 110.751

4

− 1.532

1

− 10.751 41.532 



2

2 

 c

− ⋅s

s

−

c⋅s

s



Pręt 3

1

− 50cm

c :=

450cm

s

L

:=

3

L3

 2

2





c

c⋅s

c

−

c

− ⋅s 

 75.199

2

− 25.597

7

− 5.199 225.597









E⋅A

2

2

3

c

 ⋅s

s

c

− ⋅s

s

−

2



 − 25.597 676.791

225.597

6

− 76.791  kN

K

:=

⋅

K

=

e3

e3







L

2

2

7

− 5.199 225.597

75.199

2

− 25.597  cm

3

c

−

c

− ⋅s c

c⋅s









 225.597

6

− 76.791 2

− 25.597 676.791 



2

2 

 c

− ⋅s

s

−

c⋅s

s



Pręt 4

c := 1

s := 0

 2

2





c

c⋅s

c

−

c

− ⋅s 

 479.7 0

4

− 79.7 0









E⋅A

2

2

2

c

 ⋅s

s

c

− ⋅s

s

−

0

0

0

0





 kN

K

:=

⋅

K

=

e4

e4







L

2

2

4

− 79.7 0 479.7 0  cm

4

c

−

c

− ⋅s c

c⋅s









 0

0

0

0 



2

2 

 c

− ⋅s

s

−

c⋅s

s



Pręt 5

150cm

450cm

c :=

s :=

L

L

5

5

 2

2





c

c⋅s

c

−

c

− ⋅s 

 75.199

225.597

7

− 5.199

2

− 25.597









E⋅A

2

2

3

c

 ⋅s

s

c

− ⋅s

s

−

225.597

676.791

2





− 25.597 6

− 76.791  kN

K

:=

⋅

K

=

e5

e5







L

2

2

7

− 5.199

2

− 25.597 75.199

225.597  cm

5

c

−

c

− ⋅s c

c⋅s









 2

− 25.597 6

− 76.791 225.597 676.791 



2

2 

 c

− ⋅s

s

−

c⋅s

s



Pręt 6

400cm

c :=

150cm

s

L

:=

6

L6

 2

2





c

c⋅s

c

−

c

− ⋅s 

 295.336

110.751

2

− 95.336 1

− 10.751









E⋅A

2

2

1

c

 ⋅s

s

c

− ⋅s

s

−

110.751

41.532

1





− 10.751

4

− 1.532  kN

K

:=

⋅

K

=

e6

e6







L

2

2

2

− 95.336 1

− 10.751 295.336 110.751  cm 6

c

−

c

− ⋅s c

c⋅s









 1

− 10.751

4

− 1.532 110.751

41.532 



2

2 

 c

− ⋅s

s

−

c⋅s

s



Pręt 7

2

− 50cm

c :=

300cm

s

L

:=

7

L7

 2

2





c

c⋅s

c

−

c

− ⋅s 

 374.35

4

− 49.221

3

− 74.35 449.221









E⋅A

2

2

3

c

 ⋅s

s

c

− ⋅s

s

−

4



 − 49.221 539.065

449.221

5

− 39.065  kN

K

:=

⋅

K

=

e7

e7







L

2

2

3

− 74.35 449.221

374.35

4

− 49.221  cm

7

c

−

c

− ⋅s c

c⋅s









 449.221

5

− 39.065 4

− 49.221 539.065 



2

2 

 c

− ⋅s

s

−

c⋅s

s



Pręt 8

c := 0

s := 1

 2

2





c

c⋅s

c

−

c

− ⋅s 

 0

0

0

0









2

2

3

3

E⋅A





3

c

 ⋅s

s

c

− ⋅s

s

−

0

1.189



× 10

0

1

− .189 × 10

kN

K

:=

⋅

K

= 



e8

e8

L

 2

2



0

0

0

0

8



 cm

c

−

c

− ⋅s c

c⋅s







3

3 



2

2 

 0

1

− .189 × 10 0 1.189 × 10 

 c

− ⋅s

s

−

c⋅s

s



Pręt 9

c := 1

s := 0

 2

2





c

c⋅s

c

−

c

− ⋅s 

 575.64 0

5

− 75.64 0









E⋅A

2

2

2

c

 ⋅s

s

c

− ⋅s

s

−

0

0

0

0





 kN

K

:=

⋅

K

=

e9

e9







L

2

2

5

− 75.64 0 575.64 0  cm

9

c

−

c

− ⋅s c

c⋅s











0

0

0

0 



2

2 

 c

− ⋅s

s

−

c⋅s

s



Pręt 10

c := 1

s := 0

 2

2





c

c⋅s

c

−

c

− ⋅s 

 575.64 0

5

− 75.64 0









E⋅A

2

2

2

c

 ⋅s

s

c

− ⋅s

s

−

0

0

0

0





 kN

K

:=

⋅

K

=

e10

e10







L

2

2

5

− 75.64 0 575.64 0  cm

10

c

−

c

− ⋅s c

c⋅s











0

0

0

0 



2

2 

 c

− ⋅s

s

−

c⋅s

s



Pręt 11

c := 0

s := 1

 2

2





c

c⋅s

c

−

c

− ⋅s 

 0

0

0

0









2

2

3

3

E⋅A





3

c

 ⋅s

s

c

− ⋅s

s

−

0

1.189



× 10

0

1

− .189 × 10

kN

K

:=

⋅

K

= 



e11

e11

L

 2

2



0

0

0

0

11



 cm

c

−

c

− ⋅s c

c⋅s







3

3 



2

2 

 0

1

− .189 × 10 0 1.189 × 10 

 c

− ⋅s

s

−

c⋅s

s



b) Macierz sztywności kratownicy K

:=

( , , , , ) + ( , , , , ) + ( , , , , ) 11

sb Ke1 1 2 1 2

sb Ke2 1 2 1 2

sb Ke8 1 2 1 2

 669.687

338.469  kN

K

= 



11

3

 338.469 1.77 × 10  cm

K

:=

( , , , , ) + ( , , , , ) + ( , , , , ) + ( , , , , ) 22

sb Ke1 3 4 3 4

sb Ke3 3 4 3 4

sb Ke4 1 2 1 2

sb Ke9 3 4 3 4



3



1.505



× 10

223.624

 kN

K

=

22



3 



cm

223.624

1.216 × 10 

K

:=

( , , , , ) + ( , , , , ) + ( , , , , ) + ( , , , , ) 33

sb Ke2 3 4 3 4

sb Ke3 1 2 1 2

sb Ke5 1 2 1 2

sb Ke6 1 2 1 2



− 14 

741.07

1.863



× 10

 kN

K

=

33



− 14

3 



cm

1.863 × 10

1.437 × 10



K

:=

( , , , , ) + ( , , , , ) + ( , , , , ) + (

, , , , )

44

sb Ke4 3 4 3 4

sb Ke5 3 4 3 4

sb Ke7 3 4 3 4

sb Ke10 1 2 1 2



3



1.505



× 10

2

− 23.624  kN

K

=

44



3 



cm

2

− 23.624 1.216 × 10 

K

:=

( , , , , ) + ( , , , , ) + (

, , , , )

55

sb Ke6 3 4 3 4

sb Ke7 1 2 1 2

sb Ke11 1 2 1 2

 669.687

3

− 38.469  kN

K

= 



55

3

 3

− 38.469 1.77 × 10  cm

 575.64

0

 kN

K

:=

( , ,4,3,4 + ( , ,2,1,2

K

) sb K

)

= 



66

sb Ke8 3

e9 1

66

3

 0

1.189 × 10  cm

 575.64

0

 kN

K

:=

(

, , 4, 3, 4 + (

, , 4, 3, 4

K

) sb K

)

= 



77

sb Ke10 3

e11 3

77

3

 0

1.189 × 10  cm

K

:=

( , ,2,3,4

 3

− 74.35

4

− 49.221  kN

)

12

sb Ke1 1

K

= 



12

 4

− 49.221 5

− 39.065  cm

 2

− 95.336 110.751  kN

K

:=

( , ,2,3,4

K

)

= 



13

sb Ke2 1

13

 110.751

4

− 1.532  cm

 0 0  kN

 0 0  kN

K

:= 

⋅

K

= 



14

14

 0 0  cm

 0 0  cm

 0 0  kN

 0 0  kN

K

:= 

⋅

K

= 



15

15

 0 0  cm

 0 0  cm

 0

0

 kN

K

:=

( , ,2,3,4

K

)

= 



16

sb Ke8 1

16

3

 0

1

− .189 × 10  cm

 0 0  kN

 0 0  kN

K

:= 

⋅

K

= 



17

17

 0 0  cm

 0 0  cm

 7

− 5.199 225.597  kN

K

:=

( , ,2,3,4

K

)

= 



23

sb Ke3 1

23

 225.597

6

− 76.791  cm

 4

− 79.7 0  kN

K

:=

( , ,2,3,4

K

)

= 



24

sb Ke4 1

24

 0

0  cm

 0 0  kN

 0 0  kN

K

:= 

⋅

K

= 



25

25

 0 0  cm

 0 0  cm

 5

− 75.64 0  kN

K

:=

( , ,2,3,4

K

)

= 



26

sb Ke9 1

26



0

0  cm

 0 0  kN

 0 0  kN

K

:= 

⋅

K

= 



27

27

 0 0  cm

 0 0  cm

 7

− 5.199

2

− 25.597  kN

K

:=

( , ,4,1,2

K

)

= 



34

sb Ke5 3

34

 2

− 25.597 6

− 76.791  cm

 2

− 95.336 1

− 10.751  kN

K

:=

( , ,4,1,2

K

)

= 



35

sb Ke6 3

35

 1

− 10.751

4

− 1.532  cm

 0 0  kN

 0 0  kN

K

:= 

⋅

K

= 



36

36

 0 0  cm

 0 0  cm

 0 0  kN

 0 0  kN

K

:= 

⋅

K

= 



37

37

 0 0  cm

 0 0  cm

 3

− 74.35 449.221  kN

K

:=

( , ,2,3,4

K

)

= 



45

sb Ke7 1

45

 449.221

5

− 39.065  cm

 0 0  kN

 0 0  kN

K

:= 

⋅

K

= 



46

46

 0 0  cm

 0 0  cm

 5

− 75.64 0  kN

K

:=

(

, , 4, 1, 2

K

)

= 



47

sb Ke10 3

47



0

0  cm

 0 0  kN

 0 0  kN

K

:= 

⋅

K

= 



56

56

 0 0  cm

 0 0  cm

 0

0

 kN

K

:=

(

, , 2, 3, 4

K

)

= 



57

sb Ke11 1

57

3

 0

1

− .189 × 10  cm

 0 0  kN

 0 0  kN

K

:= 

⋅

K

= 



67

67

 0 0  cm

 0 0  cm