dr Krzysztof Kisiel
Macierze i wyznaczniki
Definicja 1. Niech A bÄ™dzie macierzÄ… wymiaru m × n. MacierzÄ… transpono-
wanÄ… do macierzy A nazywamy macierz E wymiaru n × m takÄ…, że
aij = eji,
gdzie 1 d" i d" m oraz 1 d" j d" n.
Macierz transponowanÄ… oznaczamy AT .
Wyznaczniki
Definicja 2. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która
każdej macierzy kwadratowej A = [aij] przyporządkowuje liczbę rzeczywistą
detA.
Funkcja ta określona jest następującym wzorem indukcyjnym:
1. Jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to
detA = a11
2. Jeżeli macierz A ma stopień n e" 2, to
detA = (-1)1+1a11W11 + (-1)1+2a12W12 + ...(-1)1+na1nW1n,
gdzie Wij oznacza macierz stopnia n - 1 powstałą z macierzy A poprzez
skreślenie i - tego wiersza i j - tej kolumny. Macierz tę nazywamy minorem
elementu aij.

îÅ‚ Å‚Å‚

a11 a12 . . . a1j . . . a1n a11 a12 . . . a1j . . . a1n

ïÅ‚
a21 a22 . . . a2j . . . a2n śł a21 a22 . . . a2j . . . a2n
ïÅ‚ śł
. . . . . . . .
. . . .
ïÅ‚ śł
. . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . .
ïÅ‚ śł
detAn×n =det
ïÅ‚
ai1 ai2 . . . aij . . . ain śł = ai1 ai2 . . . aij . . . ain
ïÅ‚ śł
. . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . .
ðÅ‚ ûÅ‚
. . . .
. . . . . . . .


an1 an2 . . . anj . . . ann an1 an2 . . . anj . . . ann
Dopełnienie algebraiczne
Definicja 3. Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n e" 2. Dopełnie-
niem algebraicznym elementu aij macierzy A nazywamy liczbÄ™:
"
Wij = (-1)i+jWij
gdzie Wij jest minorem elementu aij.
Rozwinięcie wyznacznika w sensie Laplace a
Twierdzenie 4. Niech A = [aij] będzie macierzą kwadratową stopnia n e" 2,
i, j - ustalone liczby naturalne takie, że 1 d" i, j d" n. Wówczas:
1. wyznacznik jest równy rozwinięcie względem i - tego wiersza:
" " "
detA = ai1Wi1 + ai2Wi2 + ...ainWin.
lub równoważnie
2. wyznacznik jest równy rozwinięciu względem j - tej kolumny
" " "
detA = a1jW1j + a2jW2j + ...anjWnj.
Własności wyznaczników (Operacje niezmiennicze na wyznacznikach)
"


a11 a12 . . . 0 . . . a1n


a21 a22 . . . 0 . . . a2n

. . . .
. .

. . . . . .
. .
. . . .


ai1 ai2 . . . 0 . . . ain = 0

. . . .
. .
. . . . . .
. .
. . . .


an1 an2 . . . 0 . . . ann
Wyznacznik macierzy zmieni wartość na przeciwną, jeżeli przestawimy między
sobÄ… dwie kolumny lub dwa wiersze.
"


. . . a1i . . . a1j . . . . . . a1j . . . a1i . . .


. . . a2i . . . a2j . . . . . . a2j . . . a2i . . .

= -
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .


. . . ani . . . a1j . . . . . . anj . . . a1i . . .
Wyznacznik, w którym dwie kolumny lub dwa wiersze są proporcjonalne jest
równy zeru.
"


. . . a1i . . . Ä…a1i . . .


. . . a2i . . . Ä…a2i . . .

= 0
. . . . .
. . . . .
. . . . .


. . . ani . . . Ä…a1i . . .
Wyciąganie wspólnego czynnika przed wyznacznik
"


a11 a12 . . . ca1j . . . a1n a11 a12 . . . a1j . . . a1n


a21 a22 . . . ca2j . . . a2n a21 a22 . . . a2j . . . a2n

. . . . . . . .
. . . .

. . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . .


ai1 ai2 . . . caij . . . ain = c ai1 ai2 . . . aij . . . ain

. . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . .


an1 an2 . . . canj . . . ann an1 an2 . . . anj . . . ann
"


ca11 ca12 . . . ca1j . . . ca1n a11 a12 . . . a1j . . . a1n


ca21 ca22 . . . ca2j . . . ca2n a21 a22 . . . a2j . . . a2n

. . . . . . . .
. . . .

. . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . .


cai1 cai2 . . . caij . . . cain = cn ai1 ai2 . . . aij . . . ain

. . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . .


can1 can2 . . . canj . . . cann an1 an2 . . . anj . . . ann
Dodanie do elementów dowolnej kolumny(wiersza) odpowiadajacych jej ele-
mentów innej kolumny (innego wiersza) nie zmienia wartości wyznacznika.


a11 a12 . . . a1i . . . a1j . . . a1n


a21 a22 . . . a2i . . . a2j . . . a2n

=
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .


an1 an2 . . . ani . . . anj . . . ann


a11 a12 . . . a1i + ca1j . . . a1j . . . a1n


a21 a22 . . . a2i + ca2j . . . a2j . . . a2n

=
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . . . . .


an1 an2 . . . ani + canj . . . anj . . . ann
Własność tę wykorzystujemy chcąc doprowadzić dowolny wiersz lub dowolną
kolumnę do wektora, który ma same elementy zerowe z wyjątkiem jednego
elementu. To z kolei ułatwia obliczenie wyznacznika metodą Laplace a.
Inne metody obliczania niektórych wyznaczników
1. Sarrusa (n d" 3)
2. Chió (a11 = 0)

Macierz odwrotna
Definicja 5. Niech A będzie macierzą stopnia n. Macierzą odwrotną do macie-
rzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A-1, która spełnia warunek:
AA-1 = A-1A = In,
gdzie In jest macierzÄ… jednostkowÄ… stopnia n.
Uwaga 6. Jeżeli macierz A ma macierz odwrotną, to nazywamy ją odwracalną.
Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy detA = 0.

Macierz osobliwa i nieosobliwa
Definicja 7. Macierz kwadratowÄ… nazywamy macierzÄ… osobliwÄ…, gdy
detA = 0.
W przeciwnym przypadku macierz A nazywamy nieosobliwÄ….
Twierdzenie 8. (Postać macierzy odwrotnej)
1.Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest
nieosobliwa.
2.Jeżeli macierz A = [aij] stopnia n jest nieosobliwa, to
1
"
A-1 = [Wij]T ,
1d"i,jd"n
detA
" "
gdzie [Wij]1d"i,jd"n oznacza macierz dopełnień algebraicznych. Element Wij to
dopełnienie algebraiczne elementu aij.