WYZNACZNIKI
Niech dana będzie macierz kwadratowa A = [ai j] stopnia n postaci
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
a11 a12 a13 ... a1n śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a21 a22 a23 ... a2n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
A = a31 a32 a33 ... a3n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
. . . .
.
ïÅ‚ śł
. . . . .
.
ïÅ‚ . . . . śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
an1 an2 an3 ... ann ûÅ‚
Definicja 1 (indukcyjna wyznacznika macierzy).
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej
macierzy rzeczywistej A = [ai j] przypisuje liczbÄ™ rzeczywistÄ…, ozn. det A,
w sposób następujący:
1. jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to det A = a11,
2. jeżeli macierz A ma stopień n 2, to
det A = a11 det A11-a12 det A12+a13 det A13-...+(-1)1+na1n det A1n,
gdzie Ai j oznacza macierz stopnia n-1 otrzymanÄ… z macierzy A przez
skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Uwaga 1.
Wyznacznik macierzy A oznaczamy także symbolem det[ai j] lub |A|, a
w formie rozwiniętej przez

îÅ‚ Å‚Å‚
a11 a12 ... a1n
ïÅ‚ śł
a11 a12 ... a1n śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
a21 a22 ... a2n
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
a21 a22 ... a2n śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
.
ïÅ‚ śł
det lub
ïÅ‚ śł
. . . . .
. .
ïÅ‚ śł
. . . . . . .
. . .
ïÅ‚ . . . śł . . .
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
an1 an2 ... ann
an1 an2 ... ann ûÅ‚
Schemat obliczania wyznacznika stopnia drugiego


a11 a12
a21 a22 = a11a22 - a21a12
Schemat obliczania wyznacznika stopnia trzeciego -metoda Sarrusa


a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 -

a31 a32 a33 a31 a32
-a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33


a11 a12 a13
a21 a22 a23

a31 a32 a33 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 -
a11 a12 a13
a21 a22 a23
-a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33
Uwaga 2.
Korzystając z definicji wyznacznika łatwo można pokazać, że
1. det I = 1, dla macierzy jednostkowej I dowolnego stopnia
2. det(diag(a11, a22, a33, ..., ann)) = a11 · a22 · a33 · ... · ann
Definicja 2 (minora macierzy).
Minorem Mi j stopnia n - 1 macierzy kwadratowej A (lub wyznacznika
det A) odpowiadajÄ…cym elementowi ai j nazywamy wyznacznik macierzy
stopnia n - 1, która powstała z macierzy A, w której wykreślono i-ty
wiersz i j-tÄ… kolumnÄ™.
Definicja 3 (dopełnienia algebraicznego).
LiczbÄ™ Ai j = (-1)i+ jMi j, gdzie Mi j jest minorem stopnia n - 1 macierzy
kwadratowej A odpowiadającym elementowi ai j, nazywamy dopełnie-
niem algebraicznym elementu ai j.
Twierdzenie 1 (Laplace a o rozwinięciu wyznacznika).
Niech A = [ai j] będzie macierzą kwadratową stopnia n 2. Wówczas
wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowol-
nego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne, tj.
(1) det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3 + ... + ainAin
przy dowolnie ustalonym i, takim że 1 i n oraz
(2) det A = a1 jA1 j + a2 jA2 j + a3 jA3 j + ... + an jAn j
przy dowolnie ustalonym j, 1 j n.
Wzór (1) nazywamy rozwinięciem Laplace a względem i-tego wiersza
(2) nazywamy rozwinięciem Laplace a względem j-tej kolumny
Wniosek 1 (wyznacznik macierzy trójkątnej).
Wyznacznik macierzy trójkątnej dolnej lub górnej jest równy iloczynowi
elementów na jego głównej przekątnej, tj.

a11 0 0 ... 0 a11 a12 a13 ... a1n

a21 a22 0 ... 0 0 a22 a23 ... a2n

...
a31 a32 a33 ... 0 = 0 0 a33 ... a3n = a11 · a22 · · ann
. . . . . .
. .
. .
. . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . .
an1 an2 an3 ... ann 0 0 0 ... ann
Twierdzenie 2 (Cauchy ego).
Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych tego samego stopnia jest
równy iloczynowi wyznaczników tych macierzy, tj.
det(AB) = det A · det B
Wniosek 1.
Jeśli A jest macierzą kwadratową i n " N, to
det(A)n = (det A)n
Własności wyznaczników
Własność 1.
Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz) złożoną z
samych zer jest równy zero.
Własność 2.
Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak na przeciwny, jeżeli za-
mienimy z sobÄ… dwa wiersze lub dwie kolumny.
Własność 3.
Wyznacznik macierzy kwadratowej majÄ…cej dwie jednakowe kolumny
(dwa jednakowe wiersze) jest równy zero.
Własność 4.
Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) macierzy
kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć
przed wyznacznik tej macierzy.
Własność 5.
Jeżeli w wyznaczniku elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) są
proporcjonalne do odpowiednich elementów innego wiersza, to wyznacz-
nik ten jest równy zero.
Własność 6.
Wyznacznik macierzy kwadratowej, w której elementy pewnej kolumny
(pewnego wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie wy-
znaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (tego wiersza) są
zastąpione tymi składnikami.
Własność 7.
Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej ko-
lumny (wiersza) dodamy odpowiadajÄ…ce im elementy innej kolumny (in-
nego wiersza) pomnożone przez dowolną liczbę.
Własność 8.
Wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy do niej trans-
ponowanej.
Macierz odwrotna
Definicja 4 (macierzy odwrotnej).
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierzą odwrotną
do macierzy A nazywamy macierz, oznaczaną przez A-1, spełniającą
warunek
AA-1 = A-1A = In
gdzie In jest macierzÄ… jednostkowÄ… stopnia n.
Definicja 5 (macierzy odwracalnej).
Macierz kwadratowÄ… posiadajÄ…cÄ… macierz odwrotnÄ… nazywamy macie-
rzÄ… odwracalnÄ….
Definicja 6 (macierzy dołączonej).
Macierzą dołączoną do macierzy kwadratowej A (lub macierzą dopeł-
nień algebraicznych) nazywamy macierz, oznaczoną przez AD, powsta-
jącą z macierzy AT przez zastąpienie w niej każdego elementu ai j od-
powiadającym mu dopełnieniem algebraicznym Ai j.
Twierdzenie 3.
Dla dowolnej macierzy kwadratowej A i odpowiadajÄ…cej jej macierzy
dołączonej AD zachodzi
AAD = ADA = I det A
Definicja 7 (macierzy osobliwej i nieosobliwej).
Macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą, jeśli
det A = 0
W przeciwnym wypadku (tzn. det A 0) mówimy, że macierz A jest
nieosobliwa.
Twierdzenie 4 (o wyznaczaniu macierzy odwrotnej).
Jeżeli macierz A stopnia n jest nieosobliwa, to zachodzi wzór
1
A-1 = · AD
det A
Wniosek 2 (własności macierzy odwrotnych).
Niech macierze A i B tego samego stopnia będą odwracalne oraz niech
ą " R \ {0}, n " N. Wtedy macierze A-1, AT, AB, ąA, An także są
odwracalne i zachodzą równości:
det(A-1) = (det A)-1
(A-1)-1 = A
(AT)-1 = (A-1)T
(AB)-1 = B-1A-1
1
(Ä…A)-1 = (A-1)
Ä…
(An)-1 = (A-1)n
RzÄ…d macierzy
Wez
my dowolnÄ… macierz A o wymiarze m × n.
Definicja 8 (rzędu macierzy).
Rzędem macierzy nazywamy liczbę r, taką że istnieje minor stopnia r
różny od zera, natomiast wszystkie minory stopnia r + 1 jakie istnieją
w danej macierzy są równe zero. Przyjmujemy dodatkowo, że rząd ma-
cierzy zerowej jest równy zero. Rząd macierzy A oznaczamy symbolem
R(A).
Wniosek 2.
Rząd macierzy A jest liczbą całkowitą, taką że
0 R(A) min(m, n)
Wniosek 3.
Dla macierzy kwadratowej A stopnia n nieosobliwej R(A) = n.
Dla macierzy kwadratowej A stopnia n osobliwej R(A) < n.
Definicja 9 (przekształceń elementarnych).
Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy:
1. przestawienie dwóch wierszy (kolumn),
2. pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę różną od zera,
3. pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę i dodanie go do innego
wiersza (kolumny).
Twierdzenie 5.
Przekształcenia elementarne macierzy nie zmieniają rzędu tej macierzy.
Rząd macierzy nie zmienia się przy dopisaniu lub skreśleniu z macierzy
wiersza (lub kolumny) złożonego z samych zer.
Układy równań liniowych
Definicja 10.
Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x1,x2, x3, ... ,xn, gdzie
m, n " N, nazywamy układ równań postaci
Å„Å‚
ôÅ‚
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
òÅ‚
(3)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ...
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
gdzie ai j " R, bi " R dla 1 i m oraz 1 j n.
Ponadto
ai j nazywamy współczynnikami układu równań
bi wyrazami wolnymi
x niewiadomymi
j
Rozwiązaniem układu równań liniowych (3) nazywamy układ liczb rze-
czywistych x1, x2, ..., xn, które spełniają każde równanie tego układu.
Układ równań, który nie ma rozwiązania nazywamy układem sprzecz-
nym.
Definicja 11.
Układ równań (3) nazywamy układem jednorodnym, gdy
b1 = b2 = ... = bm = 0
natomiast układem niejednorodnym w przypadku przeciwnym.
Definicja 12.
Rozwiązanie układu równań (3) nazywamy zerowym, gdy
x1 = x2 = ... = xn = 0
Uwaga 3.
Rozwiązanie zerowe jest zawsze jednym z rozwiązań układu jednorod-
nego.
Metoda macierzowa rozwiązywania układów równań liniowych
Przyjmijmy następujące oznaczenia
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a11 a12 ... a1n śł b1 śł x1
ïÅ‚ ïÅ‚ ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ ïÅ‚ ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a21 a22 ... a2n śł b2 śł x2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = , B = , X =
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . .
.
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
. . . . . .
.
.
ïÅ‚ . . . śł ïÅ‚ . śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
am1 am2 ... amn ûÅ‚ bm ûÅ‚ xn
A naz. macierzą współczynników układu równań (macierzą układu)
B macierzą wyrazów wolnych (wektorem wyrazów wolnych)
X macierzÄ… niewiadomych (wektorem niewiadomych)
Przy tak przyjętych oznaczeniach układ równań (3) można zapisać w
postaci równania macierzowego
(4) AX = B
nazywanego postacią macierzową układu równań.
W przypadku kiedy m = n (układ ma tyle samo równań co niewiado-
mych) można stosować tzw. metodę macierzową rozwiązywania ukła-
dów równań, o ile macierz układu A jest macierzą nieosobliwą.
Przy takim założeniu istnieje macierz odwrotna do A, tj. A-1.
W wyniku lewostronnego pomnożenia obu stron równania (4) przez A-1
otrzymujemy poszukiwane rozwiÄ…zanie
X = A-1B
Wzory Cramera
Definicja 13 (układu Cramera).
Układ równań liniowych
Å„Å‚
ôÅ‚
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
òÅ‚
(5)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ...
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
w którym macierz A układu jest macierzą kwadratową nieosobliwą na-
zywamy układem Cramera.
Twierdzenie 6 (Cramera).
Układ Cramera (5) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to
określone jest wzorami
W1 W2 Wn
(6) x1 = , x2 = , ... xn = ,
W W W
gdzie W oznacza wyznacznik macierzy A, natomiast Wi, i = 1, 2, ..., n
oznacza wyznacznik macierzy, która powstała z macierzy A przez zas-
tąpienie w niej i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych bi, i = 1, 2, ..., n.
Wzory (6) nazywamy wzorami Cramera.
Wniosek 4.
Jednorodny układ Cramera ma tylko rozwiązanie zerowe, tzn.
x1 = x2 = ... = xn = 0
Rozpatrzmy ponownie układ m równań liniowych z n niewiadomymi
postaci
Å„Å‚
ôÅ‚
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
òÅ‚
(7)
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ...
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm
Definicja 14 (macierzy rozszerzonej).
Macierzą rozszerzoną nazywamy macierz C powstałą z macierzy A przez
dołączenie do niej kolumny wyrazów wolnych, tj. macierz postaci
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
a11 a12 ... a1n b1 śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ïÅ‚ śł
a21 a22 ... a2n b2 śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
C =
ïÅ‚ śł
. . . .
.
ïÅ‚ śł
. . . . .
.
ïÅ‚ . . . . śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚
am1 am2 ... amn bm ûÅ‚
Twierdzenie 7 (Kroneckera-Capelliego).
Układ (7) posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy
A jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej, tj. R(A) = R(C).
Jeżeli ponadto R(A) = R(C) = n, to układ równań (7) ma dokładnie
jedno rozwiązanie, natomiast gdy R(A) = R(C) = r < n, to układ (7)
posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n - r parametrów.
Wniosek 5.
Jeżeli R(A) R(C) to układ równań (7) nie ma rozwiązania.
Wniosek 6.
Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie.
Metoda eliminacji Gaussa
Definicja 15.
Przekształceniami elementarnymi układu równań liniowych nazywamy:
1. przestawienie z sobą dwóch równań układu,
2. pomnożenie równania układu przez liczbę różną od zera,
3. pomnożenie pewnego równania układu przez dowolną liczbę i doda-
nie do innego równania tego układu.
Twierdzenie 8.
Jeśli do danego układu równań liniowych zastosujemy przekształcenia
elementarne, to otrzymamy układ równoważny danemu układowi.
Twierdzenie 9.
Za pomocą przekształceń elementarnych (i ewentualnie zmiany numera-
cji niewiadomych) można dowolny układ równań liniowych sprowadzić
do tzw. układu normalnego postaci
Å„Å‚
ôÅ‚
c11x1 + c12x2 + c13x3 + ... + c1nxn = q1
Å» Å» Å» Å»
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
Å» Å» Å»
ôÅ‚ c22x2 + c23x3 + ... + c2nxn = q2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
...
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
crrxr + ... + crnxn = qr
Å» Å»
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
0 = qr+1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ...
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
0 = qm
z którego można odczytać rozwiązanie lub stwierdzić, że rozwiązania nie
ma. Jeśli r < m i któraś liczba qr+1,...,qm jest różna od zera, to układ
jest sprzeczny. Jeśli r < m lub r = m i qr+1 = qr+2 = ... = qm = 0, to
układ jest rozwiązalny. Wówczas jeśli
" r = n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,
" r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n - r
parametrów.
Algorytm metody eliminacji Gaussa
1. Jako pierwsze równanie układu wybieramy takie, w którym współ-
czynnik przy x1 jest różny od zera.
2. Od pozostałych równań układu odejmujemy pierwsze pomnożone
przez takie liczby, aby otrzymać zera jako współczynniki przy x1.
3. Pierwsze równanie pozostawiamy bez zmian, z pozostałych równań
wybieramy równanie o współczynniku przy x2 różnym od zera.
Postępujemy analogicznie jak w 2.
4. Postępujemy analogicznie dla kolejnych niewiadomych aż wszędzie
pod przekÄ…tnÄ… otrzymamy zera.
5. Wnioskujemy na temat liczby rozwiązań i ew. rozwiązujemy otrzy-
many układ od ostatniego równania.