EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ
Imi¸ i nazwisko. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ., Grupa. . . . . .
e
Zadanie 1.
(1) (1 + i)(1 - 2i) = 3 - 2i
(2) Jeśli z = 1 + 3i, to zz = 10.
Å»
1 1 4
(4) = - i.
1+4i 17 17
Zadanie 2.
(1) z = 1 + i jest pierwiastkiem równania z2 - 2z + 2 = 0.
(2) Jeśli z = 2 + i, to |z|6 = 125.
"
(4) Jeśli z = -1 - i, to z = 2(cos(315ć%) + i sin(315ć%)).
Zadanie 3.
(1) JeÅ›li istnieje liczba b " R, że dla każdej liczby a " A, a d" 2b, to zbiór A ‚" R jest
ograniczony z góry.
1 1
(2) Kres górny zbioru A = {1 - : n " N} wynosi .
2n2 2
"
(4) Istnieje najwi¸ liczba wymierna, która nie przekracza 3.
eksza
Zadanie 4.
(1) |2x + 1| wyraża odleg liczby x od x - 1.
lość
(2) Równanie |x - 3| + |x - 2| = 7 ma dok dwa rozwiazania.
ladnie ¸
(4) max{x, y} + min{x, y} = |y - x|.
Zadanie 5.
(1) 1!1 + 2!2 + . . . + n!n = (n + 1)! - 1 dla każdej liczby naturalnej n
(2) (1 + x)3 e" 1 + 3x + x3 dla każdej liczby rzeczywistej x.

n n
(4) Istnieje liczba naturalna n e" 10, dla której > .
2 n-2
Zadanie 6.
(1) Jeśli an = n2n, dla każdej liczby naturalnej n, to an+1 = 2an + 2n+1.
(2) Liczba 2004 jest wartościa ciagu (an) zadanego zależnościami: a1 = 1, a2 = 1 oraz
¸ ¸
an+1 = an + 2an-1, dla n e" 2.
(n+2)!
(4) Ciag o wyrazie ogólnym an = 1 + jest zbieżny.
¸
n!
Zadanie 7.
2n2+1
(1) Granica ciagu an = jest równa 2/3.
¸
3n2+3
(2) JeÅ›li ciag an jest nierosn¸ i ograniczony z góry, to ma granic¸
¸ acy e.
(4)
"
n3
lim " = 1.
n"
2 + ( n)3
Zadanie 8.
(-1)n
(1) Ciag an = jest zbieżny.
¸
2+(-1)n
"
"
n
n
(2) limn" n + 2 > limn" n
"
n
(4) limn" n2 = 1.
Zadanie 9.
1
(1) limn"(1 + )n = e.
n
"
2
(2) limn"(1 + )n = e.
n
(4) Liczba e leży pomi¸ 2, 5 a 5.
edzy
Zadanie 10.
n 1
(1) limn" k=1 2k = 2.
(2) limn" n sin(1/n) = 1.
n
(4) JeÅ›li ciag (an) ma wyrazy dodatnie, to ciag (bn) o wyrazach bn = ak ma granic¸
¸ ¸ e
k=1
w a b¸ nie.
laÅ›ciw¸ adz

Zadanie 11.
(1) Funkcja y = x - [x] jest okresowa.
(2) Funkcja y = sin(2x) + cos(x) jest okresowa.
(4) Każda funkcja f : R R jest sum¸ funkcji parzystej i nieparzystej.
a
Zadanie 12.
(1) Funkcja y = |x|3 + x jest rosn¸
aca.
(2) Jeśli f(x) = e2x i g(x) = 1 + ln x, to f ć% g(x) = x2.
(4) Funkcj¸ odwrotn¸ do y = (x + 1)1/5 - 1 jest y = (x + 1)5 + 1.
a a
Zadanie 13.
x-3
(1) limx3 x2-9 nie istnieje.
(2) limx0 sin x = 1.
x
(4) Funkcja f(x) = cos |x2 + 1| jest ciag
¸ la.
Zadanie 14.
(1) Funkcja f(x) = x6 - x + 1 nie ma miejsc zerowych w R.
(2) Funkcja cosinus jest przyk funkcji jednostajnie ciag
ladem ¸ lej.
(4) Z twierdzenia Weierstrassa wynika, że każda funkcja ciag na przedziale [0, 1], ma
¸ la
ograniczony zbiór wartości.
Zadanie 15.
(1) (sin x) = - cos x.
1
(2) (ln(2x)) = .
x

2 2
(4) ex = 2x2ex .
Zadanie 16.
(1) Wspó
lczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f(x) = x2 w punkcie o
odci¸ x = 4 wynosi 8.
etej
(2) Prosta y = x + 1 jest styczna do wykresu funkcji f(x) = x2 - x w punkcie o
wspó ednych x = 1, y = 0.
lrz¸
x
(4) (x arctg(x)) = + arctg(x).
x2+1
Zadanie 17.
(1) (x cos x) = sin x + x cos x.

ln x 1-ln x
(2) = .
x x2
(4) ((x2 + x)3) = (2x + 1)3.
Zadanie 18.
(1) Jeśli funkcja różniczkowalna f : R R ma w x0 minimum, to f (x0) = 0.
(2) Funkcja f(x) = x2 + sin(x) ma w x0 = 0 minimum.
(4) Funkcja f(x) = x + cos(x) jest rosn¸
aca.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Przepraszam, że wystawiam dopiero 23 stycznia, ale si¸ pochorowa i nie mia
e lem lem
jak tego zrobić. Przes
lawski
A