LABORATORIUM FIZYCZNE

Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej

ĆWICZENIE 1

Uzupełnienie do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego

metodą wahadła prostego

Ćwiczenie 1

ĆWICZENIE 1

Uzupełnienie do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego

metodą wahadła prostego

B.Oleś i J.Kurzyk

1. Przybliżenie małych drgań wahadła matematycznego

Ruch wahadła matematycznego możemy opisać jak ruch obrotowy pod wpływem zmieniającego

się wraz z kątem wychylenia momentu siły. Siłą odpowiedzialną za powstanie tego momentu siły jest

składowa ciężaru punktu materialnego,

sin , styczna do łuku, po którym porusza się ten punkt

(rys.1). Pozostałe siły, czyli druga składowa siły ciężkości,

cos i siła napięcia sprężystego nici ,

leżą na kierunku przechodzącym przez oś obrotu wahadła, więc nie dają żadnego wkładu do momen-

tu siły. Moment siły jest prostopadły do płaszczyzny ruchu wahadła, a jego rzut na oś obrotu wahadła

wynosi –

sin . Znak „−” w tym wzorze oznacza, że moment siły jest skierowany przeciwnie do

wychylenia kątowego1. Równanie ruchu wahadła matematycznego przyjmuje postać

= −

sin .

(1.1)

Rozwiązaniem tego równania jest skomplikowana

funkcja okresowa, której nie da się zapisać w po-

staci analitycznej.

Dla małych kątów funkcję sin można

przybliżyć przez kąt wyrażony w mierze łukowej

(radianach). Wówczas równanie (1.1) przyjmuje

prostszą postać

≈ −

sin

cos

lub po przekształceniu

Rys.1. Diagram przedstawiający siły działające na

≈ −

.

(1.2)

wahadło proste (w skrajnym położeniu, czyli

wtedy, gdy wahadło jest nieruchome). Przy ma-

Jest to typowe równanie ruchu tzw. oscylatora

łych kątach wychylenia ruch wahadła można

harmonicznego, czyli układu, który wykonuje

uznać za ruch harmoniczny prosty. Siłą odpowie-

dzialną za ruch wahadła wokół położenia rów-

drgania nazywane drganiami harmonicznymi.

nowagi jest składowa ciężaru ciała styczna do

Drgania harmoniczne są szczególnym przypad-

łuku, po którym się porusza i równa

sin . Siła

kiem drgań okresowych. Podczas drgań harmo-

, z jaką nić działa na kulkę, równoważy drugą

nicznych, wychylenie z położenia równowagi w

składową

cos .

funkcji czasu jest opisywane funkcją sinus

1 Wychylenie kątowe jest traktowane jak wektor o kierunku zgodnym z kierunkiem osi obrotu i zwrocie defi-niowanym regułą prawej dłoni lub śruby prawoskrętnej.

2

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego …

2

= sin

+ !",

gdzie

jest maksymalnym wychyleniem (amplitudą ruchu), a ! – fazą początkową. Okres małych

drgań wahadła matematycznego, czyli okres ruchu opisanego równaniem (1.2) wynosi

= 2 $ .

(1.3)

Zwróćmy uwagę, że do powyższego wzoru na okres drgań wahadła nie wchodzi amplituda

.

Oznacza to, że okres drgań wahadła nie zależy od amplitudy ruchu. Tą niezwykłą własnością charak-teryzują się wszystkie układy wykonujące drgania harmoniczne. Własność tę nazywamy izochroni-zmem. Spośród wszystkich ruchów okresowych jedynie ruchy harmoniczne posiadają własność izo-chronizmu.

W rzeczywistości ruch wahadła nie jest ruchem harmonicznym i jego okres zależy od amplitudy.

Przykładowy wykres zależności okresu rzeczywistych (anharmonicznych) drgań wahadła o długości ok. 1m od amplitudy przedstawia rysunek 2a. Zaś rysunek 3b prezentuje różnicę − między rze-czywistym okresem drgań tego wahadła a okresem drgań

hipotetycznego wahadła harmonicz-

nego w funkcji amplitudy drgań. Obie zależności przedstawiono w zakresie amplitud od 0° do 15°.

Przybliżenie ruchu wahadła ruchem harmonicznym, a tym samym uznanie wzoru (1.3) za wystar-

czająco dokładny możemy uznać za uzasadnione, jeśli błąd okresu drgań wahadła wynikający z tego

przybliżenia będzie co najmniej o rząd wielkości mniejszy od niepewności pomiaru okresu drgań wa-

hadła. Mierząc okres drgań wahadła metodą opisaną w następnym punkcie jesteśmy w stanie osią-

gnąć dokładność pomiaru okresu rzędu kilku setnych sekundy. Jak widzimy z rysunku 2b dla wahadła

o długości rzędu 1 m wychylonego o 15° różnica między okresem drgań wahadła, a okresem drgań

(harmonicznych) wyliczonym ze wzoru (1.3) jest rzędu 0,01 s. A zatem stosowanie przybliżonego wzoru (1.3) w przypadku tak dużej amplitudy byłoby nieuzasadnione. Dla amplitudy ok. 10° błąd okresu wynikający z przybliżenia (1.3) jest rzędu 0,005 s, a dla amplitudy ok. 5° rzędu 0,001 s. Tak

małych odstępstw od

2,010

0,010

2,008

0,008

2,006

0,006

) [s]

[s] 0

- T

2,004

(θ 0

T

0,004

T

2,002

0,002

2,000

0,000

o

o

o

0

5

10o

15

0

5 o

o

10

15

θ

θ0

0

(a)

(b)

Rys. 2. (a) Zależność okresu drgań wahadła o długości ok. 1 m od amplitudy drgań. (b) Różnica

− między okresem drgań wahadła o długości ok. 1 m, a okresem drgań hipotetycznego wa-

hadła harmonicznego o tej samej długości. W obu przypadkach ograniczono się do amplitudy

mniejszej lub równej 15°.

3

Ćwiczenie 1

anharmoniczności nie jesteśmy już w stanie wykryć metodą pomiaru okresu drgań wahadła, jaką zastosujemy w naszym eksperymencie. W związku z tym, w przypadku wahadła o długości rzędu 1 m

wychylonego o kilka stopni (nie więcej niż 10°) przybliżenie ruchu wahadła ruchem harmonicznym i

stosowanie wzoru (1.3) na okres drgań tego wahadła wydaje się być przybliżeniem bardzo dobrym w

warunkach naszego eksperymentu. Ponadto, spełniając powyższe założenia, nie musimy przejmować

się tym, że amplituda wskutek m.in. oporu powietrza, będzie malała w trakcie pomiarów, a także nie

musimy starać się, aby wychylenie początkowe wahadła podczas kolejnych prób było takie samo.

2. Przybliżenie małych drgań wahadła prostego

W przypadku każdego wahadła tzw. małe drgania możemy przybliżyć drganiami harmonicznymi,

tak jak zrobiliśmy to w przypadku wahadła matematycznego w punkcie 1.1. Rozwiązując problem małych drgań wahadła o długości , złożonego z kulki o średnicy zawieszonej na nierozciągliwej nici, dostaniemy w pierwszym przybliżeniu ruch harmoniczny o okresie

1

1

= 2 $ 1 + 10

" = $1 + 10

,

(2.1)

gdzie

oznacza okres małych drgań wahadła matematycznego. Użycie prostszego wzoru (1.3) za-

miast wzoru (2.1) będzie uzasadnione, jeśli błąd, jaki w ten sposób popełniamy będzie co najmniej o

rząd wielkości mniejszy niż niepewność pomiaru okresu. Przy niepewności pomiaru okresu rzędu setnych części sekundy, z jakim będziemy mieć do czynienia, warunek ten będzie spełniony już przy

stosunku / rzędu 0,3. Dla wahadła prostego o długości rzędu 1 m z kulką o średnicy rzędu 2 cm

różnica między okresem małych drgań wahadła prostego a okresem małych drgań wahadła matema-

tycznego jest rzędu 0,00004 s. Jest to wartość o trzy rzędy wielkości mniejsza od naszej niepewności

wyznaczenia okresu. A zatem stosowanie wzoru (1.3) jest w pełni usprawiedliwione.

3. Błędy systematyczne związane z metodą pomiaru -

Przeanalizujmy błędy związane z wyznaczaniem przyspieszenia metodą wahadła matematycz-

nego. Przypomnijmy, że wzór na okres (1.3) ma charakter przybliżony i stosując go do wyznaczenia

przyspieszenia ziemskiego godzimy się na popełnienie błędu systematycznego. Jest to uzasadnione jedynie wówczas, gdy niepewność wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego będzie co najmniej o rząd

wielkości większa od błędu systematycznego wynikającego z zastosowania wzoru (1.3) nie uwzględ-

niającego anharmoniczności drgań, rozmiarów kuleczki jak również szeregu innych czynników. Należą

do nich opory powietrza i tarcie wewnętrzne w nitce, siła wyporu powietrza, masa nitki i jej nie-znaczna rozciągliwość, fakt, że ruch nie odbywa się dokładnie w jednej płaszczyźnie.

Błędy procentowe wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego, wynikające z zaniedbania anharmo-

niczności drgań dla większych amplitud dla kulki o zaniedbywalnych rozmiarach oraz wynikające z zaniedbania rozmiarów kulki podano w Tabelach 3 i 4.

Tabela 3. Błędy procentowe wyznaczania wynikające z zaniedbania anharmoniczności drgań

./0( °

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Błąd (%)

0,004

0,015

0,034

0,061

0,095

0,14

0,19

0,24

0,31

0,38

4

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego …

Tabela 4. Błędy procentowe wyznaczania wynikające z zaniedbania rozmiarów kulki

/

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,1

Błąd (%)

0,002

0,008

0,018

0,032

0,05

0,072

0,098

0,13

0,2

Błędy wynikające z pozostałymi wyżej wymienionymi czynnikami są również małe. Dla przykładu,

błąd procentowy wynikający z nieuwzględnienia siły wyporu powietrza dla kulki stalowej jest rzędu

0,017%. Wszystkie błędy, o których była mowa mają ten sam znak, przez co wzajemnie się nie kom-

pensują i prowadzą do zaniżenia wartości . Całkowity błąd systematyczny wynikający z zastosowa-

nia wzoru

4

=

(3.5)

do obliczenia przyspieszenia ziemskiego jest w przybliżeniu sumą poszczególnych błędów.

Spróbujmy oszacować wielkość błędu popełnionego w trakcie naszych pomiarów. Jeśli zadbali-

śmy o to, żeby amplituda była mniejsza od 5°, stosunek średnicy kulki do długości wahadła był nie

większy niż 0,02, a kulka była wykonana ze stali, to błąd procentowy jaki popełnimy będzie rzędu 0,1%. Jeśli niepewność wyznaczenia będzie rzędu 1% lub większa, to wymienione błędy systematyczne możemy zaniedbać.

Błędy związane z pozostałymi, wyżej wymienionymi czynnikami są również małe. Dla przykładu,

błąd procentowy wynikający z nieuwzględnienia siły wyporu powietrza dla kulki stalowej jest rzędu

0,017%. Wszystkie błędy, o których była mowa mają ten sam znak, przez co wzajemnie się nie kom-

pensują i prowadzą do zaniżenia wartości . Całkowity błąd systematyczny wynikający z zastosowa-

nia wzoru (1.5) do obliczenia przyspieszenia ziemskiego jest w przybliżeniu sumą poszczególnych błędów.

Na zakończenie analizy błędów systematycznych w naszej metodzie pomiarowej zwróćmy jesz-

cze uwagę na liczbę występującą we wzorze, z którego wyliczamy . Stosowanie przybliżonych wartości stałych fizycznych lub matematycznych jest również źródłem błędów systematycznych. Jeśli

satysfakcjonuje nas błąd procentowy rzędu 0,01%, wówczas musi być spełniona nierówność

2∆ ∙100 < 0,01% ,

gdzie ∆ jest różnicą między wartością dokładną a naszym przybliżeniem liczby . Dostajemy stąd, że

nie wystarczy użyć popularnego przybliżenia 3,14, ale przybliżenia z dokładnością do czwartego miej-

sca po przecinku lub lepszego.

5