Zadania na ćwiczenia rachunkowe z fizyki dla studentów Fizyki Technicznej, rok I, sem. 1
Część VIIIA. Kinetyczna teoria gazów — równanie stanu gazu, rozkład Maxwella, zasada ekwipartycji energii
VIIIA.1) Oszacuj średnią odległość D między cząsteczkami w gazie doskonałym znajdującym się w warunkach normalnych. Określ w przybliżeniu, ile razy tzw. objętość swobodna, tj. objętość, w której czasteczka może się poruszać, jest większa od objętości cząsteczki gazu. Jeden mol gazu doskonałego w warunkach normalnych zajmuje objętość V 0 = 22 , 4 dm3, a średnica cząsteczki dwuatomowego gazu wynosi w przybliżeniu d = 3 · 10 − 10 m.
VIIIA.2) W temperaturze t = 100 ◦ C ciśnienie nasyconej pary wodnej wynosi p = 105 Pa. Obliczyć średnią odległość między cząsteczkami pary wodnej w tych warunkach.
VIIIA.3) Równoległa wiązka cząsteczek wodoru o prędkości v = 103 m/s pa-da na ściankę naczynia pod kątem α = 30 ◦ względem normalnej. Zakładając, że zderzenia cząsteczek ze ścianką są doskonale sprężyste, obliczyć ciśnienie wywierane przez gaz na ściankę. Przyjąć koncentrację cząsteczek w wiązce n 0 = 1026 m − 3, masę cząsteczki wodoru m = 3 , 34 · 10 − 27 kg.
VIIIA.4) W naczyniu znajduje się gaz, którego gęstość wynosi ρ. Przyjmu-jąc, że cząsteczki gazu poruszają się z jednakową prędkością v we wszystkich kierunkach, obliczyć ciśnienie wywierane przez gaz na ścianki naczynia.
VIIIA.5) Opierając się na rozkładzie Maxwella wyznacz: a) prędkość najbardziej prawdopodobną, b) prędkość średnią, c) prędkość średnią kwadratową oraz d) średnią energię kinetyczną cząsteczek wodoru w temperaturze T = 300 K.
VIIIA.6) Oblicz względną liczbę cząsteczek tlenu, których prędkości różnią się od prędkości najbardziej prawdopodobnej nie więcej, niż o ∆ v = 10 m/s.
Temperatura gazu T = 300 K.
VIIIA.7) Znaleźć stosunek liczby cząsteczek wodoru, których prędkości leżą w przedziale od v 1 = 1000 m/s do v 1 + ∆ v = 1010 m/s, do liczby cząsteczek, 1
których prędkości leżą w przedziale od v 2 = 2000 m/s do v 2 + ∆ v = 2010
m/s. Temperatura wodoru wynosi T = 300 K.
VIIIA.8) Obliczyć, jaki procent cząsteczek gazu ma prędkości zawarte w za-kresie między prędkością najbardziej prawdopodobną a prędkością średnią kwadratową. Posłużyć się przybliżoną metodą całkowania funkcji rozkładu Maxwella, zastępując pole pod krzywą polem trapezu.
VIIIA.9) Korzystając z rozkładu Maxwella wyprowadzić wzór, określający rozkład energii kinetycznej cząsteczek gazu doskonałego. Znaleźć najbardziej prawdopodobną wartość energii cząsteczek gazu.
VIIIA.10) Oblicz koncentrację cząsteczek tlenu pod ciśnieniem p = 97 kPa, jeśli prędkość średnia kwadratowa cząsteczek w tych warunkach wynosi vm =
600 m/s.
VIIIA.11) Znaleźć w danej temperaturze stosunek średniej prędkości kwa-dratowej cząsteczki gazu doskonałego do prędkości rozchodzenia się dźwięku w tym gazie. Przyjąć, że gaz składa się z cząsteczek: a) jednoatomowych, b) dwuatomowych.
VIIIA.12) W naczyniu znajduje się wodór o masie m = 10 − 2 kg i temperaturze t = 27 ◦ C. Obliczyć energię ruchu postępowego i energię ruchu obrotowego wszystkich cząsteczek wodoru.
VIIIA.13) Dwa izolowane cieplnie naczynia połączone są ze sobą krótką rurką z kranem. W naczyniach tych znajdują się dwa różne gazy w odmien-nych warunkach. Znane są następujące wielkości: objętości naczyń V 1 i V 2, temperatury T 1 i T 2, liczby kilomoli n 1 i n 2, oraz liczba stopni swobody i 1 i i 2 czasteczki każdego gazu. W pewnej chwili otwarto kran i gazy wymieszały się. Znaleźć temperaturę T i ciśnienie p tak powstałej mieszaniny.
Odpowiedzi
q
VIIIA.1) D = 3 V 0 = 3 , 34 · 10 − 9 m, Vsw ≈ 6 V 0 = 2631.
NA
Vcz
πNAd 3
q
VIIIA.2) D = 3 kT = 3 , 72 · 10 − 9 m.
p
VIIIA.3) p = 2 n 0 mv 2 cos2 α ≈ 500 kPa.
2
VIIIA.4) p = 1 ρv 2.
3
q
q
VIIIA.5) a) v
2 RT
8 RT
p =
= 1575 m/s, b) ¯
v =
= 1777 m/s,
µ
πµ
q
c) v
3 RT
m =
= 1928 m/s, d) ¯
E
kT = 6 , 21 · 10 − 21 J.
µ
k = 3
2
q
VIIIA.6) ∆ N = 8∆ v
µ
= 0 , 042.
N
e
2 πRT
2
µ
VIIIA.7) ∆ N 1 = v 1
e
( v 2 −v 2)
2 RT
2
1
= 0 , 838.
∆ N 2
v 2
q
3
VIIIA.8) ∆ N ≈ 2
3 − 1
3 e − 2 + e − 1 = 17 , 8%
N
1
π
2
2
2
(dokładna wartość ∆ N = 18 , 1%).
N
1
E
VIIIA.9) F ( E) =
2 E 2
e − kT , E
kT .
1
3
kp = 1
π
2
2 ( kT ) 2
VIIIA.10) n 0 = 3 NAp = 1 , 52 · 1025 m − 3.
µv 2
m
q
VIIIA.11) vm =
3 , a) vm = 1 , 34, b) vm = 1 , 46.
vdź
κ
vdź
vdź
VIIIA.12) Upost = 3 mRT = 18 , 7 kJ, U
= 12 , 5 kJ.
2 µ
obr = ( i− 3) mRT
2 µ
VIIIA.13) T = n 1 i 1 T 1+ n 2 i 2 T 2 , p = n 1+ n 2 RT .
n 1 i 1+ n 2 i 2
V 1+ V 2
Wzory
1. Stałe
a) liczba Avogadro:
NA = 6 , 0225 · 1026 kmol − 1 , b) stała Boltzmanna:
R
k =
= 1 , 380 · 10 − 23 J / K
NA
2. Podstawowy wzór kinetycznej teorii gazów:
2
pV = NE
3
k
3
3. Rozkład Maxwella (rys. 1):
∆ N = Nf ( v) ∆ v,
gdzie:
3
4
!
m 2
mv 2
f ( v) =
v 2 exp −
1
π 2
2 kT
2 kT
4. Całki:
1
Z
∞
1 π 2
e −ax 2d x =
, a > 0 ,
0
2
a
Z
∞
1
x e −ax 2d x =
, a > 0 ,
0
2 a
Z
∞
n − 1 Z ∞
xn e −ax 2d x =
xn− 2e −ax 2d x, n > 1 , a > 0
0
2 a
0
5. Energia kinetyczna cząsteczki gazu:
i
Ek = kT,
2
gdzie i — liczba stopni swobody cząsteczki (rys. 2): l
1
2 3
i
3
5
6
l — liczba atomów w cząsteczce
6. Ciepło właściwe gazów:
i
Cv = R,
2
i + 2
Cp =
R,
2
i + 2
κ =
i
4
Rysunek 2:
5