Uzupełniający komentarz do wykładów 11. Elementy teorii potencjału siły ciężkości

Slajd.20

Celem jest rozwiązanie całki na potencjał grawitacyjny V.

Dana jest bryła. W jej w środku ciężkości zaczepiony jest układ prostokątny XYZ, przy czym

oś Z pokrywa się z osią obrotu bryły, a osie X i Y leżą w płaszczyźnie równikowej bryły.

Położenia punktu przyciąganego A oraz masy elementarnej dM jest podane za pomocą

współrzędnych sferycznych: r, Θ, λ. Za pomocą tych współrzędnych można opisać również

wartość masy elementarnej dM (wzór 1) oraz odległość punktu A od tej masy (wzór 2). Wzór

3 wynika z przekształconego wzoru 2. Wzór ten można przedstawić w postaci rozwinięcia w

szereg za pomocą dwumianu Newtona.

Slajd.21

Składniki poszczególnych wyrazów tego rozwinięcia są wielomianami Legendre'a. Stąd wzór

na odwrotność odległości przyjmuje postać (wzór 1) w funkcji wielomianów Legendre'a

Pn(cosψ) (wzór 2). Następnie wprowadzona zostaje powierzchniowa funkcja kulista Yn(Θ,λ)

(wzór 3). Funkcję tą definiuje się następująco: „powierzchniową harmoniczną funkcją kulistą

nazywa się wyrażenia będące iloczynem funkcji Legendre’a i i składników w postaci cos(mλ ) i

sin(mλ )”

Slajd.22

Po wstawieniu do wzoru na potencjał V (slajd 20) rozwinięcia odwrotności odległości w

postaci wielomianów Legendre'a podanych w postaci powierzchniowych funkcji kulistych i

scałkowaniu poszczególnych składników otrzymuje się zależność na potencjał grawitacyjny

w punkcie A (wzór 1). Rozwinięcie potencjału w tej postaci pozwala na przedstawienie

widmowego rozkładu pola grawitacyjnego. Różne wartości m i n sprawiają, że powierzchnia

zostaje podzielona na tzw. harmoniki strefowe, sektorowe i teseralne (rysunek).

Współczynniki J i K mają swoją interpretację fizyczną: np. J2 - reprezentuje spłaszczenie

bryły (Ziemi), J22 i K22 opisują asymetrię równikowego rozmieszczenia masy. Współczynniki

te oblicza się na podstawie wyników pomiarów geodezyjnych i gradiometrycznych (satelity

gradiometryczne). Liczba znanych współczynników decyduje o szczegółowości modelu

potencjału.

Slajd.23

Rysunek: na punkt A znajdujący się na powierzchni obracającej się z prędkością υ wokół osi

Z działa siła odśrodkowa P. Jej wartość (wzór 1). Wektor prędkości liniowej styczny do toru

ruchu ciała przedstawia wzór 2, gdzie ω to prędkość kątowa. W związku z tym wartość siły P

można przedstawić w postaci (wzór 3).

Slajd.24

Natężenie siły odśrodkowej (wzór 1) to podobnie jak dla pola grawitacyjnego stosunek siły do

masy. Wzór 2 i jego rozwinięcie (wzór 3) przedstawiają wartość potencjału u siły

odśrodkowej. Wartość jego jest funkcją m.in. szerokości ϕ(Θ) i przyjmuje zero dla punktów

ϕ=π/2 (bieguny). Potencjał odśrodkowy nie jest funkcją harmoniczną. Pochodne tego

potencjału obliczone w kierunkach osi układu przestrzennego XYZ są składowymi wektora

przyspieszenia odśrodkowego γ′ (wzory 3,4,5). Zbiór punktów o wartości stałego potencjału

(wzór 6) u=const przedstawia powierzchnie ekwipotencjalne potencjału odśrodkowego, które

mają postać pobocznicy walca.

Slajd.25

Punkt A leżący na powierzchni obracającej się Ziemi znajduje się jednocześnie w polu

grawitacyjnym i polu siły odśrodkowej. Potencjał w punkcie A jest złożeniem potencjału

grawitacyjnego V i odśrodkowego V' (wzór 1). Taki potencjał nazywamy potencjałem

ciężkościowym W; sumę sił grawitacji F i odśrodkowej P - nazywamy siłą ciężkości, a sumę

natężenia pola grawitacyjnego i odśrodkowego natężeniem pola ciężkości g. Pochodne

potencjału ciężkościowego w kierunkach osi XYZ stanowią składowe wektora ciężkości

(wektora siły ciężkości) (wzór 5,6,7). Kierunek wektora ciężkościowego jest kierunkiem linii

pionu a powierzchnie do niego prostopadłe są tzw. powierzchniami poziomymi. Kierunek ten

często oznaczany jest przez "n". Powierzchnie poziome tworzą rodzinę powierzchni

ekwipotencjalnych potencjału ciężkościowego W=const. Powierzchnie te w pobliżu Ziemi

mają kształt elipsoidalny. Z wzoru 8 wynika, że dn stanowi odstęp powierzchni W różniących

się potencjałem dW. Stąd dla zmiennej wartości g z racji zmiennej wartości γ' dn również

ulega zmianie. To wskazuje, że odstęp powierzchni W=const jest zmienny czyli powierzchnie

poziome są nierównoległe. Analiza wzoru 8 prowadzi do wniosku, że w płaszczyźnie

równikowej, gdzie przyspieszenie odśrodkowe jest maksymalne i przeciwnie skierowane do

przyspieszenia grawitacyjnego odstęp ten jest największy. Nierównoległość powierzchni

ekwipotencjalnych potencjału ciężkościowego wskazuje na krzywoliniowość linii pionu jako

prostopadłej do kolejnych powierzchni W=const.

Interpretacja fizyczna powierzchni W=const - to powierzchnie po których przemieszczanie się

punktu materialnego nie wymaga pracy przeciwko sile ciężkości. Przykładem powierzchni

ekwipotencjalnej jest geoida, której potencjał W0=const. określony jest na poziomie morza. W

związku z tym, że przeważającą część powierzchni Ziemi stanowią morza, geoida została

przyjęta jako dobra reprezentacja kształtu bryły Ziemi.

Wzór 9 przedstawia wartość przyspieszenia w dowolnym kierunku s różnym od kierunku n.

Slajd.26

Potencjał ciężkościowy można przedstawić w rozwinięciu funkcji kulistych (wzór 1). Z

potencjałem związane jest jedno z ważniejszych twierdzeń (tw. Stokesa), które mówi, że

"przy znajomości potencjału na powierzchni obejmującej wszystkie masy, możliwe jest

określenie potencjału w przestrzeni zewnętrznej, nawet wtedy gdy rozkład mas wewnątrz

ulegnie zmianie a badana powierzchnia nie zmieni swojego kształtu". Na podstawie tego

twierdzenia można wyznaczyć kształt bryły Ziemi na podstawie wartości potencjału

ciężkościowego.

Slajd.27

Do badania kształtu bryły Ziemi (geoidy) przyjmuje się pewien matematyczny model

potencjału. Przykładem takiego modelu jest jednorodna kula z jej potencjałem ciężkościowy.

Znacznie dokładniejszym modelem jest tzw. elipsoida poziomowa. Jest to elipsoida obrotowa

posiadająca taką samą masę jak Ziemia i obracająca się z tą samą prędkością. Potencjał

ciężkościowy na tej modelowej powierzchni U0 jest równy potencjałowi ciężkościowemu

Ziemi na poziomie geoidy W0. Taką elipsoidę nazywa się też ekwipotencjalną.

Charakterystyki pola ciężkościowego takiej bryły można obliczyć i będą one przybliżeniem

charakterystyk rzeczywistego pola ciężkościowego. Wzór 1 przedstawia zależność między

potencjałami ciężkościowymi elipsoidy poziomowej zwanym normalnym i potencjałem

geoidy zwanym często rzeczywistym. Wartość T jest pewnym niewielkim potencjałem, który

uzupełnia potencjał normalny elipsoidy do potencjału geoidy. Jest on funkcją potencjału

grawitacyjnego geoidy i elipsoidy (wzór 2). Z kolei potencjał elipsoidy U będzie sumą

potencjału grawitacyjnego elipsoidy i jej potencjału odśrodkowego (wzór 3). Wzór 4

przedstawia rozwinięcie potencjału normalnego elipsoidy w funkcji głównych momentów

bezwładności A i C. Wstawiając wartość parametru spłaszczenia elipsoidy α (wzór 5) i

uzpełniającego ją parametru q (wzór 6) otrzymamy zależność na potencjał normalny na

elipsoidzie Ue (oznaczany również U0).

Slajd.28

Pochodna potencjału normalnego na kierunku siły ciężkości (n) stanowi wektor

przyspieszenia normalnego γ0 . Po zróżniczowaniu potencjału otrzymuje się zależność na

przyspieszenie normalne na powierzchni elipsoidy poziomowej (wzór 4). (kąt n-r stanowi kąt

różnicy między kierunkiem radialnym - do środka elipsoidy a kierunkiem pionowym; można

go obliczyć jako różnicę szerokości geodeyzjnej i geocentrycznej).

Zależność na przyspieszenie normalne przedstawia się w postaci rozwinięcia w funkcji

szerokości ϕ (wzór 6) i spłaszczenia grawimetrycznego β (γp-na biegunie, γe-na równiku)

(wzór 5). Postać (6) nosi nazwę wzoru Clairauta.

Slajd.29

Zależność (1) umożliwia obliczenie przyspieszenia normalnego na elipsoidzie trójosiowej

(a,b,c-półosie) (niestosowanej w geodezji). Dla dowolnej elipsoidy o danych parametrach

geometrycznych wartość przyspieszenia normalnego oblicza się wzorem Somigliany (2) lub

ego rozwinięciu (3).

Slajd.29

Dla dowolnej elipsoidy poziomowej wartość potencjału na jej powierzchni można obliczyć z

zależności (1). W systemie odniesienia GRS80 zdefiniowano podstawowe wielkości fizyczne

i geometryczne umożliwiające obliczenie zarówno potencjału jak i przyspieszenia

normalnego. Poniżej postać zależności na przyspieszenie normalne w funkcji

współczynników rozwinięcia potencjału w szereg funkcji kulistych.