12 marca 2013 r.
Algebra liniowa z geometrią – zestaw nr 19
Zadanie 1 Wykonać działania:
√
√
a)
(3 −
3 i) · (4 i +
2) ,
b)
2+3 i ,
c)
z−w , dla z = 5 − 2 i, w = 3 + 4 i.
i− 1
z+ w
Zadanie 2 Znaleźć liczby rzeczywiste x i y spełniające równania: a)
x(2 + 3 i) + y(5 − 2 i) = − 8 + 7 i, b)
1+ yi = 3 i − 1 , c)
x+ yi = 9 − 2 i.
x− 2 i
x−yi
9+2 i
Zadanie 3 Wyznaczyć:
a)
Im [(2 − i)(2 + i) − (3 − 2 i)2]
b)
Re
−i+( −i+1) · 2 i c)
5 − 3 i
1 −i
( − 1+2 i)2(3 −i)2
d)
Re [(1 − 2 i)3 − i]
e)
|( −i + 2)2 + i · (1 + i) |
f)
Im
2
(2 − 5 i)2
Zadanie 4 Wyznaczyć argumenty oraz argumenty główne podanych liczb zespolonych:
√
√
a)
7 + 7 i,
b)
3 − i,
c)
− 5 + 5 3 i,
d)
(6 − 6 i)
√
.
2 i
Zadanie 5 Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej zbiory: n
h
a) A = z ∈ C :
Im ( z 2) Re ( z)2io, n
o
b) B = z ∈ C :
Re ( iz − 2) ¬ 0
∧
π < arg z < π , 3
2
n
o
c) C = z ∈
z+ i
C :
1
∧
π ¬ arg [ z(2 − 2 i)] ¬ π , z 2+1
6
3
d) D = {z ∈ C :
zz + (3 − 2 i) z + (3 + 2 i) z + 1 = 0 }
Zadanie 6 Niech w =
z+ i
. Narysować zbiór wszystkich liczb zespolonych z, dla któ-
(2 −i) ·z
rych:
a) liczba w jest rzeczywista, b) liczba w jest czysto urojona.
Zadanie 7 Rozwiązać równania:
√
a)
1+ i = 2 − 3 i
b)
z 2 − 4 z + 13 = 0
c)
z + i − z + i = 0
d)
7 − 2 7 i = 1
z
z
|z|−z
Zadanie 8 W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać układ równań:
(1 + i) z −
iw = i − 4
( − 2 i + 3) z + (2 + i) w = 11 + 9 i