AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
WYKA
AD 3
CHARAKTERYSTYKI CZASOWE I CZ
STOTLIWOŚCIOWE
LINIOWYCH UKA
ADÓW DYNAMICZNYCH
Związek pomiędzy transmitancją a równaniami stanu
Równania stanu w postaci wektorowo-macierzowej:
- równania stanu
- równania wyjść
Zakładając x0 = 0 i dokonując przekształcenia Laplace a
powyższych równań otrzymuje się:
- transformacja równań stanu
- transformacja równań wyjść
Po uporządkowaniu:
Wstawiając to równanie do równania wyjść układu uzyskujemy:
Uwzględniając związek:
widzimy, że:
Wykład 3
Strona 1
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Uwagi:
�� Należy pamiętać, że dla układu wielowymiarowego (MIMO)
o m wejściach i p wyjściach transmitancja G(s) ma postać
macierzy:
gdzie Gij(s) reprezentuje transmitancję toru pomiędzy j-tym
wejściem a i-tym wyjściem układu;
�� W przypadku układu SISO (o jednym wejściu i jednym
wyjściu) transmitancja operatorowa jest funkcją wymierną
zmiennej zespolonej s, tzn. ilorazem dwóch wielomianów:
�� Macierz I jest macierzą jednostkową o wymiarach (n �� n) 
kwadratową, o liczbie wierszy i kolumn równej liczbie
zmiennych stanu układu:
�� Ponieważ G(s) jest niezmiennikiem układu, przejście z opisu
układu w formie zmiennych stanu do transmitancji jest
jednoznaczne (z dowolnego opisu tego układu w przestrzeni
stanu uzyskamy tę samą transmitancję)!
�� Wielomiany licznika i mianownika transmitancji można
również wyrazić w formie iloczynowej:
gdzie
Wykład 3
Strona 2
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
�� Wartości nazywamy zerami układu  w przestrzeni liczb
zespolonych wielomian stopnia m-tego ma dokładnie m zer 
niektóre z nich mogą być wielokrotne, a niektóre zespolone;
�� Wartości si nazywamy biegunami układu  w przestrzeni
liczb zespolonych transmitancja, której mianownik jest
wielomianem stopnia n-tego ma dokładnie n biegunów 
niektóre z nich mogą być wielokrotne, a niektóre zespolone;
�� Równanie M(s) = 0, tzn.:
nazywamy równaniem charakterystycznym układu  bieguny
transmitancji G(s) są zatem pierwiastkami równania
charakterystycznego układu;
�� Biorąc pod uwagę, że macierz odwrotna P-1 jest ilorazem
macierzy dołączonej adj(P) i wyznacznika macierzy det(P),
tzn.:
prawdziwe jest stwierdzenie, że mianownik transmitancji
G(s) jest wyznacznikiem macierzy (sI-A), zaś bieguny
transmitancji G(s) są pierwiastkami równania
charakterystycznego
Przykład  układ elektryczny (omawiany na Wykładzie nr 2)
Wykład 3
Strona 3
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Wybierając jako zmienne: wejściową, wyjściową i stanu
uzyskaliśmy następujące równania różniczkowe, reprezentujące
opis układu typu wejście/wyjście oraz opis w przestrzeni stanu:
Z warunkami początkowymi:
Zakładając, że w/w warunki początkowe są zerowe i dokonując
przekształcenia Laplace a obu stron równania, otrzymujemy:
a po kolejnym przekształceniu  transmitancję operatorową:
Równania stanu i wyjść układu mają postać:
Wykład 3
Strona 4
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Zakładając zerowe warunki początkowe i wykonując kolejne
przekształcenia w celu uzyskania transmitancji otrzymuje się:
=
W wyniku przekształcenia opisu układu w przestrzeni stanów
uzyskaliśmy tę samą postać transmitancji operatorowej, jak
w wyniku bezpośredniej transformacji Laplace a równania
różniczkowego opisującego zależność pomiędzy sygnałem
wyjściowym i wejściowym układu.
Przejście z opisu układu w postaci transmitancji do równań
w przestrzeni stanu nie jest jednoznaczne  bo wybór
zmiennych stanu jest dowolny (pod warunkiem ich minimalnej
liczby), tzn. ten sam układ może mieć wiele reprezentacji we
współrzędnych stanu.
Wykład 3
Strona 5
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Jedna z możliwości  współrzędne fazowe:
gdzie każda kolejna współrzędna stanu jest pochodną czasową
współrzędnej o poprzednim indeksie.
W transmitancji operatorowej układu
wielomian licznika ma stopień m, a wielomian mianownika 
stopień n.
Układy, w których zachodziłaby zależność m > n nie są
realizowalne fizycznie.
Jeżeli zachodziłaby równość m = n, transmitancję G(s) można
zapisać w postaci:
Biorąc pod uwagę zależność Y(s) = G(s)�U(s), widać, że:
Porównanie tego wyrażenia z postacią transmitancji uzyskanej
z równań stanu prowadzi do wniosku, że wartość bn/an jest
macierzą D (w przypadku układu SISO  o wymiarze 1��1).
Tworząc postać fazowych równań stanu z transmitancji
zajmiemy się przypadkiem, w którym m < n, tj. gdy stopień
wielomianu licznika transmitancji L(s) jest mniejszy od stopnia
wielomianu mianownika M(s).
Wykład 3
Strona 6
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Dodatkowo załóżmy, że an = 1, co można łatwo uzyskać dzieląc
licznik i mianownik transmitancji przez wartość współczynnika
przy najwyższej potędze zmiennej s w mianowniku. Rozważamy
zatem transmitancję G(s) o postaci:
Taki wybór zmiennych stanu prowadzi do opisu układu SISO:
Macierze w opisie układu w przestrzeni stanu mają postać:
Przykład  układ elektryczny (szeregowy układ RLC) omawiany
wyżej
Transmitancja operatorowa układu:
Stopień wielomianu licznika m = 0, stopień wielomianu
mianownika n = 2 �� zachodzi więc m < n.
Wykład 3
Strona 7
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Współczynnik an = a2 = LC. Dzieląc licznik i mianownik przez tę
wartość uzyskuje się:
Macierze w opisie układu we współrzędnych fazowych:
Sprawdzenie:
=
Otrzymaliśmy tę samą postać transmitancji operatorowej
układu!
Wykład 3
Strona 8
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Z transmitancji można uzyskać postać czasową odpowiedzi
układu y(t) na dowolne wymuszenie u(t)  stosując odwrotne
przekształcenie Laplace a:
Rozwiązanie równania stanu
ma postać:
lub, przyjmując t0 = 0
Powyższe rozwiązanie równania stanu (układu równań
różniczkowych I rzędu) posiada dwie składowe:
�� swobodną xs(t)  gdy w układzie brak jest wymuszenia
(u(t) = 0), a ruch układu polega na  rozładowaniu
warunku początkowego x(0) `" 0;
�� wymuszoną xw(t)  gdy w układzie panują zerowe warunki
początkowe x(0) = 0, a wymuszenie nie jest zerowe.
Odpowiedz
y(t) układu liniowego o znanym opisie w przestrzeni
stanu na dowolne wymuszenie u(t) ma postać:
Macierz:
nazywamy macierzą podstawową (tranzycyjną) układu.
Zachodzi zależność:
Wykład 3
Strona 9
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Charakterystyki czasowe
Charakterystyka czasowa jest przebiegiem w czasie odpowiedzi
układu dynamicznego y(t) na określone wymuszenie u(t).
Najczęściej stosuje się dwa rodzaje wymuszenia:
�� impuls Diraca �(t) (tzw. funkcja wagi układu) - mówimy
wówczas o odpowiedzi impulsowej g(t)
�� skok jednostkowy 1(t) (tzw. funkcja Heaviside a) - mówimy
wówczas o odpowiedzi skokowej h(t)
Odpowiedz
impulsowa
Na podstawie ogólnej zależności
oraz biorąc pod uwagę, że transformata , a więc przy
pobudzeniu deltą Diraca U(s) = 1, otrzymujemy:
Odpowiedz
impulsowa układu SISO jest więc odwrotną
transformatą Laplace a jego transmitancji operatorowej!
Z ogólnego warunku realizowalności fizycznej układu wynika, że
Wykład 3
Strona 10
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Odpowiedz
skokowa
Na podstawie ogólnej zależności
oraz biorąc pod uwagę, że transformata , a więc przy
pobudzeniu skokiem jednostkowym , otrzymujemy:
Pomiędzy odpowiedzią skokową a impulsową tego samego
układu zachodzi związek:
a w dziedzinie transmitancji
Odpowiedz
układu na dowolne wymuszenie u(t) można
wyznaczyć na podstawie jego odpowiedzi impulsowej lub
skokowej, wykorzystując całkę splotu:
Wykład 3
Strona 11
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Transmitancja widmowa
Sygnał harmoniczny jako sygnał wymuszający (pobudzający)
na wejściu elementu liniowego jest istotny ze względu na:
�� jego dość częste występowanie w wielu układach,
�� użyteczność w analizie  możliwość rozkładu innych
sygnałów o charakterze okresowym na szereg Fouriera
złożony z funkcji harmonicznych.
Sygnał harmoniczny można zapisać w postaci zespolonej jako:
gdzie:
A1(w�)  amplituda sygnału (może być zależna od pulsacji),
w� = 2p�/T  pulsacja sygnału (T - okres drgań).
Przy takiej postaci sygnału wejściowego, odpowiedz
y(t) układu
ma również charakter harmoniczny:
W stanie ustalonym układ liniowy nie zmienia charakteru
(kształtu) sygnału wymuszającego!
Sygnałowi harmonicznemu f(t), jako sygnałowi okresowemu
w funkcji czasu, można jednoznacznie przyporządkować funkcję
pulsacji F(j�)  za pomocą przekształcenia (transformacji,
całki) Fouriera:
Transformacji Fouriera można poddać sygnały harmoniczne na
wejściu i wyjściu układu dynamicznego  przy założeniach, że
są spełnione warunki matematyczne na istnienie transformat
oraz że w układzie panują zerowe warunki początkowe.
Wykład 3
Strona 12
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Def.:
Transmitancją widmową G(jw�) stacjonarnego układu
liniowego nazywamy wielkość określoną jako stosunek
wartości zespolonej składowej wymuszonej odpowiedzi
układu Y(jw�) wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym do
wartości zespolonej tego wymuszenia przy założeniu, że
wszystkie warunki początkowe w układzie są zerowe.
Inaczej  transmitancja widmowa G(jw�) jest stosunkiem
transformaty sygnału wyjściowego Y(jw�) do transformaty
Fouriera harmonicznego sygnału wejściowego U(jw�),
wyznaczanych w stanie ustalonym, przy zerowych warunkach
początkowych.
Pomiędzy transmitancją widmową G(jw�) transmitancją
operatorową G(s) zachodzi związek:
w� w� w� w�
w�
w� w� w� w�
Transmitancję widmową można zapisać w postaci część
rzeczywista-część urojona lub w postaci moduł-argument:
w�
gdzie:
w� w�
w� w�
Wykład 3
Strona 13
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Prawdziwe są następujące związki:
w�
w�
w� w�
Funkcja P(w�) jest funkcją parzystą, a funkcja Q(w�)  funkcją
nieparzystą:
Ponadto pomiędzy składnikami (częścią rzeczywistą i urojoną)
charakterystyki częstotliwościowej a odpowiedzią impulsową
zachodzą związki:
Biorąc pod uwagę, że sygnały: wejściowy i wyjściowy
można stwierdzić, że dla każdej pulsacji �r transmitancja
widmowa jest wektorem, którego moduł A(�r), jest stosunkiem
amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału
wejściowego (tj. wzmocnieniem układu dla danej pulsacji), zaś
argument argG(j�r) określa przesunięcie fazowe sygnału
wyjściowego względem sygnału wejściowego.
w�
w�
Wykład 3
Strona 14
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Charakterystyki częstotliwościowe
Charakterystyki częstotliwościowe to różne postacie zależności
(wykresów) transmitancji widmowej układu w funkcji pulsacji w�.
Najczęściej spotykane charakterystyki częstotliwościowe:
�� charakterystyka amplitudowo-fazowa,
�� charakterystyka amplitudowa i charakterystyka fazowa,
�� charakterystyka logarytmiczna modułu (amplitudowa)
i charakterystyka logarytmiczna fazy,
�� charakterystyka logarytmiczna amplitudowo-fazowa.
Charakterystyka amplitudowo-fazowa
Charakterystyka amplitudowo-fazowa to wykres transmitancji
widmowej G(jw�) na płaszczyz
nie zmiennej zespolonej, przy
czym na osi rzeczywistej odkładamy część rzeczywistą
transmitancji, P(w�), a na osi urojonej część urojoną, Q(w�)
transmitancji widmowej.
Charakterystyki amplitudowo-fazowe układów rzeczywistych,
dla których stopień wielomianu licznika transmitancji jest niższy
od stopnia wielomianu mianownika, dążą do początku układu
współrzędnych
w�
Wykład 3
Strona 15
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Logarytmiczna charakterystyka modułu i logarytmiczna
charakterystyka fazy
Logarytmiczna charakterystyka modułu (amplitudowa)
przedstawia wykres zależności między logarytmem dziesiętnym
modułu transmitancji widmowej A(�) i logarytmem dziesiętnym
pulsacji �. Logarytm dziesiętny modułu transmitancji widmowej
Lm(�) = 20logA(w�) podaje się w decybelach [dB].
Logarytmiczna charakterystyka fazowa przedstawia wykres
zależności argumentu transmitancji widmowej Ć(�) od
logarytmu dziesiętnego pulsacji �.
Duże znaczenie praktyczne charakterystyk logarytmicznych
wynika z łatwości określania charakterystyki wypadkowej
układu, który jest szeregowym połączeniem kilku liniowych
obiektów dynamicznych. Wypadkowa transmitancja widmowa
G(j�) takiego układu jest równa iloczynowi transmitancji
poszczególnych elementów składowych.
Załóżmy, że
Wówczas
a zatem
Wykład 3
Strona 16
AUTOMATYKA
Kierunek: Energetyka, studia stacjonarne, semestr III, rok akad. 2013/2014
Z definicji logarytmicznych charakterystyk częstotliwościowych
to znaczy, że wypadkowe charakterystyki logarytmiczne
(modułu i fazy) są sumami odpowiednich charakterystyk
logarytmicznych elementów, połączonych szeregowo.
Wykład 3
Strona 17