7. Jednowymiarowe przepŁywy gazu
7.1. Zależności podstawowe

Przedmiotem niniejszego rozdziału jest badanie zagadnień jednowymiarowego
ruchu gazu nielepkiego i nie przewodzącego ciepła, a doskonałego w sensie
termodynamicznym, tzn. spełniającego równanie Clapeyrona (1.13).
Zmianę stanu gazu mogą spowodować procesy natury mechanicznej i procesy natury
cieplnej. Do pierwszych zaliczamy pracę wykonaną podczas sprężania lub
rozprężania gazu. Do drugich należy wymiana ciepła między gazem a otoczeniem,
albo między elementami gazu.
Z pierwszej zasady termodynamiki zastosowanej do jednostki masy gazu układu
zamkniętego wynika, że jeśli energia kinetyczna oraz energia potencjalna nie
ulegają zmianie, to ciepło d q dostarczone do układu oraz wykonana nad nim
praca zewnętrzna d l (dodatnia - wykonana przez układ) powodują przyrost jego
energii wewnętrznej

(7.1)

gdzie

(7.2)

Jest przy tym istotne, że dla dowolnych przemian przyrosty i nie są różniczkami
zupełnymi, gdyż zależą również od sposobu, w jaki przemiana zachodzi, a nie
tylko od stanu początkowego i stanu końcowego gazu.
Zmiana energii wewnętrznej jest proporcjonalna do zmiany temperatury

(7.3)

gdzie jest ciepłem właściwym przy stałej objętości. Jeśli wymiana ciepła odbywa
się przy stałym ciśnieniu, to

(7.4)

gdzie jest ciepłem właściwym przy stałym ciśnieniu.

Z równania Clapeyrona (1.13) obliczamy

(7.5)

i następnie, na mocy (7.1) i (7.2), przy const, otrzymujemy równanie Meyera
(1.15). Z tego równania i definicji wykładnika adiabaty (1.14) mamy:

(7.6)

Za pomocą parametrów u, p i r definiuje się nowy parametr stanu zwany entalpią

(7.7)

Po jego zróżniczkowaniu i podstawieniu zależności (7.1) � (7.2) uzyskujemy

(7.8)

zatem przy const na mocy (7.4) jest

(7.9)

Następnie, biorąc pod uwagę związki (7.6) oraz równanie Clapeyrona (1.13),
entalpię można zapisać również następująco:

(7.10)

Zmiana entropii gazu w przemianie elementarnej jest definiowana jako ilość
wymienionego ciepła odniesiona do temperatury

(7.11)

Związek ten przekształcamy przy wykorzystaniu zależności (7.1) i równania stanu
(1.13)

(7.12)

oraz całkujemy wyznaczając stałą całkowania z warunków początkowych:

(7.13)

Wyrażając stosunek temperatur przez stosunek ciśnień i gęstości mamy

(7.14)

lub też

(7.15)

Dla przepływów izentropowych (const) z równań (7.13) � (7.15) wynikają związki
opisywane równaniem izentropy (1.14):

(7.16)



*

W celu wyznaczenia prędkości ruchu fali dźwiękowej oraz prędkości rozchodzenia
się nieskończenie słabych zaburzeń rozważymy płaską falę dźwiękową poruszającą
się w określonym kierunku; mogą to być np. kolejne zgęszczenia i rozrzedzenia
wywołane nagłym ruchem tłoka w cylindrze.
Zmiany pędu warstwy gazu



możemy zapisać w postaci

(7.17)
w której a jest prędkością dźwięku, s - polem przekroju cylindra, - natężeniem
przepływu (3.22), spowodowanym zmianą ciśnienia Konsekwencją zmiany ciś-nienia
jest zmiana gęstości, stąd jest



i następnie

(7.18)

Fala dźwiękowa porusza się szybko - można więc przyjąć, że lokalne sprężenie
ma charakter izentropowy i wykorzystać wzór (1.14), z którego wyznaczamy

(7.19)

i ostatecznie, biorąc dodatkowo pod uwagę równanie stanu (1.13) i zależności
(7.10), mamy

(7.20)

Można teraz obliczyć stosunek lokalnej prędkości przepływu do lokalnej
prędkości dźwięku, nazywany liczbą Macha

(7.21)





Rys. 7.1

Łatwo można stwierdzić, że rozprzestrzenianie się słabych zaburzeń ma zupełnie
inny charakter w zależności od tego czy przepływy są poddźwiękowe, czy też
naddźwiękowe. Rozważmy w tym celu opływ pewnego nieruchomego punktu A
strumieniem gazu, poruszającym się ze stałą prędkością wzdłuż osi x (rys.
7.1).
Opływ punktu A powoduje zaburzenia, które są unoszone strumieniem gazu i które
rozprzestrzeniają się jednocześnie we wszystkich kierunkach z prędkością
dźwięku a. Ich prędkość względem układu nieruchomego wynosi zatem



Jeśli zaburzenia powstały w chwili po pewnym czasie t znajdą się one na
powierzchni kuli K o promieniu a t i środku O, odległym od punktu A o drogę
V t. Widzimy, że w przepływie poddźwiękowym zaburzenia rozprzestrzeniają się w
całej objętości (rys. 7.1a) i dotrą po pewnym czasie do każdego punktu
przestrzeni; natomiast w przepływie naddźwiękowym obszar rozchodzenia się
zaburzeń mieści się w stożku o kącie wierzchołkowym 2 a (rys. 7.1b), określonym
zależnością

(7.22)

Oznacza to, że zaburzenia akustyczne w przepływie poddźwiękowym są słyszalne
wszędzie, natomiast w przepływie naddźwiękowym są słyszalne jedynie w stożku
nazywanym stożkiem Macha .



7.2. Równanie Bernoulliego

Rozważając przepływy gazów można zaniedbać siły masowe, gdyż są one pomijalnie
małe.
Przyjmując związek między ciśnieniem i gęstością dla przemiany adiabatycznej
(1.14) obliczamy funkcję ciśnienia (2.11)

(7.23)

Po podstawieniu do wzoru (4.10), równanie Bernoulliego dla gazów przybiera
następującą formę

(7.24)

gdzie symbol jest stałą Bernoulliego, która oznacza energię całkowitą,
odniesioną do jednostki masy (5.3).

Biorąc pod uwagę zależności (7.20) oraz całkując związek (7.9)

(7.25)

możemy przedstawić równanie Bernoulliego (7.24) również w czterech
następujących postaciach:

(7.26)

(7.27)

(7.28)

(7.29)

Temperatura gazu nie może spaść poniżej zera absolutnego; z równania (7.29)
wynika więc wniosek o istnieniu prędkości maksymalnej

(7.30)

Prędkość gazu nie może zatem wzrastać nieograniczenie - przeciwnie niż w
przypadku cieczy doskonałej.
Przy wyznaczaniu ruchu gazu często wygodnie jest odnosić jego parametry
lokalne do parametrów gazu w punkcie spiętrzenia, które nazywane są parametrami
spiętrzenia (oznaczamy je indeksem dolnym 0). Podstawiając w równaniach (7.24),
(7.26) � (7.29) otrzymujemy

(7.31)

Lokalne parametry gazu odnosi się również często w dynamice gazów do
parametrów krytycznych gazu, które wywodzą się z pojęcia prędkości krytycznej
(oznaczamy je indeksem dolnym ).
Prędkość gazu nazywa się krytyczną, jeśli w pewnym punkcie pola prędkość gazu
jest równa jego lokalnej prędkości dźwięku

(7.32)

w innych punktach pola prędkości mogą być więc podkrytyczne , gdy

(7.33)

lub też nadkrytyczne , gdy

. (7.34)

Wynika stąd możliwość przyjęcia prędkości krytycznej jako prędkości
odniesienia, zamiast lokalnej prędkości dźwięku (7.21); otrzymany stosunek
nazywa się prędkością bezwymiarową

(7.35)

Wykorzystując wzór (7.32) z równania (7.26) wyznaczamy

(7.36)

i następne zależności z równań (7.24) oraz (7.27) � (7.29)

(7.37)

Reasumując stwierdzamy, że stałą Bernoulliego możemy wyrazić w trojaki
sposób:
- poprzez prędkość maksymalną gazu (7.30),
- poprzez parametry gazu w punkcie spiętrzenia (7.31),
- poprzez parametry krytyczne (7.36) � (7.37).


*





Rys. 7.2

Ze względu na jakościowo odmienny ruch gazu w różnych zakresach liczby Macha i
możliwość stosowania różnych uproszczeń natury matematycznej stosowany jest
podział przepływów gazu. Może on być dokonany w oparciu o tzw. elipsę prędkości
przedstawioną na rys. 7.2, której równanie

(7.38)

wynika ze wzorów (7.26), (7.30) i (7.31)

.

Na rys. 7.2 zaznaczono pięć umownych zakresów przepływu określonych
zależnością pomiędzy modułem prędkości przepływu i modułem prędkości dźwięku:
I-II. Przepływ nieściśliwy. Zmiany prędkości powodują nieznaczne zmiany
prędkości dźwięku (Ma < 0.3).
II-III. Przepływ poddźwiękowy. Zmiany prędkości powodują wyraźne zmiany
prędkości dźwięku (Ma = 0.3 � 0.8).
III-IV. Przepływ okołodźwiękowy (transoniczny). Prędkość przepływu jest równa
lub bliska prędkości dźwięku (Ma = 0.8 � 1.5).
IV-V. Przepływ naddźwiękowy. Zmiany prędkości dźwięku są rzędu zmian prędkości
przepływu (Ma = 1.5 � 5.0).
V-VI. Przepływ hiperdźwiękowy. Niewielkim zmianom prędkości towarzyszą duże
zmiany prędkości dźwięku (Ma > 5.0).
Pomiędzy parametrami lokalnymi gazu, parametrami spiętrzenia i parametrami
krytycznymi można uzyskać wiele związków, pomocnych w różnych zastosowaniach. Z
równania Bernoulliego zapisanego w postaci



wyprowadzamy związek między liczbą Macha M oraz prędkością bezwymiarową l

(7.39)

W podobny sposób, przy wykorzystaniu wcześniej wyznaczonych zależności
stwierdzamy, że

(7.40)

i następnie na mocy (1.14) mamy