Algebra Liniowa
1. Sprawdzić, czy następujące wektory są liniowo niezależne: (a) v1 = [1, 2, 3], v2 = [1, 2, 0], v3 = [2, 0, 1], (b) v1 = [1, 2, 3], v2 = [1, 2, 1], v3 = [6, 8 10].
2. Wektory x, y i z są liniowo niezależne. Wykazać , że wektory x + y, y + z, x + z także są liniowo niezależne.
3. Dla jakich wartości parametru a następujące wektory są liniowo niezależne: (a) v1 = [1, a, 3], v2 = [1, 2, 3], v3 = [2, −2, 1], (b) v1 = [1, a − 2, 0], v2 = [a, 5, 0], v3 = [2, 2, 1], 4. Wykazać , że wektory b
3
1 = [1, 0, 3], b2 = [1, 1, 1], b3 = [1, 0, 2] są bazą przestrzeni R .
Ponadto:
(a) Znaleźć współrzędne wektora x = [2, 3, 1] w tej bazie.
(b) [2, −1, 5] to współrzędne pewnego wektora w podanej bazie. Jaki to wektor?
5. Wykazać, że odwzorowanie T jest liniowe; wyznaczyć przestrzenie Ker T i Im T oraz ich wymiary jeśli:
(a) T :
2
2
R → R dane jest wzorem: T ([x1, x2]) =[2x1 + x2, x1 − x2], (b) T :
2
2
R → R dane jest wzorem: T ([x1, x2]) =[3x1 − x2, −6x1 + 2x2], (c) T :
3
2
R → R dane jest wzorem: T ([x1, x2, x3]) =[2x1 − x2 + x3, −4x1 + 2x2 − 2x3], (d) T :
3
3
R → R dane jest wzorem: T ([x1, x2, x3]) =[x1 + 2x3, 2x1 + x2, 3x1 + x2 + 2x3] .
(e) T :
4
2
R → R dane jest wzorem: T ([x1, x2, x3, x4]) = [x1 + 2x3 − x4, 2x1 + x2 + 2x3].
6. Wyznaczyć macierze odwzorowań podanych w zad.1 jeśli zadano bazy: (a) B = {b
2
1 = [2, 1] , b2 = [1, 0]} w obu przestrzeniach R , (b) B = {b
2
1 = [2, 1] , b2 = [3, 1]} w obu przestrzeniach R , (c) B = {b
3
1 = [2, 1, 0] , b2 = [1, 0, 1] , b3 = [2, 0, 1]} w przestrzeni R
i
C = {c
2
1 = [3, 1] , c2 = [1, 0]} w przestrzeni R , 1
(d) B = {b1 = [2, 1, 0] , b2 = [1, 0, 1] , b3 = [2, 0, 1]} w (dziedzinie odwzorowania) przestrzeni
3
R i
C = {c
3
1 = [1, 1, 1] , c2 = [1, 1, 0] , c3 = [1, 0, 0]} w przestrzeni R
(zbiorze wartości),
(e) B = {b1 = [0, 0, 0, 1] , b2 = [0, 0, 1, 2] , b3 = [0, 1, 2, 3] , b4 = [1, 2, 3, 4]} w przestrzeni 4
R i
C = {c
2
1 = [1, 4] , c2 = [0, 1]} w przestrzeni R .
7. Odwzorowanie T :
2
2
R
→ R jest liniowe i przyjmuje wartości: T ([1, 1]) = [0, 1] oraz T ([2, 3]) = [1, 1]. Znaleźć macierz tego odwzorowania, jeśli w obu przestrzeniach 2
R przyj-
miemy bazy kanoniczne.
8. Obliczyć wyznacznik macierzy:
0 1 2 0 3
1 2 3 0
3 1 0 2 1
0 0 1 1
(a)
1
0 2 1 0 ,
(b)
,
2
1 2 3
2 1
2 1 2
2 0 1 2
0 0 1 0 5
a 1 1 1
1 0 2 0
1 a 1 1
2 3 1 2
(c)
,
(d)
.
1 1 a 1
1
1 1 1
1 1 1 a
5 4 6 3
9. Wyznaczyć rząd macierzy:
0 1
2
3
3 1
0
1
1 2 3
0 2
0
(a)
3
3
4
7 ,
(b)
2 1 2
1 4
5
,
3 2
2
4
1 5 7 −1 2 −5
3 0 −2 −2
1 2
1 3
1 0 2 0 3
1 0
3 4
2 3 1 2 0
(c)
,
(d)
.
1
4 −1 2
1
1 1 1 1
2 6
0 5
5 4 6 3 7
10. Znaleźć macierz X jeśli:
(a) A · (X − 2B) · C = D, zaś:
5 2 0
2 −1
"
#
2 3
5 1
A = 2 0 1 , B = 0
1 , C =
, D = 2 1 .
4 1
3 1 0
2
4
4 0
2
(b) A · B − 1 X · C = D, zaś: 2
"
#
"
#
2 4 1
"
#
1 2
−2 1
3
0 −2 3
A =
, B =
, C = 1 0 0 , D =
.
3 5
4 1 −1
4
1 2
3 3 1
11. Rozwiązać równanie macierzowe:
"
# "
#
!
1 4 2
1 2
−1 1
4
h
iT
h
i
(a)
− 1 X
· 0 0 1 =
2 −1
·
−1 2 −3
,
3 5
3 1 −2
8
1 3 3
T
1 2
0
2 −1
h
iT
h
i
(b) X + 3 1 · 1
0
1 =
2 −1
·
−1 2 1
.
0 2
2 −1
0
12. Rozwiązać układy równań:
2x + 3y −
z =
−8
(a)
x
+ 4z =
17
6y −
z = −14
x + 2y + z = 8
(b)
x +
y + z = 6
2x +
y + z = 7
x + y −
z = 1
(c)
x − y + 2z = 2
2x
+ y −
z = 2
x − 2y + 3z − 6t =
3
(d)
−x + 2y +
z − 2t = −3
2x − 4y + 2z − 4t =
6
x + 2y −
z −
t = 1
(e)
x +
y −
z − 2t = 0
2x + 3y
− 2z −
t = 0
13. Ocenić ilość rozwiązań układu w zależności od wartości parametru a:
x + ay = 1
(a)
ax +
y = a
x + ay = 1
3
y +
z +
t = 1
x + ay +
z +
t = 1
(b)
x +
y + az +
t = 1
x +
y +
z + at = 1
(a − 2) x + 3y = 0
(c)
5x + ay = 0
x +
y = 1
( (a − 1) x + 6y = 2
(d)
x + ay = 1
14. Ocenić ilość rozwiązań układu w zależności od wartości parametrów a i b:
x + 2y +
z =
b
(a)
x +
y +
z = 2
ax + 4y
+ 3z = 5
x +
y −
z = 1
(b)
2x +
y − az = 1
5x + 4y
− 3z = b
x + 2y − 2z = 0
(c)
3x + ay +
z = 2
4x +
3y −
z =
b
15. Rozwiązać układ równań:
x +
y +
z =
6
(a)
x +
y + 2z =
8
x + 2y
+ 3z = 12
x + 2y +
z = 0
(b)
x +
y +
z = 2
x + 4y
+ 3z = 5
( x + 3y = 1
(c)
x + 5y = 2
4x + 3y +
z
= 1
y +
z
= 2
(d)
2x +
y
+ 2t = 1
x
+ 2z
= 3
4