Matu

t ra

r 20

2 05

0

ZADANIA DO POWTARZANIA PRZED MATURĄ

Zestaw VI Planimetria

Zadanie 1.

W trójkącie ABC, w którym kąt ACB jest prosty, a kąt ABC ma 60°, poprowadzono dwusieczną kąta ABC, przecinającą AC w punkcie D. Następnie przez punkt D poprowadzono prostopadłą do prostej AB, przecinającą ją w punkcie E. Uzasadnij, że:

a) ED

1

= AC ,

3

b) E jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC.

Zadanie 2.

Czworokąt KLMN, w który można wpisać okrąg, ma obwód 26,4 cm. Bok KL tego czworokąta jest krótszy od boku LM o 3,8 cm, natomiast bok MN jest dłuższy od boku ML o 6 mm. Oblicz dłu-gości boków czworokąta KLMN.

Zadanie 3.

Wierzchołki czworokąta KLMN, wpisanego w okrąg o promieniu 12 cm, podzieliły ten okrąg na łuki KN, NM, ML i LK, których długości są w stosunku 1 : 5 : 3 : 9. Oblicz: a) miary kątów wewnętrznych czworokąta,

b) długość boku ML.

Zadanie 4.

Jeden z boków trójkąta ma długość 18 cm, kąty przy tym boku mają 30° i 45°. Oblicz pole i obwód tego trójkąta.

Zadanie 5.

Mając dane koło K i prostą m (patrz rysunek), skonstruuj: K

a) koło K′ m

b) prostą m′

tak, aby w przypadku a) figura złożona z prostej m oraz kół K i K′, zaś w przypadku b) z prostych m i m′ oraz koła K miała jednocześnie oś symetrii i środek symetrii. Wskaż tę oś i ten środek.

Zadanie 6.

Przedłużenia ramion KN i ML trapezu KLMN przecinają się w punkcie O. Mając dane: KN = 5 cm, MN = 6 cm, ML = ,

4 4 cm i KL = 10 cm, oblicz obwód trójkąta KOL.

Zadanie 7.

Krótsza podstawa trapezu równoramiennego ma długość 7 cm, przekątna tego trapezu ma długość 13 cm, a jeden z kątów wewnętrznych ma 120°. Oblicz:

a) pole trapezu,

b) pole koła opisanego na trapezie.

Zadanie 8.

Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby a trójkąt o bokach długości 2 a cm, 3 a cm i 4 a cm jest trój-kątem rozwartokątnym. Ile, w przybliżeniu, stopni ma kąt rozwarty takiego trójkąta?

Zadania dla poziomu rozszerzonego są wyróżnione kursywą.

Matu

t ra

r 20

2 05

0

Zadanie 9.

Uzasadnij, że wszystkie przekątne pięciokąta foremnego mają tę samą długość i oblicz miarę kąta między dwiema przekątnymi wychodzącymi z tego samego wierzchołka.

Zadanie 10.

Punkty A, B, C, D, E i F są kolejnymi wierzchołkami sześciokąta foremnego. Wyraź sumę AD + FC za pomocą wektora AC .

Zadanie 11.

Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie O w ten sposób, że AO ⋅ BO = CO ⋅ DO . Uzasadnij, że czworokąt ABCD jest trapezem i wskaż jego podstawy.

Zadanie 12.

W dany wycinek kołowy OAB (patrz rysunek) wpisz okrąg tak, aby był on styczny do OA i do OB

oraz do łuku AB.

A

O

B

Matu

t ra

r 20

2 05

0

Odpowiedzi:

1. a) Wsk a zówka: Skorzystaj z własności dwusiecznej i z własności trójkąta prostokątnego o ką-

tach 30° 6

i

0°

b) Wsk a zówka: Najpierw uzasadnij, że BD = AD

2. KL = 4,4 cm, LM = 8,2 cm, MN = 8,8 cm, KN = 5 cm 3. a) kąt KLM = 60° , kąt LMN = 100° , kąt MNK = 120° , kąt LKN = 80°

b) ML = 12 cm

4. pole 8 (

1 3 − )

1 cm2, obwód 9(2 3 + 6 − 2) cm

5. a) Koło K′ jest kołem symetrycznym do koła K względem prostej m. Środkiem symetrii jest punkt wspólny prostej łączącej środki kół i prostej m.

b) Prosta m′ jest obrazem prostej w symetrii względem środka koła K. Osią symetrii tych trzech figur jest prosta równoległa do m i przechodząca przez środek koła K.

6. 33,5 cm

7. a) 95 3 cm2 b) 169π cm2

4

9

8. ok. 105°

9. 36°

10. AD + FC = 2 AC

11. Wsk a zówka: Zapisz podaną równość w postaci proporcji, a następnie uzasadnij, że trójkąty AOD

i COB są podobne. Podstawami trapezu są odcinki AD i BC.

12. Wsk a zówka: Najpierw skonstruuj okrąg styczny do OA i do OB., a następnie przekształć go od-powiednio przez jednokładność o środku O.