Zestaw XIII Planimetria

Zad. 1 kąt środkowy oparty na 4/9 okręgu ma miarę ??

4/9*360stopni=16/1
czyli kat srodkowy ma 16 stopni

Zad. 2 W trojkacie prostokatnym p przyprostokatnych 3 i 4 wysokosc poprowadzona z wierzcholka kata prostego ma dlugosc:

Trójkąt o przyprostokątnych 3 i 4, to typowy trójkąt "pitagorejski", w który przeciwprostokątna jest równa 5:
gdyż:
3² +4²=9+16=25
√25=5

Aby obliczyć wysokość poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego proponuję obliczyć pole trójkąta:
P = ½ * przyprostokątna *przyprostokątna
P= ½ *4*3=6

pole jest zawsze takie samo, czyli:
P=½* h * przeciwprostokątna
6=½ *h*5
6=2,5*h /:2,5
h=2,4

3. Pole zacieniowanego na rysunku trójkąta wynosi

Kąt ostry 30 stopni

4. miara kąta wewnętrznego dziesięciokąta foremnego jest równa: 

Suma kątów wewnętrznych wielokąta płaskiego o n bokach to:
(n-2)*π= (10-2)*π = 8π
π=180°
8*180=1440°

w sumie ma 1440°, więc:

1440/10 = 144°

5. Cięciwa AD ma długość 6 dm i jest oddalona od środka koła o 2 dm. Pole koła przedstawionego na rysunku jest równe

6. Odległość środka boku kwadratu o boku dł 6 do najbliższego punktu kwadratu wynosi?
z pitagorasa:
x²=6²+3²
x²=36+9
x²=45
x=√45
x=3√5= szukana odległość

Zad. 7. Stosunek pól kół wpisanego w kwadrat i opisanego na kwadracie o boku długości 3 wynosi..?

P1 - pole koła opisanego na kwadracie
P2- pole koła wpisanego w kwadrat

P1=πR1²
R1- połowa przekątnej
R1=3√2/2

P1=π*(3√2/2)²=π*9/2

P2=πR2²
R2 - połowa boku
R2=3/2

P2=π*(3/2)²=π*9/4

P2/P1=1/2

8.Przekątne rombu mają długości 12 cm i 12√3cm. Kąty tego rombu mają miary..
½d₁=6cm
½d₂=6√3cm
tgα=6√3:6=√3
α=60⁰

ctgβ=6√3:6=√3
β=30⁰

kąty rombu mają:2×60⁰ i 2×30⁰
kąty ostre mają po 60⁰, a rozwarte po 120⁰

9. Dwa pola w kształcie prostokąta które są podobne obsiano żytem. Pierwsze pole ma 75 m długości i 25 m szerokości.Dłuższy bok drugiego pola ma długość 18 m. Pozostały bok drugiego pola ma długość?

dłu g1 /dług 2=szer 1 /szer2
75/18=25/x
x=18 *25 /75
x=6m

10. .Punkty A=(2,-3),B=(5,1) są dwoma wierzchołkami kwadratu ABCD. Długość przekątnej tego kwadratu jest równa?

musimy obliczyć długość boku kwadratu
{AB}2=(x2-x1)2+(y2-y1)2
{AB)2=(5-2)2 +(1+3)2
(AB}2=25
{AB}=5
przekątna=a pierw z 2
d=5pierw z 2

11. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o kącie ostrym 30 stopni i krótszej przyprostokątnej 10 ma długość

Sin alfa = a/c

Sin 30 = ½

1/2 = 10/c c= 10 razy 2 = 20

Zad. 12 Wysokość trapeze równoramiennego o kącie ostrym 60 stopni i Ramieniu długości 2√3 ma długość

 Obliczam wysokość h trapezu
h : c = sin α
h = c* sin 60°
h = 2√3*(1/2)√3
h = √3*√3
h = 3

13. .Pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu długości 2 pierwiastek z 3 ma długość?
r=2√3cm
2√3=⅔a√3:2
a=6
pole=a²√3:4=6²√3:4=36√3:4=9√3cm²

14. Dany jest trapez równoramienny ABCD o podstawach AB długości 12  CD dlugosci 8 i ramieniu dlugosci 6.

Prezrdlużenia ramion AD, CB przecinaja sie w punkcie S. Dł. odcinka AS jest rowna?
SD/DC =SA/AB

SD/8 =SD+AD/12

SD/8 = SD+6/12

12 SD=8 SD +48

4 SD = 48 :4

SD = 12

AS = SD + AD

AS = 12+6

AS = 18

15. Promień koła opisanego na trójkącie o bokach długości 3 cm, 4 cm i 5 cm wynosi? (ma wyjść 2,5 cm).
środek koła opisanego na trójkącie prostokątnym leży na środku przeciwprostokątnej

przeciwprostokątna c=5

czyli ½ z 5= 2,5

16. Dany jest kwadrat o przekątnej długości 8.  z wierzchołka kwadratu zakreślamy kolo o promieniu równym długości boku kwadratu. pole powierzchni części wspólnej kwadratu i kola jest równe? 

 - bok kwadratu
d = 8 cm - przekatna kwadratu
r = a - bok kwadratu
Px = ? - pole powierzchni wspólnej kwadratu i koła

1. Obliczam bok kwadratu a
d = 8 cm
d = a√2 -wzór na przekatną kwadratu

a√2 = 8 cm
a = 8 : √2
a = (8 : √2)*(√2 :√2) usuwam niwwymierność mianownika
a = 8√2 : 2
a = 4√2 cm

2. Obliczam pole częsci wspólnej Px
r = a = 4√2 cm
Część wspólna to 1/4 pola koła
Px = 1/4*π*r²
Px = 1/4*π*(4√2)²
Px = 1/4*π* 16*2
Px = 8*π cm²
Px ≈ 25,12 cm²

17.Prosta m jest styczna do okręgu w punkcie K. Kąt środkowy ma miarę α=142. Wówczas kąt β ma miarę?

	180−α
90 −		= β
	2

90 - 180-142/2 = 9- - 19 = 71

18. długościami boków trójkąta mogą być

w trójkącie suma długości dwóch dowolnych boków zawsze musi być większa od trzeciego boku

√27=3√3
√48=4√3
√75=5√3
3√3+4√3>5√3

Zad. 19 W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę o 30 stopni mniejszą od miary kąta między ramionami.Kąt między ramionami ma miarę?

kąt między ramionami=x
kąty przy podstawie= 2 *(x-30)
2x-60 +x=180 /+60
3x=240 /:3
x=80

Zad. 20 Przekątna czworokąta ma długość 12 cm i dzieli go na dwa trójkąty z których jeden ma obwód 24 cm a drugi 21 cm. Obwód czworokąta wynosi? (ma wyjść 21 cm).

 obw1= 24 cm (a+b+c) (jest to obwód jednego trójkąta, przekątna tego czworokąta jest jednocześnie jednym z ramion obydwu trójkątów, licząc obwód całego czworokąta musimy odjąć od obwodów trójkątów 12cm czyli długość przekątnej (rozrysuj to sobię, lepiej Ci bęzie to zrozumieć ;))) a więc:
obw1=24
obw2=21
obw(czworokąta)= 24+21-(12*2)= 45-24=21cm
odp. Obwód czworokąta wynosi 21 cm. 

Zad. 21 Pole rombu którego dłuższa przekątna wynosi 8 równe jest 21.Druga przekątna ma długość? (ma wyjść 21/4)

dane:
d=8
P=21
szukane :
e=?
P=1/2 *d *e /*2
2P=d *e /:d
e=2P/d
e=42/8
e=21/4

Zad. 22 Promień okręgu ma długość 2. Długość odcinka alfa zaznaczonego na rysunku wynosi

23. Jeżeli długość każdego boku trójkąta zwiększymy trzykrotnie to jego pole zwiększy Si e

Jeżeli przedłużysz bok trzy razy od danej jednostki, to pole zwiększy się 9-cio krotnie.

Np. Podstawa (a) trójkąta ma długość 4 . Natomiast wysokość (h) ma 3. Jakie jest pole tego trójkąta?
Wzór na pole trójkąta:
1/2a*h
Pod ten wzór podstawiasz liczby.
1/2*4*3= 2*3= 6 
Co się stanie jeżeli podstawę i wysokość przedłużymy trzykrotnie?
1/2*(4*3)*(3*3)= 1/2* 12* 9= 6*9= 54

Aby sprawdzić, o ile pole jest większe to wykonujemy dzielenie:
54:6= 9

24. Ile punktów wspólnych ma okrąg o średnicy 5 z prostą, jeżeli środek tego okręgu jest oddalony od prostej o 4 cm

Promień jest mniejszy od odległości środka od prostej.
2,5<4
Zatem prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych

Zad. 25 oceń, które z poniższych zdań jest prawdziwe

Trójkąt różnoboczny ma zero osi symetrii.
Trójkąt równoramienny ma jedną oś symetrii.
Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii.

Odp. Czyli każdy trójkąt ma co najwyżej 3 osie symetrii

Zestaw XIV

Z.1 Pole zacieniowanej figury gdzie 1 kratka ma pole 1

Figurę dzielimy na 4 części:-

- ¾ kola

-3/4 koła

-prostokąt

- trójkąt

Obliczamy ¾ Pola koła

P = pi r do kwadratu = 2 ko kwadratu razy pi = 4 pi

¾ z 4 pi = 3 pi

Drugi raz 3/3 pola koła = 3 pi

Pole prostokąta

P = a razy b b = 4 c= 3 P = 4 razy 3 = 12

Pole trójkąta P = ½ a razy h

A= 4 h = 3 P = ½ razy 4 razy 3 = 6

Pole figury= 3/4 pola koła + 3./4pola koła = pole prostokąta + pola kwadratu + 3 pi + 3 pi + 8 + 6 = 14 + 6 pi

Zad. 2 Kąt alfa na rysunki ma miarę

360- (100 +100+120) = 360 - 320 = 40 stopni

Zad. 3 w trojkącie rownoramiennym kąt przy podstawie ma miare cztery razy mniejsza od miary kąta między ramionami .miara kata między ramionami wynosi 

x miara kąta przy podstawie
4x + x + x = 180
6x=180
x=30
miara kąta między ramionami 4x= 4*30=120
odp 120

zad.4 Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku 6

P = a²√3 / 4

P= 6²√3 / 4

P= 34√3 / 4 = 9 √3

Zad. 5 ) Dane sa kąty przyległe z których jeden jest o 38 stopni większy od drugiego. Kąty te mają miary:

 Suma kątów przyległych wynosi 180⁰
mamy więc:
α+(α+38⁰)=180⁰
2α=142⁰
α=71⁰

Zad. 6 Pole kwadratu,którego przekątna jest o 2cm dłuższa od boku, jest równa?

d=a√2
d=a+2
a√2=a+2
a√2-a=2
a(√2 - 1)=2 /:(√2 - 1)
a=2/(√2 - 1)

P=a²
P=[2/(√2 - 1)]²
P=4/(2-2√2+1)
P=4/(3-2√2) * (3+2√2)/(3+2√2)
P=4(3+2√2)/(9-4*2)
P=4(3+2√2)/(9-8)

P=(12+8√2) cm²

Zad. 7 Długość boków trójkąta równobocznego powiększono o 20%. Pole tego trójkąta powiększyło się o: 

TRÓJKĄT

	a^2√3
Pole =
	4

II TRÓJKĄT

	(1,2a)^2√3		1,44a^2√3
Pole =		=
	4		4

Pole zwiększy się o 44%.

Zad. 8 bok rombu ma długość pierwiastka z 2 , zaś pole rombu jest równe 1. Miara kąta ostrego w tym rombie jest równa?

a=√2
P=1
P=ah
h=P/a
h=1/√2=√2/2

sinα=h/a
sinα=√2/2:√2
sinα=1/2
α=30⁰

Zad. 9 W pewnym trójkącie prostokątnym boki mają długość 3cm, 4cm, 5cm. W trójkącie podobnym do niego maj dłuższy bok ma długość 2,5cm.Ile jest równe pole tego drugiego trójkąta?

1 Trójkąt

a/c = 3/5

b/c = 4/5


2 Trójkat




a/2,5 = 3/5





b/2,5 = 4/5



P= 1/2razy a razy b = ½ razy 1,5 razy 2 = 1,5 cm kwadratowego

Zad. 10 Wiedząc, ze alfa równa się 55 stopni podaj miarę kąta beta

180 - (55 + 55) = 180 - 110 = 70stopni

Katy ostre mają 70 stopni

Kąt rozwarty 180 - 70 = 110 stopni

Zad. 11 Przekątne rombu mają długości 6cm i 8cm Długość wysokości tego rombu wynosi
P = 1/2*e*f

P= 1/2 *6cm*8cm = 3cm*8cm = 24cm

a^2 + b^2 = c^2 
a = 6/2 = 3 cm 
b = 8/2 = 4 cm

c^2 = 3^2 + 4^2 = 25 
c = 5 cm 

Przeciwprostokątna tego trókąta to bok rombu. 

P = c razy h =

24 = 5 razy h

5 h = 24

H= 24: 5

H = 4 4/5

H =4,8

Zad. 12 Dwa boki trójkąta mają długości 3 pierwiastki z 3 i 6,a kąt między nimi zawarty ma miarę 30 stopni. Oblicz: pole tego trójkąta

Pole: 1/2*3√3*3= 9√3/2

Zad.13 promień okregu wpisanego w kwadrat o przekątnej d=6 ma ddługość 

a razy pierwiastek z dwoch równa sie 6.
wiec a wynosi 3 pierwiastki z dwóch.
a to bok kwadratu.

skoro promień kola to 1/2 boku kwadratu to promień wynosi 3pierwiastki z dwoch / dwa

zad. 14W trapezie ABCD, w którym AB CD przedłużono boki BC i AD do punktu Długości AD=4, OD=5, BC=4.33. Ile jest równa długość OC?

AD:BC = OD:OC

4:5 = 13:3 podzielone przez OC

4 0C = 13/5 razy 5 4 0C = 65/3 OC = 65/3 : 4 OC = 65/12 = 4 5/12

Zad. 15 zaznaczony na rysunku kąt alfa jest równy

Suma katów w trójkącie = 180 sopni

Każdy kąta ma 60 stopni

Kąt alfa + ½ z 60 stopni = 30 stopni

16. W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę 15 stopni mniejszą  od kąta między ramionami. Miara kąta między ramionami wynosi

x=kąt przy podstawie
x-30=kąt miedzy ramionami

2x+x-30=180
3x=180+30
3x=210
x=210:3
x=70

17. Z odcinków a,b,c, zbudujemy trójkąt jeżeli

Suma długośći dwóch boków trójkąta musi być większa od od długości trzeciego boku

A=2, b= 2 c= 5 - nie

A=1, b=2, c= 3 nie

A=2, b=2 c=1 tak ponieważ 2+2 >1

Zad. 18 Pole zacieniowanego na rysunku obszaru wynosi

Zad.19 Jeżeli każdy bok kwadratu zmniejszymy o 10 % to jego pole zmniejszy się o

10% = 0,1

1a - 0,1 a = 0,9 a

P = (0,9a)^2
P = 0,81a^2

a^2 - 0,81a^2 = 0,19a^2

Pole kwadratu zmniejszy się 0 19 %.

Zad. 20 Suma miar kątów alfa i beta zaznaczonych na rysunku wynosi

180 - 110 = 70 stopni

70 : 2 = 35 stopni

Zad. 21 Mikołaj stał wieczorem 3 m od latarni, rzuca cień wysokości 1 m. Mikołaj ma 1,5 m wzrostu. Wysokość latarni wynosi

1 twierdzenie talesa 
x latarnia
x:4=1,6:1
1x=6,4/1
x=6,4

Zad. 22 Suma miar wewnętrznych sześciokąta foremnego wynosi

Ze wzory: n razy 180 - 36o

n- liczba kątów, w przypadku sześciokąta foremnego wynosi 6

n= 6

6 razy180 - 360 = 1080 - 360 = 720

Zad. 23 Ile osi symetrii ma ośmiokąt foremny

8 osi symetrii :
ma 4 osie symetrii przechodzące przez przeciwległe wierzchołki
i 4 osie symetrii przechodzące przez srodki przeciwległych boków

Zad. 24 Stosunek pól koła opisanego na trójkącie równobocznym do pola koła wpisanego w ten trójkąt wynosi

R-promień koła opisanego na trójkącie
r--promień koła wpisanego w trójkąt

R=2/3h
r=1/3h
zatem:
R=2r
Pole koła opisanego będZie więc 2²=4 razy większe od pola koła wpisanego w ten trójkąt

Zad. 25 Obwód koła o polu16 pi wynosi

l-obwód koła
l-2pir
p=pi r2
p=pi 4 do kwadratu=16pi
l=2pi4
l=8pi

---