Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Informatyczne aspekty

zarządzania efektywnością

organizacji

dr inż. Romuald Hoffmann

e-mail: [e-mail]

© Romuald Hoffmann

- 1 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I)

Podstawowe aksjomaty rynku

finansowego.

Wartość pieniądza w czasie

dr inż. Romuald Hoffmann

e-mail: [e-mail]

© Romuald Hoffmann

- 2 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Przyjęte oznaczenia:

r

– roczna stopa oprocentowania prostego (stopa roczna),

n

– czas oprocentowania wyrażony w latach,

P, P0, PV

– początkowa wartość kapitału,

F, Fn, FV, FVn – końcowa (przyszła) wartość kapitału po czasie n lat, I, In

– odsetki (procenty) za czas n lat

PV

– Present Value – wartość bieżąca

FV

– Future Value – wartość przyszła

© Romuald Hoffmann

- 3 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I)

Wart

ość pi

eniądza w

c zasie

•

Oprocentowanie i stopy procentowe.

•

Wartość przyszła i bieżąca kapitału.

•

Struktura czasowa stóp procentowych.

•

Koszt pieniądza.

© Romuald Hoffmann

- 4 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Przyjęte oznaczenia:

r

– roczna stopa oprocentowania prostego (stopa roczna),

n

– czas oprocentowania wyrażony w latach,

P, P0, PV

– początkowa wartość kapitału,

F, Fn, FV, FVn – końcowa (przyszła) wartość kapitału po czasie n lat, I, In

– odsetki (procenty) za czas n lat

PV

– Present Value – wartość bieżąca

FV

– Future Value – wartość przyszła

© Romuald Hoffmann

- 5 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I)

Oprocentowanie składane – kapitalizacja roczna

F= P(1+ r) n lub Fn= P 0(1+ r ) n , gdzie r ∈[0 … 1] , n ∈ N ∪{0} , N = {1,2,3,…}

I = P [(1+ r ) n−1 ] lub I = P [(1+ r ) n−1]

n

0

Wartość kapitału Fn dla n=0,1,2,…, w modelu oprocentowania składanego spełniają rekurencyjną zależność:

Fn+1= Fn(1+ r)

© Romuald Hoffmann

- 6 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I)

Podwojenie kapitału

ln 2

Czas po którym kapitał podwaja swoją wartość wynosi: ̃ n=

ln(1+ r)

R

eguła 70

Przy rocznej stopie r (wyrażonej w procentach) i przy rocznym okresie kapitalizacji kapitał podwaja swą wartość w czasie ñ równym około 70

70

lat, tzn. ̃ n≈

r

r

© Romuald Hoffmann

- 7 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) 72

69

Istnieją również reguły 72 i 69, tzn. ̃ n≈ r , ̃ n≈ r

Oprocentowanie składane – kapitalizacja podokresowa

Omówimy oprocentowanie składane przy okresach kapitalizacji krótszych od roku. Zatem okres, po którym odsetki podlegają kapitalizacji, nazywamy podokresem kapitalizacji. Częstotliwość kapitalizacji oznacza ile razy odsetki są kapitalizowane w ciągu roku, a stopa o wysokości ustalonej dla podokresu to stopa oprocentowania podokresowego (w skrocie: stopa podokresowa)

Oznaczmy przez:

k – częstotliwość kapitalizacji (liczba podokresów w roku), k ∈ N

mk –czas oprocentowania wyrażony w podokresach, m ∈ N

k

, N = {1,2,..}

© Romuald Hoffmann

- 8 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) ik – stopa podokresowa (odsetki podlegaja kapitalizacji na koniec każdego podokresu), i ∈[0 … 1 ]

k

Kapitał końcowy po mk podokresach wynosi:

F = P(1+ i ) mk lub F

m

k

= P(1+ i ) mk

k

k

Stopą nominalną nazywa się stopę roczną proporcjonalną do stopy podokresowej ik .

Stopa nominalna rk jest określona wzorem:

© Romuald Hoffmann

- 9 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) r = k⋅ i

k

k , k ≥ 1

Niech m = n⋅ k

k

to kapitał końcowy po n latach wyraża się wzorem: r n⋅ k

r n⋅ k

r k n

F= P (1+ k )

lub F

k ) = P((1+ k ) )

k

n= P (1+ k

k

r k⋅ n

Jeżeli F

k

to

n= P (1+

)

k

© Romuald Hoffmann

- 10 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) r k⋅( n+1)

r k

F

k

k

n

)

= F

)

+1= P (1 + k

n⋅(1+ k

r k

Stąd F = P⋅ρ n , gdzie

k

jest rocznym czynnikiem

n

k

ρ k=(1+ )

k

oprocentowania.

Ciąg utworzony z wartości kapitału na koniec kolejnych lat

oprocentowania podokresowego jest ciągiem

geometrycznym o ilorazie ρk .

© Romuald Hoffmann

- 11 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Im większa jest wartość rocznego czynnika oprocentowania

ρk , tym szybciej rośnie wraz z czasem wartość kapitału

Oprocentowanie składane – kapitalizacja ciągła

Jeśli czestotliwość kapitalizacji odsetek zwiększa się nieograniczenie, tj.

k →∞ , to mówimy wtedy o ciągłej kapitalizacji odsetek. Nominalną stopę oprocentowania ciągłego oznaczmy przez rc (zauważmy, że r = r c

k

dla

każdego k).

© Romuald Hoffmann

- 12 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) r k⋅ n

r k n

lim P⋅(1+ c ) = lim P [(1+ c ) ] = P⋅( lim ρ

n

k ) n= P⋅ erc⋅ n= P⋅ρ c k →∞

k

k →∞

k

k →∞

r k

ρ = lim ρ = lim (1+ c ) = erc

c

k

k → ∞

k → ∞

k

Zatem

r k n

,

F = P⋅ρ n= P⋅[ lim (1+ c ) ] = P⋅ er ⋅ n c

n

c

k →∞

k

dla każdego n , k ∈ N , r ∈ [0 … 1]

c

, P≥0 .

© Romuald Hoffmann

- 13 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Przy danej stopie nominalnej wartość kapitału rośnie najszybciej, jeśli odsetki podlegają kapitalizacji ciągłej, tzn.

r k

(1+ c ) =ρ

dla każdego k ∈ N .

k

k < ρ c

Stopa efektywna

Stopa efektywna ref ozn., o ile procent zwiększa się wartość kapitału w ciągu jednego roku.

© Romuald Hoffmann

- 14 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) r k

1+ r

k

dla każdego k ∈ N

ef =(1 + ik) k=(1 +

)

k

r k

r

k

ef =(1 +

) −1 dla każdego k∈ N

k

Przy oprocentowaniu ciągłym (kapitalizacji ciągłej) mamy:

1+ r = erc=ρ dla każdego r ∈ [0 … 1] .

ef

c

c

© Romuald Hoffmann

- 15 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Stąd

r = erc−1=ρ −1 dla każdego r ∈ [0 … 1] .

ef

c

c

Innymi słowy, w przypadku oprocentowania ciągłego przy stopie rc stopa ref jest rozwiązaniem równania 1+ r = erc , z którego wynika, że ef

r = erc−1 .

ef

Stopa zmienna w czasie

W kolejnych latach j=1,2,…,n dane są stopy efektywne

r(1) ,r(2) , … , r( j) ,… ,r( n) , gdzie dla uproszczenia r( j) ozn.

= r( j) dla każdego

ef

© Romuald Hoffmann

- 16 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) j=1,2,…,n.

Jeżeli wiemy, że roczny czynnik oprocentowania w roku j wynosi 1+ r( j) to wartość kapitału początkowego P po k latach wynosi: k

Fk= P⋅∏ (1+ r( j)) dla każdego k≤ n .

j=1

Na koniec n-tego roku watość kapitału początkowego P wynosi: n

F= Fn= P⋅∏ (1+ r( j))

j=1

Stopa zmienna w czasie i stopa przeciętna

Definicja: P

rz e ciętną roczną stopą oprocentowania kapitału P w czasie n

© Romuald Hoffmann

- 17 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) nazywamy roczną stopę ̄ r , przy której kapitał początkowy P generuje w czasie n odsetki o takiej samej wartości, jak przy zróżnicowanych stopach w poszczególnych okresach.

n

P⋅(1+̄ r) n= P⋅∏ (1+ r( j)) dla n∈ N .

j =1

Stąd

n

(1+̄ r) n=∏ (1+ r( j))

j=1

© Romuald Hoffmann

- 18 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) n

n

Zatem 1+̄ r = √∏(1+ r( j)) i w konsekwencji j=1

n

n

̄ r = √∏(1+ r( j)) −1 dla każdego n∈ N

j=1

W warunkach oprocentowania rocznego o stopie zmiennej w

czasie przeciętny roczny czynnik oprocentowania jest średnią geometryczną rocznych czynników oprocentowania.

© Romuald Hoffmann

- 19 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Stopa przeciętna w warunkach oprocentowania ciągłego o zmiennej stopie w czasie r( j) w kolejnych latach j=1,2,…,n.

c

Początkowy kapitał P po n latach wynosi

n

n

( j )

( j )

∑ rc

F= P⋅∏ erc = P⋅ ej=1

j=1

lub

n

n

F= P⋅∏ exp( r( j)

r( j)

c )= P⋅exp(∑ c ) .

j=1

j=1

© Romuald Hoffmann

- 20 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Przeciętna stopa oprocentowania ciągłego wyznaczamy z równania: n

n

F= P⋅∏ exp( ̄ r

r( j)

c)= P⋅exp( n⋅̄

rc)= P⋅exp(∑ c ) .

j =1

j=1

1 n ( j)

Stąd

̄

r = ⋅∑ r .

c

n

c

j=1

© Romuald Hoffmann

- 21 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Przeciętna stopa oprocentowania ciągłego jest średnią

arytmetyczną stóp oprocentowania ciągłego zmiennych w czasie.

Oprocentowanie i inflacja

Wprowadzmy następujące oznaczenia stóp procentowych w ustalonych okresach:

inom – stopa nominalna (nominalna stopa procentowa),

ireal – stopa realna (realna stopa procentowa),

iinf

– stopa inflacji.

Zależność wiążąca stopę nominalną, realną i inflacji, zwana

© Romuald Hoffmann

- 22 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) wzorem Fishera, ma postać:

1+ i

=(1+ i

)(1+ i )

nom

real

inf

.

Stąd z zależności Fishera wynika, że czynnik oprocentowania realnego wynosi:

1+ i

1+ i

nom

real =

.

1+ iinf

Zatem stopa oprocentowania realnego wynosi:

© Romuald Hoffmann

- 23 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) i

− i

i = nom

inf

real

.

1+ iinf

i − i

Ze wzoru na stopę oprocentowania realnego i = nom

inf

wynika, że:

real

1+ iinf

(a)równość i = i

real

nom

zachodzi tylko wówczas, gdy brak inflacji tj.

i =0

inf

,

(b)jeżeli i >0

< i

– i

inf

, to ireal nom inf . Oznacza to, że przy

wystepowaniu inflacji stopa realna jest mniejsza niż stopa nominalna pomniejszona o stopę inflacji.

(c)W okresach, w których stopa inflacji jest ujemna, mówimy o

© Romuald Hoffmann

- 24 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) występowaniu deflacji. Przy deflacji przeciętny poziom cen zmniejsza sie wraz z czasem, a miarą jego spadku jest wartość bezwzględna stopy inflacji, tzn. ∣ i ∣

inf

. Stąd wynika, że jeżeli iinf < 0, to

i

> i

+∣ i ∣

real

nom

inf

Miarą inflacji w ustalonym okresie jest okresowa stopa inflacji, która wyraża wzrost poziomu cen towarów i usług w tym okresie. Inflacyjny wzrost cen w bieżącym okresie nakłada sie na zwiększone ceny z poprzedniego okresu. Zatem modelem opisującym inflacyjne zmiany cen jest modelem oprocentowania składanego.

Wprowadźmy oznaczenia:

i( j) – okresowa stopa inflacji w okresie j=1,2,…,m, inf

© Romuald Hoffmann

- 25 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) iminf – m-okresowa stopa inflacji,

̄ iinf – przeciętna okresowa stopa inflacji w czasie m okresów.

m-okresowy czynnik inflacji 1+ im jest wyrażony wzorem: inf

m

1+ im =∏ (1+ i( j))

inf

inf

j=1

Stąd wynika, że m-okresowa stopa inflacji jest następująca:

© Romuald Hoffmann

- 26 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) m

im =∏ (1+ i( j)) – 1

inf

inf

j=1

Stąd średnia (przeciętna) okresowa stopa inflacji w czasie m okresów ma postać:

m

m

̄ i = √∏(1+ i( j)) − 1 ,

inf

inf

j=1

© Romuald Hoffmann

- 27 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) m

m

gdyż 1+̄ i = m√1+ im = √∏(1+ i( j)) .

inf

inf

inf

j=1

Wartość obecna i przyszła

Znamy już wzór (wyprowadzony wcześniej) na wartość przyszłą (w n-tym roku), tzn.

F= P⋅(1+ r ) n lub FV = PV⋅(1+ r ) n

© Romuald Hoffmann

- 28 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) dla każdego n∈ N ∪{0} i r ∈ [0 … 1] , przy założeniu rocznego okresu kapitalizacji i rocznej stopie

oprocentowania r.

Stąd wartość obecną obliczamy za pomocą wzoru:

FV

PV =

= FV⋅(1+ r)− n

(1+ r) n

© Romuald Hoffmann

- 29 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) dla każdego n∈ N ∪{0} i r ∈ [0 … 1] .

Operację dzielenia wartości przyszłej FV przez współczynnik (1+ r ) n nazywamy dyskontowaniem. Innymi słowy, dyskontowanie jest operacją

odwrotną do oprocentowania przy ustalonej częstotliwości kapitalizacji.

Model wartości kapitału w czasie

Pojęcie aktualizacji wartości kapitału dotyczy kapitału o wartości znanej dla ustalonego momentu czasowego i oznacza obliczenie jego wartości na inny moment, tzn. moment późniejszy lub wcześniejszy.

Dla przyszłej wartości kapitału przyjęło się używać angielskiego terminu

“Future Value” i ozn. FV, a dla wartości obecnej (dzisiejszej) – “Present

© Romuald Hoffmann

- 30 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Value” i ozn, PV.

Nie jest możliwe porównywanie ani odejmowanie czy

dodawanie wartości kapitałów odnoszących się do różnego

czasu, bez ich wcześniejszej aktualizacji na jeden wspólny

moment czasowy.

Przedmiotem rozważań jest kapitał K, którego wartość w momencie t oznaczamy przez K(t), przy czym czas wyrażony jest w latach. Opisujemy zmiany w czasie wartości kapitału K. Traktujemy K(t) jako funkcję czasu t ∈ R (przy czym R ozn. Zbiór liczb rzeczywistych. Zakładamy, że znana jest wartość K ( t 0) kapitału K w momencie t 0 , przy czym K ( t 0)>0 .

© Romuald Hoffmann

- 31 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Zatem, zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami, aktualizując wartość kapitału K ( t

≥ t

0 )

na moment t A

0

otrzymujemy

K ( t A)= K ( t 0)⋅(1+ r )( tA− t 0) .

Natomiast aktualizując tę wartość kapitału na moment t ≤ t A

0

otrzymujemy:

– t

K ( t

)

A

.

A )= K ( t 0)⋅(1+ r )−( t 0

© Romuald Hoffmann

- 32 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Uogólniając wartość zaktualizowana kapitału K ( t 0) w chwili t jest dana wzorem:

K ( t)= K ( t )⋅(1+ r) t− t 0 dla każdego t∈ R .

0

Powyższe równanie funkcji K(t) jest równaniem wartości zaktualizowanej kapitału w dowolnym momencie t ∈ R , przy danej wartości początkowej K ( t

∈ R

0 )

w chwili t 0

.

Funkcję K(t), daną powyższym wzorem, tzn.

K ( t )= K ( t 0)⋅(1+ r ) t− t 0

nazywamy modelem wartości kapitału w czasie przy stopie

oprocentowania rocznego r.

© Romuald Hoffmann

- 33 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Wykażemy, że model ten nie zmieni się, gdy do jego budowy użyjemy wartosści K ( t

≠ t

1 )

z momentu t 1 0 , otrzymanej po aktualizacji

wartości K ( t 0) na moment t 1 , przy czym w obu przypadkach stopa r będzie taka sama.

Na podstawie znanej wartości K ( t 1) , otrzymujemy K ( t )= K ( t )⋅(1+ r) t− t 1 dla t ∈ R .

1

Jako że, K ( t

− t 0 to

1)= K ( t 0 )⋅(1 + r ) t 1

K ( t )= K ( t

− t 0

0)⋅(1+ r ) t 1

⋅(1+ r ) t− t 1= K ( t 0)⋅(1+ r ) t− t 0 .

© Romuald Hoffmann

- 34 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Ozn. to ,że model wartości kapitału K w czasie nie zmieni

się, gdy wartość K ( t 0) zastąpimy wartością tego kapitału zaktualizowaną na dowolny moment.

Pokazaliśmy wcześniej, że dla dowolnej stopy oprocentowania rocznego r istnieje równoważna stopa oprocentowania ciągłego r_c, a warunkiem ich równoważności jest równość 1+ r= erc .

Zatem modelem wartości kapitału w czasie przy stopie

© Romuald Hoffmann

- 35 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) oprocentowania ciągłego rc jest równanie:

K ( t )= K ( t )⋅ er ( t− t ) c

0

dla każdego t ∈ R .

0

© Romuald Hoffmann

- 36 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I)

Modele

K ( t )= K ( t 0)⋅(1+ r) t− t 0

oraz

K ( t )= K ( t 0)⋅ erc( t− t 0)

stanowią taki sam proces zmian w czasie wartości kapitału K,

jeśli stopy r oraz rc są równoważne.

© Romuald Hoffmann

- 37 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I)

Zasada równoważności kapitałów

Zasada równoważności kapitałów w momencie t

Kapitały K 1 i K 2 są równoważne w momencie t ∈ R , jeśli ich wartości zaktualizowane na moment są t równe.

Jeśli kapitały K 1 i K 2 są równoważne w pewnym momencie t ∈ R , to są także równoważne w każdym momencie t ' ≠ t , t ' ∈ R.

Zasada równoważności kapitałów

Kapitały K 1 i K 2 są równoważne, jeśli ich wartości zaktualizowane na jakikolwiek moment t ∈ R są równe.

© Romuald Hoffmann

- 38 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I)

© Romuald Hoffmann

- 39 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) Inżynieria Finansowa

Podstawowe aksjomaty rynku

finansowego.

Wartość pieniądza w czasie

dr inż. Romuald Hoffmann

© Romuald Hoffmann

- 40 /41 -

Informatyczne aspekty zarządzania efektywnością ... (WYKŁAD I) e-mail: [e-mail]

© Romuald Hoffmann

- 41 /41 -