NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
FUNKCJA KWADRATOWA
Wykresem funkcji kwadratowej
f (x) = ax2 + bx + c
jest parabola. Jej ramiona są skierowane w górę gdy a > 0 i w dół dla a < 0. Jeżeli a = 0
to funkcja jest liniowa. Parabola ma dwa rodzaje punktów szczególnych  wierzchołek i
miejsca zerowe (punkty przecięcia z osią Ox). Miejsca zerowe to rozwiązania równania
ax2 + bx + c = 0.
a) Jeżeli równanie to ma dwa rozwiązania (" > 0) to są dwa miejsca zerowe.
y y
">0
">0
a<0
a>0
x1
x2
x x
x1 x2
b) Jeżeli jest tylko jedno miejsce zerowe (" = 0) to parabola jest styczna w wierzchołku
do osi Ox
y y
"=0 "=0
a>0 a<0
x0
x x
x0
c) Jeżeli równanie nie ma rozwiązań (" < 0) to parabola nie przecina osi Ox.
y y
"<0 "<0
a>0 a<0
x x
Materiał pobrany z serwisu
1
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Wierzchołek paraboli
Współrzędne wierzchołka paraboli wyznacza się z tak zwanej postaci kanonicznej funkcji
kwadratowej i są one równe
b " b b2 - 4ac
(xw, yw) = - , - = - , - .
2a 4a 2a 4a
Postać kanoniczna
Sprowadzanie funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej
f (x) = a(x - xw)2 + yw
bywa bardzo użyteczne i dlatego warto nauczyć się to robić.
Sprowadzenie takie wykonujemy uzupełniając do pełnego kwadratu.
2x2 - 4x + 5 = 2(x2 - 2x) + 5 =
= 2(x2 - 2x + 1 - 1) + 5 = 2(x - 1)2 + 3.
Mając postać kanoniczną, mamy współrzędne wierzchołka: (1, 3)  dokładnie w ten
sposób wyprowadza się wzory na (xw, yw).
Postać kanoniczna bywa natomiast bardzo użyteczna, gdy chcemy napisać wzór paraboli
znając współrzędne jej wierzchołka.
Wyznacz współczynniki a i b funkcji kwadratowej f (x) = ax2 + bx - 4 jeżeli jej
wierzchołek ma współrzędne (1, -1).
Skoro znamy wierzchołek paraboli, to wiemy, że funkcja jest postaci
f (x) = a(x - 1)2 - 1 = ax2 - 2ax + a - 1.
Porównując współczynniki z podanym w treści zadania wzorem dostajemy a = -3
i b = 6.
Podoba Ci siÄ™ ten poradnik?
Zadania.info
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
Materiał pobrany z serwisu
2
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Monotoniczność
Każda funkcja kwadratowa ma dwa (maksymalne) przedziały monotoniczności:
a) na lewo od wierzchołka (czyli w przedziale (-", xw ) jest malejąca dla a > 0 (rosnąca
dla a < 0);
b) na prawo od wierzchołka (czyli w przedziale xw, +")) jest rosnąca dla a > 0 (maleją-
ca dla a < 0).
Jeżeli ktoś nie pamięta, to funkcja jest rosnąca, gdy dla coraz większych argumentów przyj-
muje coraz większe wartości, a malejąca, gdy przyjmowane wartości są coraz mniejsze. Na
wykresie przejawia się to tym, że wykres jedzie do góry lub na dół odpowiednio (patrząc w
kierunku strzałki na osi Ox).
TIPS & TRICKS
1
Jeżeli znamy miejsca zerowe x1 i x2 paraboli to wierzchołek znajduje się dokładnie pomiędzy
x1+x2
nimi  jego pierwsza współrzędna jest równa .
2
W jakim punkcie jest wierzchołek paraboli
4(x - 19)(x + 13)?
19-13
Dokładnie w środku między pierwiastkami xw = = 3.
2
2
Jeżeli ktoś nie boi się pochodnych, to pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli to po
prostu miejsce zerowe pochodnej.
3
Druga współrzędna wierzchołka paraboli to po prostu wartość funkcji kwadratowej na
pierwszej współrzędnej wierzchołka  jeżeli znamy już xw to często łatwiej jest policzyć
f (xw) niż wyliczać ze wzoru yw; tak jest na przykład dla xw = 0 lub xw = ą1.
Jaka jest druga współrzędna wierzchołka paraboli
4(x - 19)(x + 13)?
Policzyliśmy już, że wierzchołek jest w punkcie x2 = 3. Zatem
yw = 4(3 - 19)(3 + 13) = 4 · 162 = -1024.
Materiał pobrany z serwisu
3
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
4
Jeżeli chcemy narysować parabolę o danym wzorze to najważniejsze jest wyznaczenie współ-
rzędnych wierzchołka. Potem wystarczy znalez
ć 1 lub 2 punkty na paraboli (np. podstawia-
jąc x = ą1 lub x = 0) i już możemy naszkicować parabolę. Jeżeli " > 0 to wygodnie
jest też znać pierwiastki. Rysując parabolę należy pamiętać o tym, że jest ona symetryczna
względem pionowej prostej przechodzącej przez wierzchołek.
5
Należy pamiętać, że miejsca zerowe paraboli nie wyznaczają jej jednoznacznie  każda pa-
rabola postaci a(x - x1)(x - x2) ma miejsca zerowe x1 i x2. Z tą uwagą wiąże się popularny
błąd: jeżeli podane są miejsca zerowe x1 i x2 funkcji kwadratowej to wiele osób wnioskuje,
że funkcja musi być postaci (x - x1)(x - x2). Tymczasem może to być dowolna parabola po-
staci a(x - x1)(x - x2)  współczynnik a trzeba wyznaczyć z innych danych z treści zadania.
Wyznaczmy wszystkie parabole przechodzÄ…ce przez punkty (-2, -1) i (3, -1).
Zauważmy, że jeżeli przesuniemy szukaną parabolę o 1 jednostkę do góry, to bę-
dziemy mieli parabolÄ™ o miejscach zerowych (-2, 0) i (3, 0). Zatem szukane para-
bole sÄ… postaci
f (x) = a(x + 2)(x - 3) - 1 = ax2 - ax - 6a - 1 dla a = 0.
6
Znając przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej, znamy pierwszą współrzędną jej
wierzchołka oraz współczynnik przy x2.
Sprawdz
my kiedy parabola
y = ax2 + 2a3x + 1
jest rosnÄ…ca na przedziale (-", -4 i malejÄ…ca na przedziale -4, +"). Z podanych
informacji wiemy, że ramiona paraboli są skierowane w dół (a < 0), oraz
-2a3
-4 = xw = Ò! a2 = 4 Ò! a = -2.
2a
7
Informacji o pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli dostarcza nam również znajo-
mość jej osi symetrii.
Materiał pobrany z serwisu
4
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Parabola y = x2 + bx + c jest symetryczna względem prostej x = -2 i styczna do
prostej y = -7. Wyznacz a i b.
Oś symetrii daje nam xw = -2, czyli b = 4. Styczność do prostej y = -7 oznacza,
że druga współrzędna wierzchołka jest równa -7. Mamy więc
-7 = yw = f (xw) = 4 - 8 + c Ò! c = -3.
y
x=-2
+1
-10 -5 -1 +1 x
-1
2
y=x +4x-3
-5
y=-7
-10
8
Często w zadaniach (szczególnie z geometrii analitycznej) pojawiają się równania postaci
x - y2 + 1 = 0. Aby narysować wykres takiego wyrażenia należy na nie patrzeć jak na
wykres postaci x = f (y)  tzn. zamieniamy rolę osi Ox i Oy (patrzymy na kartkę z układem
współrzędnych z boku).
Wykresem wyrażenia x = y2 - 1 jest pozioma parabola x = y2 przesunięta o jedną
jednostkÄ™ w lewo.
y
+5
+1
-5 -1 +1 +5 x
-1
-5
Żeby było jasne, otrzymany wykres nie jest wykresem funkcji jeżeli traktujemy
x sy jako argumenty, a y ki jako wartości  funkcja musi mieć jednoznaczną war-
"
tość dla
"każdego argumentu (można myÅ›leć, że sÄ… to dwie funkcje y = x - 1 i
y = - x - 1 narysowane w jednym układzie współrzędnych). Jest to natomiast
wykres funkcji przy zamienionych rolach x a i y ka.
Materiał pobrany z serwisu
5
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
"
Wykresem funkcji y = x też jest (pozioma) parabola, a w zasadzie jej połowa.
Aby to zobaczyć wystarczy przepisać sobie ten wzór w postaci y2 = x. Paraboli
wychodzi pół, bo mamy założenie y 0.
y
+5
+2.5
y= x
+0.5
+1 +2.5 +5 x
-0.5
9
Niektóre zadania na równania/nierówności kwadratowe z parametrem sprowadzają się do
ustalenia, kiedy parabola znajduje się powyżej/poniżej osi nad pewnym przedziałem.
Zastanówmy się kiedy zbiór rozwiązań nierówności
mx2 + 2mx - 1 < 0
zawiera przedział (0, 3). Zadanie sprowadza się do pytania kiedy parabola y =
f (x), będąca wykresem lewej strony nierówności, jest poniżej osi Ox dla x " (0, 3).
Aby odpowiedzieć na takie pytanie trzeba sobie wyobrazić wszystkie możliwe po-
łożenia takiej paraboli. W podanym przykładzie są trzy możliwości
a) Cała parabola jest poniżej osi Ox (współczynnik przy x2 ujemny i " < 0).
b) Ramiona paraboli są skierowane w górę, ale na przedziale (0, 3) parabola jest
poniżej osi (współczynnik przy x2 jest dodatni, f (0) 0 oraz f (3) 0).
c) Parabola ma ramiona skierowane w dół (współczynnik przy x2 ujemny) i na
przedziale (0, 3) jest poniżej osi ( f (0) 0, f (3) 0 oraz wierzchołek musi
być poza przedziałem (0, 3)).
y y y
x x x
3 3 3
0 0 0
Materiał pobrany z serwisu
6
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
10
Ile punktów wyznacza parabolę?  łatwo sobie wyobrazić, że dwa to za mało  jest peł-
no parabol przechodzÄ…cych przez dwa punkty. Natomiast 3 punkty wyznaczajÄ… parabolÄ™
jednoznacznie  odpowiada to temu, że we wzorze funkcji y = ax2 + bx + c mamy trzy
parametry/niewiadome.
Wyznaczmy parabolÄ™ o miejscach zerowych -2 i 1 i przechodzÄ…cÄ… przez punkt (2, 8).
Z informacji o miejscach zerowych wiemy, że parabola jest postaci
a(x + 2)(x - 1).
Z informacji o podanym punkcie wyliczamy a = 2.
Od tej zasady jest jeden ważny wyjątek  parabola jest jednoznacznie wyznaczona przez
wierzchołek i jeden dodatkowy punkt. Powód jest taki, że żądanie, żeby jakiś punkt był
wierzchołkiem, daje dwa równania  jedno, że punkt leży na paraboli, drugie, że jest wierz-
chołkiem. W tego typu zadaniach bardzo wygodna jest postać kanoniczna.
Wyznaczmy parabolę przechodzącą przez punkt (2, 3), której wierzchołek jest w
punkcie (1, 2). Korzystając z postaci kanonicznej, parabola taka musi mieć postać
a(x - 1)2 + 2.
Uwzględniając podany punkt na paraboli otrzymujemy a = 1.
11
W zasadzie nie ma to wiele wspólnego z zadaniami szkolnymi, ale tak jak okrąg jest zbiorem
punktów, które są równo odległe od ustalonego punktu, parabola jest zbiorem punktów,
które są równo odległe od ustalonej prostej (kierownicy) i punktu (ogniska).
Można policzyć, że dla kierownicy y = 0 i ogniska (0, 1) wychodzi parabola y =
1 1
x2 + .
2 2
y
+5
+2.5
+0.5
-2.5 +1 +2.5 x
-0.5
Materiał pobrany z serwisu
7
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
12
Na początku trudno w to uwierzyć, ale wszystkie parabole mają dokładnie taki sam kształt,
to znaczy każde dwie parabole różnią się o jednokładność i przesunięcie  sytuacja jest iden-
tyczna jak dla okręgów: z dokładnością do rozmiaru wszystkie są takie same.
Sprawdz
my co się stanie z parabolą y = x2 po jednokładności o środku w (0, 0) i
skali 2.
Możemy tę jednokładność J zapisać następująco: J(x, y) = (x , y ) = (2x, 2y). Rów-
nanie paraboli po tej zmianie będzie miało postać
y x 2 1
= Ò! y = (x )2.
2 2 2
(punkt (x, y), który spełniał równanie y = x2, po jednokładności spełnia wypro-
wadzone równanie). Opuszczając primy (nie ma znaczenia jakim znaczkiem ozna-
1
czamy argumenty i wartości funkcji), otrzymujemy parabolę y = x2  tak więc
2
parabola ta jest dokładnie dwa razy większa od y = x2.
y
+5
+2.5
+0.5
-2.5 +1 +2.5 x
-0.5
Materiał pobrany z serwisu
8