ARKUSZ 5. Funkcja kwadratowa
1. Rozwiązać równania i nierówności zmiennej x :
x4 x2
a) = ,
a + b a - b
b) 2x2 - (a - 1)x + a + 1 = 0,
c) (a - 2)x4 - 2(a + 3)x2 + (a - 1) = 0,
d) 3x2 + ax + 3 = 0,
x2 + ax - 2
e) -3 < < 2,
x2 - x + 1
f) |x2 - 4x - 3| < 6,
g) ax2 + 2x + 3 > 0,
h) x2 + ax + 3 > 0,
i) x2 + 2x + a > 0,
j) (a2 - 1)x2 + 2(a - 1)x + 2 > 0,
x2 + 2x + 2a
k) > 0.
x2 + x + 2 - a2
2. Narysować wykres funkcji f(x) = |x2 - 5|x| + 4| , a następnie określić
ilość różnych rozwiązań równania f(x) = m, w zależności od parametru
m.
3. Dla jakich wartości parametru m układ równań

x2 - 4x + y = 0
mx - y + 1 = 0,
ma dokładnie jedno rozwiązanie? Podać interpretację geometryczną
problemu.
4. Funkcja kwadratowa y = ax2+bx+c ma dokładnie jedno miejsce zerowe
i do jej wykresu należą punkty A = (0, 1) oraz B = (2, 9). Wyznaczyć
a, b, c oraz podać ilustrację graficzną rozwiązania zadania.
5. Niech p(m) będzie liczbą pierwiastków rzeczywistych równania
(m + 2)x2 + 6mx + 4m - 1 = 0,
gdzie m jest parametrem. Narysować wykres funkcji p(m).
6. Dla jakich wartości parametru k pierwiastki trójmianu y = k2x2+kx-2
są różnymi liczbami rzeczywistymi i wartość bezwzględna jednego z
nich jest większa od 1, a drugiego mniejsza od 1.
9
7. Dane jest równanie (m - 5)x2 - 4mx + m - 2 = 0.
a) W jaki sposób ilość różnych rozwiązań danego równania zależy od
parametru m?
b) Dla jakich wartości parametru m liczba 1 zawiera się między róż-
nymi pierwiastkami tego równania lub jest jednym z nich?
8. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru k, dla których funkcja
f(x) = (k2 + 4k - 5)x2 - 2(k - 1)x + 2,
przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x " R.
9. Dla jakich wartości paramertu m równanie x2 -(2m-1)x +m2 -1 = 0
ma dwa różne pierwiastki mniejsze od 4?
10. Ułożyć równanie kwadratowe takie, aby suma kwadratów jego pier-
4
wiastków była równa 10, a suma odwrotności tych pierwiastków .
3
11. Dla jakich wartości parametru m funkcja
1
f(x) = (m - 2)x2 - (m + 2)x - ,
2 - m
ma dwa miejsca zerowe dodatnie, a dla jakich różnych znaków? Określić
zbiór rozwiązań nierówności f(x) < 0 w zależności od parametru m.
12. Dla jakich wartości parametru k pierwiastki rzeczywiste równania
"
x2 + 5kx + k2 + k + 3 = 0,
spełniają warunek x2 + x2 3x1x2.
1 2
13. Niech x1, x2 będą pierwiastkami równania x2 + x - 1 = 0 oraz niech
x1 x2
n = + . Dla jakich wartości parametru m nierówność
x2 x1
x2 + (m + n)x + m
1
x2 + x - 2n
jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x?
14. Dla jakich wartości parametru k oba pierwiastki równania
x2 + (2k + 6)x + 4k + 12 = 0
są większe od -1?
10
15. Zbadać, dla jakich wartości parametru m równanie
(m - 2)x4 - 2(m + 3)x2 + 1 = 0
ma cztery różne pierwiastki?
16. Dla jakiej wartości parametru a zbiór rozwiązań nierówności
x2 - 3x + 2 < 0
jest zawarty w zbiorze rozwiązań nierówności
ax2 - (3a + 1)x + 3 > 0?
17. Dla jakiej wartości paramertu p równanie


x2 - 6x + 8 + x2 - 6x + 5 = p

ma więcej niż trzy pierwiastki?
18. Wyznaczyć przynajmniej trzy funkcje f : I - R, (I  przedział)
takie, że zachodzi równość
2
f (x) + x2 = 4, x " I.
19. Wyznaczyć wartości parametrów a, dla których istnieją funkcje ciągłe
fa : Ia - R, (Ia  przedział) takie, że:
2
a) fa (x) + x = a, x " Ia,
2
b) fa (x) = x2 + ax, x " Ia,
2
c) fa (x) = ax2 + x, x " Ia,
2
d) fa (x) = ax2, x " Ia.
11