Egzamin z Matematyki 1, 20 IV 2006
1. Wyznaczyć macierz X:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 -1
ïÅ‚ śł
AX = A + A2 ; A = 0 2 0 ûÅ‚
ðÅ‚
-4 0 2
RozwiÄ…zanie:
|A| = -4 = 0 . Istnieje więc macierz odwrotna A-1 . Mnożymy obie strony równania

przez A-1 z lewej strony. Dostajemy X = I + A czyli:
îÅ‚ Å‚Å‚
2 0 -1
ïÅ‚ śł
X = 0 3 0 ûÅ‚
ðÅ‚
-4 0 3
x - 2 z - 2
2. Obliczyć najkrótszą odległość prostej l : = y + 4 = od osi Oz
2 3
RozwiÄ…zanie:
Wektor kierunkowy prostej l = (2, 1, 3) . Wektorem kierunkowy osi Oz jest =
v v2
(0, 0, 1) . Proste te nie są równoległe. Odległość między nimi jest równa:
-

|( × Ä‡% AB|
v v2)
d =
| × v2|
v
A jest dowolnym punktem prostej l np (2, -4, 2)
B dowolnym punktem prostej Oz np (0, 0, 0)
-

AB = (-2, 4, 2)
× = (1, -2, 0)
v v2
"
10
"
d = = 2 5
5
x
3. Wyznaczyć dziedzinę, asymptoty i ekstrema funkcji f(x) =
ln |x|
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina D = (-", -1) *" (-1, 0) *" (0, 1) *" (1, ")
Funkcja jest nieparzysta f(-x) = -f(x) , wystarczy więc zbadać ją na połowie
dziedziny D1 = *"(0, 1) *" (1, ") ; wykres na pozostałej połowie jest symetryczny.
x
Na D1 f(x) =
ln x
x x
Funkcja ma obustronnÄ… asymptotÄ™ pionowÄ… x = 1 bo lim = -" , a lim = "
x1- ln x x1+ ln x
x
Funkcja nie ma asymptoty pionowej x = 0 bo lim = 0
x0+ ln x
Szukamy asymptoty ukośnej y = ax + b w +" .
f(x)
1
a = lim = lim = 0
x ln x
x" x"
x
b = lim (f(x) - ax) = lim = "
ln x
x" x"
Brak asymptoty ukośnej
Ekstrema:
ln x - 1
f (x) =
ln2 x
f (x) > 0 wtedy i tylko wtedy gdy x > e
f (x) < 0 wtedy i tylko wtedy gdy x < e
Funkcja ma minimum lokalne w x = e , f(e) = e
"
3
4. Sformułować twierdzenie Maclaurina (Taylora) dla funkcji f(x) = 1 + 2x dla n = 4
Twierdzenie Maclaurina: Jeżeli funkcja f(x) ma czwartą pochodną w każdym punkcie
przedziału < 0, x > to
f (0)x f (0)x2 f (0)x3
f(x) = f(0) + + + + R4
1! 2! 3!
fIV (¸x)x4
R4 = , gdzie 0 < ¸ < 1
4!
Obliczenia:
f(0) = 1
2 2 2
3
f (x) = (1 + 2x)- , f (0) =
3 3
8 5 8
3
f (x) = - (1 + 2x)- , f (0) = -
9 9
80 8 80
3
f (x) = (1 + 2x)- , f (0) =
27 27
1280 11
3
fIV = - (1 + 2x)-
81
Wzór Maclaurina:
"
2 4 40
3
1 + 2x = 1 + x - x2 + x3 + R4
3 9 81
160 11
3
R4 = - (1 + 2¸x)- x4 , gdzie 0 < ¸ < 1 , a x " (-1, ")
2
243
5. Podać interpretację geometryczną i własności całki oznaczonej. Obliczyć pole obszaru
Å„Å‚
2 x < "
òÅ‚
1
D :
ół
0 y
x2 - 1
Pole obszaru jest równe:

"
1
S = dx
x2
2 - 1

b
1
S = lim dx
b" - 1
2 x2
Rozkładamy funkcję na ułamki proste:
1 1
1
2 2
= -
x2 - 1 x - 1 x + 1
b
1 1
b
1 1 1 b - 1
2 2
- dx = ln |x - 1| - ln |x + 1| = (ln + ln 2)
x
2 - 1 x + 1 2 2 2 b + 1
2
1 b - 1 1
S = lim (ln + ln 2) = ln 2
b"
2 b + 1 2