Egzamin z Matematyki 1, 4 IX 2006
1. Narysować zbiór A = B *" D , gdzie:
"
B = {z : |z - 1 + i| | 3 + i|} , D = {z : (Im(z))2 Re(z + 1 - i)}
RozwiÄ…zanie:
Podstawiamy z = x + iy , gdzie x, y sÄ… liczbami rzeczywistymi
B:
"
|x + iy - 1 + i| | 3 + i|

"
(x - 1)2 + (y + 1)2 3 + 1
(x - 1)2 + (y + 1)2 4
Zbiór B to koło o środku w punkcie (1,-1) i o promieniu 2
D:
(Im(z))2 Re(z + 1 - i)
(Im(x + iy))2 Re(x + iy + 1 - i)
y2 x + 1
x y2 - 1
Zbiór D jest ograniczony parabolą o wierzchołku (-1, 0) o osi równoległej do osi OX.
D jest wewnÄ…trz paraboli.
2. Dana jest macierz A:
îÅ‚ Å‚Å‚
-3 1 0
ïÅ‚ śł
A = -2 1 1 ûÅ‚
ðÅ‚
1 0 2
Obliczyć det A " det A-1
RozwiÄ…zanie:
det A = -1
Wyznacznik det A jest różny od zera, istnieje więc macierz odwrotna A-1 . Korzystając
z własności wyznacznika:
det A " det A-1 = 1
3. Narysować sferę S : x2 + y2 + z2 = 2y
Wyznaczyć:
a) równania płaszczyzn stycznych do sfery S , które są równoległe do płaszczyzny
Ä… : 2x + y - 2z + 100 = 0
b) wyznaczyć punkty styczności otrzymanych płaszczyzn ze sferą S oraz opis parame-
tryczny prostej przechodzÄ…cej przez wyznaczone punkty.
RozwiÄ…zanie:
Przekształcamy równanie sfery S : x2 + (y - 1)2 + z2 = 1
Z tego równania mamy środek sfery: O(0, 1, 0) i jej promień R = 1
Wektor prostopadły do płaszczyzny ą : = [2, 1, -2] jest jednocześnie wektorem
n
równoległym do szukanej prostej l. Prosta ta przechodzi przez środek sfery, a więc
jej równanie:
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 2t
òÅ‚
l : y = t + 1
ôÅ‚
ół
z = -2t
Punkty styczności płaszczyzn są punktami przecięcia prostej l ze sferą
4t2 + t2 + 4t2 = 1
1
t2 =
9
Czyli:
1
t1 =
3
1
t2 = -
3
Punktami tymi są więc:
4 2 2
P1 = (2, , -2) oraz P2 = (-2, , )
3 3 3 3 3 3
Szukane płaszczyzny styczne są równoległe do płaszczyzny ą i przechodzą jedna przez
punkt P1 a druga przez P2
Szukamy równania płaszczyzny stycznej ą1 przechodzącaj przez P1
Ä…1 : 2x + y - 2z + D = 0
Wstawiamy do równania punkt P1
4 4 4
+ + + D = 0
3 3 3
Stąd D = -4 a więc szukane równanie:
Ä…1 : 2x + y - 2z - 4 = 0
Szukamy równania płaszczyzny stycznej ą2 przechodzącaj przez P2
Ä…2 : 2x + y - 2z + D = 0
Wstawiamy do równania punkt P2
2 4
-4 + - + D = 0
3 3 3
Stąd D = 2 a więc szukane równanie:
Ä…2 : 2x + y - 2z + 2 = 0
4. Zbadać funkcję:
ln x
f(x) =
x
i naszkicować funkcję:
ln |x|
g(x) = -
x
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina f(x): D = (0, ")
Granice:
ln x
lim = -"
x0+ x
1
ln x
x
lim = lim = 0
x" x"
x 1
Jest więc asymptota pionowa x = 0 oraz pozioma w +" o równaniu:y = 0
Badamy znak pierwszej pochodnej
1 - ln x
f (x) =
x2
1 - ln x
> 0
x2
1 - ln x > 0
x < e
Badamy znak drugiej pochodnej
-x - 2x(1 - ln x) -3 + 2 ln x
f (x) = =
x4 x3
-3 + 2 ln x
> 0
x3
-3 + 2 ln x > 0
3
2
x > e
3
2
x 0+ ... e ... e ... "
f (x) + 0 - - -
f (x) - - - 0 +
-3
1 3
2
f(x) -" e 0
e 2
Wykres funkcji f(x)
DziedzinÄ… funkcji g(x) jest D = (-", 0) *" (0, ")
Funkcja jest nieparzysta oraz g(x) = -f(x) dla x " (0, ")
Wykres funkcji g(x)
x2
2
5. Obliczyć ile razy pole figury F ograniczonej wykresem funkcji f(x) = xe- i osią
OX na przedziale < 0, ") jest większe lub mniejsze od pola figury G ograniczonej
x
wykresem funkcji g(x) = sin i osiÄ… OX na przedziale < 0, 2Ä„ >
2
RozwiÄ…zanie:
Pole figury F jest równe całce niewłaściwej:
"
b
x2 x2
2 2
SF = xe- dx = lim xe- dx
b"
0 0
2
Podstawiamy t = -x , dt = -x dx
2
b2
-
2

- b2
b2
2
2
SF = lim -et dt = lim -et = lim -e- + 1 = 1
0
b" b" b"
0
Pole figury G jest równe:
2Ä„

x x 2Ä„
SG = sin dx = -2 cos = 2 + 2 = 4
2 2
0
0
Odpowiedz
:
Pole figury F jest cztery razy mniejsze od pola figury G