Egzamin z Równań Różniczkowych, 14 IX 2009
1. Zadanie wstępne
1.1 Które z funkcji y = ex , y = cos x , y = x , y = xex są całkami szczególnymi
równania różniczkowego: y + y = 0
1.2 Wiadomo, że y1 = ex , y2 = e-x stanowią układ fundamentalny rozwiązań równa-
nia różniczkowego liniowego jednorodnego rzędu 2. Wyznaczyć rozwiązanie szcze-
gólne tego równania spełniające warunek początkowy
y(0) = 1 , y (0) = 1
"

2n + pn
1.3 Dla jakich wartości parametru p szereg jest rozbieżny?
5n
n=1
1.4 Wyznaczyć płaszczyznę normalną do krzywej o równaniu:
= [t3, t2, t] w punkcie odpowiadającym wartości parametru t = 1
r
1.5 Jaką wartość ma suma szeregu Fouriera funkcji:

3 dla x " [-Ä„, -Ä„ ] *" [Ä„ , Ä„]
2 2
f(x) =
Ä„
0 dla x " (-Ä„ , )
2 2
Ä„
w punkcie x = .
2
2. Znalez
ć te wartości parametru p " R , dla których funkcja postaci f(x) = xp będzie
na przedziale (0, ") rozwiązaniem równania
x2y - 4xy + 6y = 0
Podać układ fundamentalny rozwiązań (uzasadnić) oraz rozwiązanie szczególne z wa-
runkami poczÄ…tkowymi : y(1) = 1 , y (1) = 1
3. Rozwiązać równanie:
2"
y + 4xy = 2xe-x y
4. Rozwinąć w szereg potęgowy o środku w 0 funkcję
x
f(x) = -
x - 2
i określić promień zbieżności tego szeregu.
5. Wyznaczyć szereg Fouriera cosinusów funkcji:
Å„Å‚
ôÅ‚ 1 dla x " [0, 1)
òÅ‚
1
f(x) = dla x = 1
2
ôÅ‚
ół
0 dla x " (1, Ä„]
6. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu funkcyjnego:
"

(3n)!
xn
nn · (2n)!
n=1
1