Egzamin z Równań Różniczkowych, 25 VI 2009
1. Zadanie wstępne
1.1 Napisać równanie różniczkowe liniowe rzędu drugiego, którego całkami szczegól-
nymi sÄ…: y1 = ex , y2 = xex
1.2 Wyznaczyć krzywą całkową równania y = 3x2y do której należy punkt P (5, 0)
1.3 Rozwiązać równanie:
1
y(1 + x2)y =
2

"

2n - 2 n
1.4 Zbadać zbieżność szeregu
2n + 3
n=1
1.5 Zapisać w postaci ogólnej równanie płaszczyzny normalnej do krzywej
K : x = t , y = t2 , z = 3t w punkcie P (1, 1, 3)
2. Rozwiązać równanie:
1
y = - y + xy3 dla x > 0
x
3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego
Å„Å‚
ôÅ‚ y (x2 + 1) - 2xy = 0
òÅ‚
y(0) = 1
ôÅ‚
ół
y (0) = 5
4. Rozwiązać równanie:
y - y = ex + x
5. Wyznaczyć przedział zbiezności szeregu potęgowego:
"


n
x
[2 + (-1)n]
3
n=1
6. Wyznaczyć współczynniki szeregu Fouriera fnnkcji:
Å„Å‚
ôÅ‚
0 dla x " [-Ä„, -Ä„ ]
ôÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ -1 dla x " (-Ä„ , 0)
òÅ‚
2
f(x) = 0 dla x = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
Ä„
ôÅ‚
1 dla x " (0, )
ôÅ‚
ôÅ‚
2
ôÅ‚
ół
0 dla x " [Ä„ , Ä„]
2
Ä„ Ä„
dla n = 1, 2, 3, 4 . Podać wartość sumy tego szeregu dla argumentu i
4 2
1