Egzamin z Równań Różniczkowych, 28 VI 2012 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
1.1 Napisać równanie różniczkowe, którego całkami szczególnymi są funkcje:
y1 = 3 cos 2x , y2 = 4 sin 2x .
-
(t)
1.2 Wyznaczyć płaszczyznę normalną krzywej o równaniu r = [e2t, t2, t] w punkcie
P (1, 0, 0) .
"

1.3 Dla jakich x " R zbieżny jest szereg (ln x)n
n=1
1.4 Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego

ey dy = cos 2x dx
y(0) = 0
1.5 Jaką wartości parametru p " R suma szeregu Fouriera funkcji:

1 dla x " [-Ä„, -1] *" [1, Ä„]
f(x) = w punkcie x = 1 przyjmie wartość
px dla x " (-1, 1)
równą 3 .
2. Rozwiązać równanie:
y + 2xy = 2xy2
3. Rozwiązać zagadnienie początkowe
Å„Å‚
ôÅ‚ y + 2y + 2y = 0
òÅ‚
y(0) = 1
ôÅ‚
ół
y (0) = 1
4. Wyznaczyć i naszkicować rodzinę linii ortogonalnych do krzywych
x2 - y2 = C
5. Wykorzystując rozwinięcie funkcji podcałkowej w szereg Maclaurina wyrazić całkę
2
ex
dx
x
1
za pomocą szeregu liczbowego. Obliczyć przybliżoną wartość całki wykorzystując trzy
poczÄ…tkowe wyrazy tego szeregu.
6. Wyznaczyć szereg Fouriera samych sinusów, którego suma na przedziale (0, Ą) przyj-
muje wartości identyczne z funkcją

Ä„
x dla x " (0, )
2
f(x) =
-x dla x " (Ä„ , Ä„)
2
Narysować wykres sumy szeregu dla x " [-Ą, Ą] .
1