10. Ruch turbulentny cieczy lepkiej
10.1. Stateczność rozwiązań równań Naviera-Stokesa

Istnienie w przyrodzie i zagadnieniach technicznych dwu rodzajów przepływów
oznacza, że stacjonarne rozwiązania układu równań rządzących przepływem cieczy
lepkiej muszą być traktowane jako pewnego rodzaju abstrakcja. Mogą one
realizować się w rzeczywistości - z dokładnością dostępną dla urządzeń
pomiarowych - tylko wtedy, gdy są stateczne w odniesieniu do małych
przypadkowych zaburzeń. Dlatego też kontrola stateczności tych rozwiązań jest
bardzo istotna.
W celu zbadania stateczności rozwiązań układu równań (8.38) założymy, że znamy
pewne jego rozwiązanie stacjonarne i Nakładamy na-stępnie na nie dowolne
niestacjonarne, ale małe zaburzenia:



Obydwie sumy:



muszą oczywiście spełniać układ (8.38) i zadane warunki brzegowe. Po pominięciu
wyrazów małych wyższych rzędów ze względu na i otrzymamy układ równań liniowych
względem małych zaburzeń i

(10.1)

które muszą spełniać jednorodne warunki brzegowe, ponieważ warunki brzegowe są
już spełnione przez rozwiązanie stacjonarne
Dalsze postępowanie przy badaniu stateczności rozwiązania stacjonarnego polega
zazwyczaj na poszukiwaniu rozwiązania układu (10.1) w postaci iloczynu
rozwiązań szczególnych, zawierających czynnik gdzie jest zespoloną częstością
drgań. Jeżeli w rozwiązaniu występują składniki, w których wtedy zaburzenia i
będą się zwiększać z upływem czasu; rozwiązanie stacjonarne jest zatem
niestateczne. Innymi słowy, przepływ który się realizuje jest przepływem
turbulentnym, a rozwiązanie: ma sens czysto formalny. Jeżeli natomiast będzie
wtedy rozwiązanie jest stateczne w odniesieniu do rozpatrywanych małych
zaburzeń i istnieje prawdopodobieństwo, że rozwiązanie takie będzie się
realizować w naturze (może okazać się, że jest ono niestateczne w odniesieniu
do zaburzeń dostatecznie wielkich bądź też zaburzeń innego typu).
Analiza stateczności rozwiązań w ogólnym przypadku trójwymiarowego ruchu
cieczy lepkich napotyka na ogromne trudności natury matematycznej. Ograniczymy
się więc w dalszym ciągu do badania tylko takich stacjonarnych przepływów
płaskich, które mają tę właściwość, że obszar ich istnienia jest ograniczony w
kierunku współrzędnej y

(10.2)

od której zależy również jedyna różna od zera składowa prędkości (przykł. 8.1)
- jest więc

(10.3)

Wówczas układ równań (10.1) redukuje się do postaci:

(10.4)

Po wprowadzeniu funkcji prądu określonej związkami (6.7):

(10.5)

równanie ciągłości jest spełnione tożsamościowo, a pozostałe równania (10.4)
będą następujące:

(10.6a)




(10.6b)

W wyniku zróżniczkowania pierwszego równania (10.6) względem y, drugiego -
względem x i następnie dodaniu ich stronami uzyskujemy

(10.7)

Rozwiązania równania (10.7) poszukiwać będziemy w postaci

(10.8)

w której a jest liczbą falową , - stałą zespoloną oraz - zespoloną amplitudą
zaburzeń. Po podstawieniu otrzymujemy liniowe równanie różniczkowe zwyczajne
czwartego rzędu dla funkcji

(10.9)

która musi spełniać na granicach obszaru (10.2) jednorodne warunki brzegowe

(10.10)

Uzyskane podstawowe równanie badania stateczności przepływów o prostoliniowych
i równoległych liniach prądu nosi nazwę równania Orra i Sommerfelda .
Do równania Orra-Sommerfelda można wprowadzić liczbę Reynoldsa (1.22), jeśli
zdefiniujemy wymiar charakterystyczny l i przyjmiemy prędkość maksymalną
przepływu jako prędkość odniesienia.
Równanie (10.9) jest równaniem czwartego rzędu, posiada więc cztery liniowo
niezależne rozwiązania ,, i (są one funkcjami parametrów a, Re i c ), a
rozwiązanie ogólne tego równania jest ich kombinacją liniową

(10.11)

gdzie , , i są stałymi.
Stałe , ... , muszą być tak dobrane, aby rozwiązanie (10.11) spełniało
jed-norodne warunki brzegowe (10.10). W takim razie muszą one spełniać
następujący algebraiczny układ równań jednorodnych:




(10.12)

gdzie którego wyznacznik

= 0 (10.13)

musi znikać, jeśli (10.11) ma być nietrywialnym rozwiązaniem równania Orra
i Sommerfelda. Równanie wynikające z warunku znikania wyznacznika (10.13)
nazywa się równaniem wiekowym .




Rys. 10.1


Równanie wiekowe będzie mieć w rozpatrywanym przypadku następującą postać

(10.14)

możemy więc zastąpić je układem dwu równań:

(10.15)

Podstawiając = 0 w pierwszym z nich uzyskamy zależność

(10.16)
której odpowiada w płaszczyźnie (a , Re) tzw. krzywa równowagi obojętnej (rys.
10.1). Krzywa ta oddziela obszar stateczności badanego ruchu stacjonarnego

(10.17)

od obszaru niestateczności

(10.18)

Krytycznej liczbie Reynoldsa odpowiada minimum funkcji dla = 0, określa ją więc
pionowa styczna do krzywej równowagi obojętnej.


*

Na podstawie przedstawionych rozważań wnioskujemy, że rozwiązania równań
laminarnej warstwy przyściennej mogą opisywać przepływy rzeczywiste tylko
w przypadku gdy są stateczne względem małych zaburzeń. Jeśli ponadto utrata
stateczności wystąpi przed hipotetycznym oderwaniem laminarnej warstwy
przyściennej, to wpłynie to w sposób istotny na charakter przepływu. W
szczególnym przypadku punkt utraty stateczności warstwy laminarnej i punkt jej
oderwania mogą się pokrywać.
Ruch w płaskiej laminarnej warstwie przyściennej można zaliczyć do klasy
ruchów, których statecznością rządzi równanie Orra i Sommerfelda. W
przybliżeniu jest bowiem spełnione założenie (10.3), gdyż składowa słabo zależy
od x, a składowa jest mała w porównaniu z Pozostaje więc tylko sformułowanie
stosownych warunków brzegowych.
Na ściance zaburzenia ruchu znikają, obowiązują więc również w tym przypadku
jednorodne warunki brzegowe (10.10). Natomiast na granicy warstwy postuluje siÄ™
zwykle równość zaburzeń ruchu lepkiego i zaburzeń ruchu nielepkiego,
stanowiącego przepływ jednorodny.
Po podstawieniu n = 0 w równaniu (10.9) otrzymamy równanie dla amplitudy j
zaburzeń ruchu nielepkiego

(10.19)

którego interesujące nas rozwiązanie (spełniające postulat zanikania zaburzeń
wraz ze wzrostem odległości od ścianki) jest następujące

(10.20)

Rozwiązanie zagadnienia, które składa się z funkcji (10.11) i funkcji (10.20),
wymaga zatem określenia pięciu stałych całkowania. Mogą one być wyznaczone
z następującego algebraicznego układu równań jednorodnych:

(10.21)



10.2. Opis ruchu turbulentnego

Przedstawione w poprzednich rozdziałach równania wynikające z trzech zasad
zachowania, tzn. równanie ciągłości (3.18), równanie Naviera-Stokesa (8.13) i
równanie energii (8.26), stanowią najogólniejszą formę opisu ruchu płynów,
zarówno w przepływie laminarnym, jak i turbulentnym. Dla uzyskania jednak
postaci tych równań, które wykazałyby specyficzną odmienność ruchu
turbulentnego, przyjmuje się zgodnie z hipotezą Reynoldsa , że chwilowe
wartości wszystkich charakteryzujących przepływ wielkości fizycznych mogą być
traktowane jako sumy wielkości średnich oraz odpowiednich wielkości
fluktuacyjnych. Zakładając zatem, że j jest dowolnym parametrem
hydrodynamicznym przepływu turbulentnego - zależnym od współrzędnych i od czasu
t - piszemy

(10.22)

Pierwszy składnik jest tzw. uśrednioną wielkością funkcji j, natomiast drugi -
tzw. pulsacją; pulsacja jest przy tym wielkością małą i szybkozmienną w
porównaniu z , co zostało zilustrowane wykresem na rys. 10.2.
Operację uśredniania definiujemy następująco

(10.23)

przyjmując obszar uśredniania T w taki sposób, żeby znikała średnia wartość
pulsacji

(10.24)

obszar uśredniania T musi być więc duży w porównaniu z okresem zmienności
pulsacji a mały - w porównaniu z zakresem zmienności funkcji uśrednionej.





Rys. 10.2


Zbadamy własności operacji uśredniania. Na mocy wzorów (10.22) i (10.24)
stwierdzamy, że powtórne uśrednianie nie zmienia funkcji uśrednionej

(10.25)

Wprowadzając jako inną funkcję opisującą ruch turbulentny stwierdzamy również
liniowość operacji uśredniania

(10.26)

dla dowolnych stałych a i b. Zachodzi ponadto relacja

(10.27)

albowiem jest



na mocy założenia o wolnozmienności funkcji względem czasu.
Niezbędne są jeszcze reguły uśredniania pochodnych. Reguła uśredniania
pochodnych względem współrzędnych przestrzennych wynika bezpośrednio ze wzoru
(10.23)

(10.28)


Podobna reguła obowiązuje dla pochodnej względem czasu, gdyż

(10.29)



*

Podane reguły uśredniania zastosujemy teraz do uśrednienia układu równań
(8.38) dla ruchu turbulentnego, przy założeniu Układ ten przepiszemy w po-staci
skalarnej, po uprzednim przekształceniu równań Naviera-Stokesa przy
wykorzystaniu równania ciągłości:

(10.30)

Podstawiając w otrzymanym w ten sposób układzie czterech równań: , , oraz i
wykonując na nim operacje uśredniania, otrzymamy:

(10.31)


Przy uśrednianiu nie znika iloczyn dwu skorelowanych ze sobą zaburzeń
składowych prędkości, gdyż są one zdeterminowane równaniem ciągłości



w układzie (10.31) pojawiają się więc nowe wielkości:

(10.32)

nazywane naprężeniami turbulentnymi , przez analogię do naprężeń (8.1)
występujących w równaniach (8.12). Są one skutkiem pulsacyjnej wymiany pędu
pomiędzy sąsiednimi powierzchniami prądu, co stanowi również powód, dla którego
dyfuzja i wymiana ciepła odbywa się w ruchu turbulentnym znacznie bardziej
intensywnie niż w ruchu laminarnym.
Trzy końcowe równania układu (10.31) nazywane są równaniami Reynoldsa .
Równania te zawierają dodatkowe pochodne naprężeń turbulentnych, któ-re nie
występują w równaniach Naviera-Stokesa i w przepływach laminarnych. Jak widać
układ (10.31) jest więc układem niezamkniętym - w przeciwieństwie do układu
(8.38), brak jest bowiem do jego zamknięcia sześciu równań, określających
naprężenia turbulentne (10.32).


10.3. Modele turbulencji

Problem uzupełniania układu równań (10.31) stanowi największą trudność
w teorii przepływów turbulentnych, ponieważ nie ma żadnych przesłanek natury
fizycznej co do związku naprężeń turbulentnych z innymi wielkościami
charakteryzującymi płyn. Sposoby domykania układu poprzez określenie wartości
liczbowych tych naprężeń nazywamy modelami turbulencji .
Liczba niezbędnych sześciu dodatkowych równań może być zmniejszona dla
średnich przepływów płaskich i średnich przepływów jednowymiarowych oraz po
przyjęciu założenia o izotropowości turbulencji . Turbulencja jest izotropowa,
jeśli uśrednione kwadraty prędkości pulsacyjnych:

(10.33)

spełniają w rozpatrywanym punkcie warunek

(10.34)
jeśli powyższy warunek jest spełniony we wszystkich punktach przepływu -
turbulencja jest izotropowa i jednorodna.
Podejmowane dotychczas próby konstruowania modeli turbulencji idą dwiema
drogami. Pierwsza z nich polega na formułowaniu hipotez co do związku naprężeń
turbulentnych z uśrednionymi charakterystykami pola prędkości, przy empirycznym
określeniu współczynników proporcjonalności. Druga natomiast prowadzi do
uzyskiwania modeli analitycznych, po bezpośrednim rozwiązaniu pełnych lub
uproszczonych równań transportu naprężeń turbulentnych.
Ograniczymy się do omówienia najprostszych hipotez grupy pierwszej. Otwiera ją
hipoteza Boussinesqa , oparta na zwiÄ…zkach analogicznych do zależnoÅ›ci (8.4) ¸
(8.5), np.

(10.35)

w których wprowadzono współczynnik proporcjonalności, nazywany lepkością
turbulentną. Podkreślić należy jednak, że w odróżnieniu od lepkości dynamicznej
m lepkość turbulentna nie jest cechą fizyczną płynu lecz własnością ujawniającą
się tylko w trakcie jego ruchu i zależną od struktury turbulencji w danym
punkcie pola prędkości. W pobliżu ścianki ciała stałego jest zawsze bowiem na
ściance znikają pulsacje turbulentne; natomiast w pewnej odległości od ścianki
może przybierać wartości wielokrotnie większe od m.
Współczynnik miał być według oryginalnej koncepcji Boussinesqa wielkością
skalarną, stanowiącą empirycznie wyznaczoną funkcję współrzędnych
przestrzennych. W niektórych szczególnych przypadkach zakładano nawet jego
przestrzenną niezmienność, co prowadziło do szybkich i efektywnych rozwiązań o
zadowalającej zgodności z doświadczeniem. Fizykalna interpretacja jako
wielkości skalarnej budzi jednak w ogólnym przypadku szereg zastrzeżeń, w
związku z czym współczynnik ten jest przyjmowany zazwyczaj odmiennie dla
każdego naprężenia turbulentnego (10.32).




Rys. 10.3
Następna hipoteza została zaproponowana przez Prandtla i później uzupełniona
przez Karmana. W ramach tej hipotezy zakłada się, że wymiana pędu między
sąsiednimi powierzchniami prądu odbywa się w identyczny sposób jak zmiana pędu
cząsteczki gazu: ulega ona zmianie tylko w trakcie zderzeń, a pozostaje stała
na długości drogi swobodnej. W przypadku ruchu płaskiego i stacjonarnego w
odniesieniu do wielkości uśrednionych rolę prędkości cząsteczki odgrywa
fluktuacja składowej prędkości a rolę drogi swobodnej - tzw. droga mieszania
Kon-cepcja tej hipotezy została schematycznie przedstawiona na rys. 10.3.
Dzięki istnieniu składowej przez powierzchnię zachodzi ciągły transport pędu
wymienianego między dwiema powierzchniami prądu przepływu uśrednionego -
odległymi od siebie o Zgodnie z drugą zasadą dynamiki siła styczna



jest równa zmianie pędu, którą obliczamy przy wykorzystaniu wzoru (5.35)



zatem

(10.36)

Po przyjęciu założenia, że poprzeczna składowa fluktuacji prędkości jest
proporcjonalna do różnicy prędkości na powierzchniach prądu, oddalonych od
siebie o wielkość drogi mieszania

~ (10.37)

naprężenia Reynoldsa można ostatecznie przedstawić w postaci

(10.38)

gdzie nowa wielkość stanowi statystycznie uśrednioną miarę drogi mieszania Aby
zależność ta dawała naprężenie styczne o znaku zgodnym ze zna-kiem gradientu
prędkości średniej, zapisuje się ją zwykle w formie

(10.39)
odpowiada jej więc kinematyczny współczynnik lepkości turbulentnej określonej
zwiÄ…zkiem

(10.40)

Według współczesnych poglądów wymiana pędu pomiędzy poszczególnymi elementami
płynu nie zachodzi na skutek zderzeń, a na skutek wytworzonych w przepływie
wirów, które powodują przenoszenie elementów płynu z obszaru o większych
prędkościach do obszaru o niższych prędkościach i odwrotnie. W tej
interpretacji wzór (10.39) zachowuje swoją postać, jeśli drogę mieszania
zastąpimy skalą długości wirów l - stąd też współczynnik

(10.41)

nazywany jest zwykle kinematyczną lepkością wirową.
Innym przykładem takiej zależności może być wzór wynikający z hipotezy
Karmana, według której wielkość wyraża się następująco

(10.42)

gdzie k jest pewną stałą określaną w trakcie badań doświadczalnych.
Taylor zaproponował, aby w pobliżu ścianki lepkość turbulentną traktować jako
funkcję prędkości

(10.43)

przyjmując współczynnik proporcjonalności w postaci

(10.44)

gdzie B jest stałą empiryczną.
W przedstawionych, najprostszych modelach turbulencji lepkość wirowa
wyznaczana była jako funkcja parametrów ruchu średniego (modele zerorównaniowe)
lub też po wprowadzeniu liniowej skali wirów l - obliczanej z zależności
algebraicznej (modele jednorównaniowe). W celu usunięcia różnych mankamentów
tych modeli tworzy się też bardziej złożone modele o większej liczbie
parametrów, uwzględniających dodatkowo średnią energię kinetyczną ruchu
pulsacyjnego



(10.45)

lub też dyssypację energii ruchu turbulentnego.


10.4. Płaska turbulentna warstwa przyścienna

Przekształcone równania warstwy przyściennej (9.4):

(10.46)

wyrazimy za pomocą prędkości uśrednionych , i prędkości pulsacyjnych , ,
postępując identycznie jak przy przekształcaniu równań (10.30). Otrzymamy:

(10.47)

gdzie symbol t wyraża sumę naprężenia laminarnego i dominującego naprężenia
turbulentnego w warstwie

(10.48)

Warunki brzegowe dla układu (10.47), dotyczące wielkości uśrednionych, są
identyczne jak dla laminarnej warstwy przyściennej. Ponadto postulujemy
znikanie pulsacji turbulentnych zarówno na ściankach, jak i na granicy warstwy
przyściennej. Będziemy więc w dalszym ciągu pomijać równanie ciągłości dla
pulsacji oraz będziemy również pomijać ostatni składnik równania pędu -
zakładając, że jest on mały w porównaniu z pozostałymi. Tym samym ostateczna
postać układu (10.47) jest następująca: