Oddziaływania elektromagnetyczne
Oddziaływanie cząstek naładowanych
Elektrodynamika kwantowa  renormalizowalność i niezmienniczość względem
cechowania
Diagramy Feynmana
QED i rachunek zaburzeń
Podstawowe procesy elektromagnetyczne
Diagramy energii własnej
Moment magnetyczny elektronu
Biegnąca stała sprzężenia ąem
1
Oddziaływania elektromagnetyczne
Cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym oddziałują elektromagnetycznie.
Oddziaływania elektromagnetyczne są odpowiedzialne za
siły wiążące elektrony z jądrem atomowym stany związane elektronów
w polu jąder (atomy i cząsteczki)
siły międzycząsteczkowe w cieczach i ciałach stałych
Elektrodynamika kwantowa ( Quantum Electrodynamics, QED )
kwantowa teoria pola opisująca procesy zachodzące pod wpływem oddziaływań
elektromagnetycznych umożliwia obliczenie z wielką precyzją przekrojów
czynnych dla tych reakcji.
2
Trochę historii :
Wyjaśnienie stabilności atomów i widma ich promieniowania
elektromagnetycznego doprowadziło w latach 20-tych XX wieku
do powstania mechaniki kwantowej.
1900 r zastosowanie idei kwantowych do pola elektromagnetycznego
przez Maxa Plancka ( widmo ciała doskonale czarnego  światło może
być emitowane tylko w porcjach o energii E = h� )
1905 r Albert Einstein postuluje istnienie kwantów pola
elektromagnetycznego, fotonów ( opis efektu fotoelektrycznego )
1922 r odkrycie fotonów przez Comptona
foton jest jedyną cząstką, która była znana jako pole zanim została
wykryta jako cząstka
~1930 pierwsze publikacje W. Heisenberga i W. Pauliego dot. zagadnienia
nieskończoności w kwantowej teorii pola
R. Oppenheimer i I. Waller : opis oddziaływań elektronu z polem
elektromagnetycznym prowadzi do rozbieżności w rachunkach
nieskończoności w obliczeniach elektromagnetycznej masy własnej
elektronu związanego i elektronu swobodnego
przypuszczenie, że nieskończoności w obliczeniach masy i ładunku
elektronu można  pochłonąć za pomocą przedefiniownia czyli
 renormalizacji parametrów teorii
3
c& Wielkie osiągnięcia teoretyczne : elektrodynamika kwantowa
QED  kwantowa teoria pola opisująca oddziaływanie cząstek naładowanych
elektrycznie poprzez wymianę kwantów pola elektromagnetycznego, fotonów
1948  1951 J. Schwinger, R. Feynman i S. Tomonaga rozwinęli niezależnie
nowy formalizm QED  pokazali, że przez modyfikację pojęcia
fizycznej masy i fizycznego ładunku elektrycznego elektronu
można usunąć wszystkie nieskończoności z teorii
( nagroda Nobla w 1965 r )
F. Dyson wykazał, że te trzy formalizmy QED są równoważne
QED jest modelowym przykładem kwantowej teorii pola
4
( renormalizowalność + niezmienniczość względem cechowania )
Elektrodynamika kwantowa
Warunkiem koniecznym do zapewnienia renormalizowalności teorii jest niezmienniczość
względem cechowania ( por. wykład nt. globalnej i lokalnej symetrii cechowania )
Mechanika kwantowa : wyniki fizyczne nie zależą od zmian fazy funkcji falowej elektronu
�� = ei� � � , globalna transformacja cechowania
transformacja fazy funkcji falowej � niezależna od (x, t) czyli dla � = const
Lagranżjan relatywistycznej cząstki swobodnej o spinie � ( elektronu ) jest
niezmienniczy względem globalnej transformacji cechowania L(�) = L(� )
zachowanie ładunku elektrycznego
Prawa fizyki powinny być także niezmiennicze względem dowolnych
lokalnych zmian fazy  lokalna symetria cechowania
kąt obrotu fazy �(x, t) zależny
�� = ei �( x, t ) od p-tu w czasoprzestrzeni
�
istnienie dodatkowego pola cechowania, pola elektromagnetycznego,
którego kwantem jest foton, bezmasowa cząstka o spinie jednostkowym
Przekształcenia fazy tworzą grupę obrotów w płaszczyz
nie zespolonej
 abelową grupę symetrii U(1)
QED jest kwantową teorią pola z cechowaniem abelowym opartą
5
na grupie symetrii U(1)
Oddziaływania elektromagnetyczne
Teoriopolowy obraz oddziaływań : oddziaływanie pomiędzy dwoma obiektami
mikroświata jest efektem wymiany między nimi bozonów pośredniczących,
cząstek o spinie całkowitym.
QED :
Elektromagnetyczne oddziaływanie
dwóch elektronów jest wynikiem
wymiany m-dzy nimi fotonu, kwantu
pola elektromagnetycznego
Zasięg oddziaływania wiąże się z masą ( MX ) wymienianej cząstki
R a"'
c / MX c2
Oddz. elektromagnetyczne jest oddz. długozasięgowym  wymiana bezmasowego
6
fotonu, R ". Przejawia się już na poziomie makroskopowym.
Elektrodynamika kwantowa
Elektronowi, który klasycznie jest cząstką, odpowiada również pole fizyczne,
którego kwantami są elektrony i pozytony.
Kwantem pola elektromagnetycznego jest foton.
Podstawową metodą rachunkową w QED jest rachunek zaburzeń oparty na
technice diagramów Feynmana.
Przykładowe diagramy Feynmana
Oddziaływania fotonów z elektronami / pozytonami są opisane przez
wymianę kwantów pól.
Każdy wierzchołek diagramu Feynmana oznacza elementarny akt emisji
lub absorpcji fotonu.
7
Rachunek zaburzeń  diagramy Feynmana
Podstawową metodą rachunkową w kwantowej teorii pola jest rachunek zaburzeń oparty na
technice diagramów Feynmana przekroje czynne badanych procesów, szybkości
rozpadu cząstek
dla danego procesu rysujemy wszystkie możliwe diagramy Feynmana :
np.
poprawki wyższych rzędów
każdej części diagramu odp. wyrażenie analityczne
propagator
~ 1/(p2 + m2)
amplituda odp. danemu diagramowi
cząstka
jest iloczynem poszczególnych wyrażeń
swobodna
wierzchołek
~ ładunek
ATOTAL = Ł Ai , całkowita amplituda jest sumą amplitud dla poszczególnych
diagramów
przekrój czynny ( lub szybkość rozpadu ) ~ |ATOTAL|2 � przestrzeń fazowa
( Złota reguła Fermiego )
8
Diagramy Feynmana
Każdemu diagramowi odpowiada wyrażenie analityczne przyczynek do
amplitudy prawdopodobieństwa badanego procesu
Suma takich wyrażeń odp. wszystkim możliwym diagramom amplituda
prawdopodobieństwa zajścia badanego procesu
Przekrój czynny � ~ | amplituda |2 � ( przestrzeń fazowa )
a + b c + d
A  amplituda rozpraszania
ga
element macierzowy przejścia ze stanu
gagb
początkowego i do stanu końcowego j
A =
mx - masa wymienianej cząstki
q2 - m2
X q - czteropęd unoszony przez wirtualną
gb
cząstkę ( obliczamy z zachowania
czteropędu w wierzchołkach )
ga(b)- stałe sprzężenia
Amplituda rozpraszania dla procesu zachodz. przez wymianę pojedynczego bozonu
iloczyn dwóch stałych sprzężenia ga i gb odpowiadających dwóm wierzchołkom
oddziaływania
oraz propagatora 1/(q2  mx2) odp. linii wymienianej wirtualnej cząstki
Wartość stałej sprzężenia ga,b określa siłę oddziaływania w danym wierzchołku
9
W Modelu Standardowym oddziaływania elektromagnetyczne, słabe i silne zachodzą przez
wymianę bozonów pośredniczących o spinie i parzystości JP = 1�
Masa
Bozon
Oddziaływanie
[ GeV ]
JP
pośredniczący
EM (QED) foton ł 1� 0
SA
ABE Wą / Z0 1� 80 / 91
SILNE (QCD) 8 gluonów 1� 0
Siła oddziaływania jest
określona przez ładunek g
ładunek jest związany z bezwymiarową  stałą sprzężenia ą
QED :
e  ładunek elektryczny elektronu
�0  przenikalność elektryczna
jednostki Heaviside a  Lorentza �0 = '
= c = 1
próżni
stała struktury subtelnej określa wielkość rozszczepienia
subtelnego widm atomowych wynikającego z oddz. spin  orbita
( ą - bezwymiarowa kombinacja 3 podstawowych stałych przyrody : stałej Plancka,
prędkości światła i ładunku elektronu)
b. precyzyjne pomiary ą = 1/ 137.035 999 11(46) z pomiarów anomalnego
momentu magnetycznego elektronu i kwantowego efektu Halla
10
QED - rachunek zaburzeń
Obliczając całkowitą amplitudę dla danego procesu należy zsumować przyczynki od wielu
diagramów Feynmana, uwzględniających wszelkie możliwe stany pośrednie
wkłady od diagramów z coraz to większą liczbą wierzchołków oddziaływania
Rachunek perturbacyjny : amplituda jest szeregiem potęgowym w stałej sprzężenia
diagram wiodący następny do wiodącego następny do niewiodącego
LO  leading order next - to - leading order next - to - next - to - leading order
NLO NNLO
"ą
+
ATOTAL =
ł
+
+ & "
wkład każdego
"ą
wierzchołka
amplituda
do amplitudy ~ "ą
jest
ą ą2 ą3
rzędu
1 / 137 ( 1 / 137 )2 ( 1 / 137 )3 diagramy wyższych rzędów
są małymi (!) poprawkami do
7 � 10�3 5 � 10�5 4 � 10�7
diagramów niższych rzędów
QED : dobrym przybliżeniem jest już pierwszy człon  przybliżenie Borna ( LO )
Rozwinięcie perturbacyjne daje dobre wyniki, ponieważ stała sprzężenia
11
jest mała ąem = e2 / 4Ą ~ 1 / 137 H" 0.0073 � 1
Oddziaływania elektromagnetyczne
Foton sprzęga się do naładowanych cząstek
kwark kwark
kwark
ł
antykwark
naładowany naładowany naładowany
lepton lepton lepton
ł
naładowany
Wymiana fotonu nie powoduje zmiany
antylepton
zapachu kwarka lub leptonu
12
Podstawowe procesy elektromagnetyczne
Podstawowy wierzchołek elektron  foton
e� e�
( proces absorpcji lub emisji fotonu przez elektron,
"ą = e
ze względu na zachowanie energii i pędu nie zachodzi
dla cząstki swobodnej )
Wkład do amplitudy ~ "ą
ł
Jeżeli foton stanowi linię wewnętrzną
( wymiana wirtualnego fotonu )
przyczynek od propagatora fotonu ~ 1/q2
q  czteropęd fotonu
13
Podstawowe procesy elektromagnetyczne
Zjawisko fotoelektryczne odkryte przez Hertza w 1897 r :
padające światło o odpowiedniej długości fali
uwalnia elektrony z powierzchni metalu
Energia elektronów zależy od częstości wiązki światła
a nie od jego natężenia.
"ą = e
1905 A. Einstein wyjaśnia efekt fotoelektryczny
( nagroda Nobla w 1921 )
Światło strumieniem niepodzielnych kwantów energii
( nazywanych teraz fotonami )
przekrój czynny � ~ | A |2 ~ ą ( lub e2 )
e�
ł ł + atom(Y) jon(Y+) + e�
Proces zachodzi, jeżeli energia fotonu ( E = h� ) jest większa od
YY+
energii wiązania ( binding energy ) elektronu w atomie (praca
wyjścia), Eł > EB , charakterystycznej dla danego materiału
Absorpcja fotonu przez elektron uwięzionyw atomie  dostarczona przez
foton energia wystarczająca na pracę wyjścia elektronu i uzyskanie przez
uwolniony elektron pewnej energii kinetycznej, Ee = Eł - EB
Proces dominuje dla niskoenergetycznych fotonów ( Eł < kilka MeV )
14
mała energia uwalnianych elektronów
Rozpraszanie Comptona
rozproszony
y 1923 r doświadczenie Comptona
Rozpraszanie kwantów światła (fotonów)
padający
na swobodnych (słabo związanych) elektronach
Doświadczenie Comptona pokazało, że
fotony mają nie tylko energię ale również

i pęd. Energia E i pęd p fotonów
o częstości � i długości fali  :
E = h� , p = h� / c = h / 
Fotony zachowują się jak cząstki
ł + atom(Y) jon(Y+) + e� + ł
foton o długości fali  oddziałuje ze
"ą
spoczywającym elektronem
długość fali rozproszonego fotonu  > 
� <" ą2
Eł(out) < Eł (in)
rozproszenie fotonu pod kątem Ć
"ą
elektron porusza się po zderzeniu
z prędkościa v w kierunku �
Rozpraszanie fotonów na elektronach
15
( fotony rentgenowskie  energie 200 eV  100 keV )
Podstawowe procesy elektromagnetyczne
Rozpraszanie kulombowskie dwóch elekronów poprzez wymianę pojedynczego
wirtualnego fotonu ( o czterpędzie q )
"ą
Wkłady do amplitudy :
wierzchołki - iloczyn sprzężeń
"ą � "ą = ą ( lub e2 )
propagator fotonu ~ 1/q2
"ą
A ~ ą / q2
Rozpraszanie Rutherforda różniczkowy przekrój czynny
d� / dq2 ~ ą2 / q4
e�
jest rzędu ą2
e�
e�
Przyczynek do rozpraszania elektronów
"ą "ą
poprzez wymianę dwufotonową
wkład do przekroju czynnego rzędu ą4
( wkłady od wymiany n - fotonów rzędu ą2n są tłumione )
e�
"ą "ą e�
16
Podstawowe procesy elektromagnetyczne
Rozpraszanie Bhabby e+ + e� e+ + e�
e�
e� e�
e�
"ą
ł
ł
"ą "ą
+
e+
e+
"ą
e+
e+
diagram wymiany diagram anihilacji
W najniższym rzędzie rachunku zaburzeń interferencja dwóch amplitud :
odpowiadającej procesowi zachodzącemu poprzez wymianę wirtualnego fotonu
oraz związanej z wkładem od anihilacji cząstek
� ~ ą2
17
Podstawowe procesy elektromagnetyczne
Promieniowanie hamowania ( bremsstrahlung )
emisja rzeczywistego fotonu przez elektron przyspieszany w polu jądra
o ładunku Ze
ł
e� "ą e� e�
"ą
+
"ą "ą
ł
"ą
Ze
� ~ ą3Z2
jądro
przekrój czynny jest rzędu ą3
W najniższym (wiodącym) rzędzie rachunku zaburzeń wkład od dwóch diagramów
Wymiana wirtualnego fotonu z jądrem zapewnia zachowanie pędu w procesie
Pośrednie wirtualne stany elektronu umożliwiają emisję rzeczywistego fotonu w zgodzie
z zachowaniem czteropędu
18
Produkcja par
Kreacja pary e+e� przez foton w polu jądra
ł + jądro e+ + e� + jądro
"ą
Energia progowa fotonu na "ą
produkcję pary elektron - pozyton
"ą
w polu jądra  2mec2
Jądro
� ~ ą3 Z2
o ładunku Ze
przekrój czynny jest rzędu ą3
Rozpad swobodnego fotonu na parę e+e� ( ł e+e� ) jest zabroniony, ponieważ
zasada zachowania energii i pędu nie jest równocześnie spełniona
Natomiast w polu jądra foton może konwertować na parę elektron-pozyton.
Wymiana wirtualnego fotonu z jądrem zapewnia zachowanie czteropędu.
( uwzględnienie pędu związanego z odrzutem jądra zachowanie pędu w procesie )
W oddziaływaniach fotonów z materią proces produkcji par e+e� dominuje w obszarze
wysokich energii
19
Przekroje czynne na oddziaływanie fotonów z materią ( dla ołowiu ) w funkcji energii fotonu
efekt fotoelektryczny
rozpraszanie Comptona
produkcja par
w polu jadra
20
Diagramy  energii własnej 
diagram pętlowy
QED diagram pętlowy rzędu ą2
� ~ ą4
rzędu ą4
� ~ ą2
� ~ ą4
Elektron emituje wirtualny foton, który następnie
Pojedynczy  goły  elektron
fluktuuje na parę e+e�. Wirtualna para e+e� sprzęga
emituje i następnie pochłania
się z kolei do fotonu pochłanianego przez elektron
wirtualny foton
elektron emituje i pochłania wirtualną parę
elektron-pozyton
elektron nieustannie emituje i (re)absorbuje wirtualne fotony oraz ( pośrednio )
pary elektron-pozyton
te kwantowe fluktuacje prowadzą do mierzalnych efektów tzw. efektów
polaryzacji próżni ( ekranowanie ładunku elektr. , biegnąca stała sprzężenia w QED )
linie elektronowe na diagramach Feynmana odp.  gołym elektronom,
elektronom bez samooddziaływania
 goła masa m0 /  goły ładunek e0 elektronu - są wielkościami niemierzalnymi
prawdziwe cząstki, których parametry (masa, ładunek) mierzymy   gołe
cząstki ubrane w chmurę cząstek wirtualnych ( fotony, pary e+e�), powstających
21
w procesach opisanych przez diagramy  energii własnej ( diagramy pętlowe ).
Diagramy  energii własnej 
Diagramy  energii własnej  dają wkład do masy i ładunku elektronu mierzonych w eksp.
ładunek fizyczny e  goły ładunek e0 wkłady od diagramów pętlowych &
Masa i ładunek elektronu stają się nieskończone przy uwzględnianiu diagramów
energii własnej coraz wyższego rzędu
Wkłady od diagramów pętlowych mają postać +" dk / k i nie ma ograniczenia na
maksymalny pęd k wirtualnego elektronu w pętli ( dla dostatecznie krótkich
fluktuacji, zgodnie z zasadą nieoznaczoności ) w obliczeniach pojawiają się
logarytmiczne rozbieżności
goły ładunek e0 (masa m0) zawsze występują z bezwymiarowym czynnikiem ( I )
zawierającym rozbieżną całkę
Procedura renormalizacji uwalnia od problemu nieskończoności :
przedefiniowanie masy i ładunku elektronu poprzez przyrównanie do fizycznych
wartości mierzonych doświadczalnie
mmeasur = I � m0 , emeasur = I � e0
22
Moment magnetyczny elektronu
Równanie Diraca - relatywistyczny opis elektronu jako punktowej cząstki
o spinie s='
/2 i momencie magnetycznym � = ges / 2mc, g  czynnik gyromagnetyczny
Teoria Diraca przewiduje g = 2 � = e'
/ 2mc = �B ( magneton Bohra ).
QED : oddziaływanie elektronu z fluktuacjami próżni g `" 2
Moment magnetyczny elektronu wyznaczamy badając jego oddziaływanie
z zewnętrznym polem magnetycznym
Wiodący
rząd (LO)
Teoria
Diraca
Poprawki radiacyjne wyższych rzędów
reprezentacja szeregu perturbacyjnego
względem potęg ą
23
Moment magnetyczny elektronu
QED : obliczenia teoretyczne momentu magnetycznego elektronu mają bardzo
dużą dokładność, rzędu 10�9, i uwzględniają poprawki wyższych rzędów
łącznie z wkładami od ciężkich cząstek ( bozonów pośredniczących, bozonu Higgsa )
cząstek supersymetrycznych (  nowa fizyka  )&
wynik teoretyczny
wartość doświadczalna
Większa niedokładność przewidywań teoretycznych niż eksperymentalnych
wynika z niepewności pomiaru wartości ą
24
Efektywna stała sprzężenia w QED
Konsekwencją procedury renormalizacji w QED jest ( logarytmiczna ) zależność
stałej sprzężenia ą od skali energii charakterystycznej dla danego pomiaru
Renormalizacja biegnąca stała sprzężenia
Miarą siły oddziaływania elektromagnetycznego w QED jest bezwymiarowa stała
sprzężenia ą związana z ładunkiem elektrycznym elektronu : ą = e2 / 4Ą
Foton jest sondą  mierzącą
ładunek gołego elektronu
ł"
Efekty polaryzacji próżni związane z kreacją krótkożyjacych wirtualnych par e+e�
prowadzą do ekranowania gołego ładunku elektronu.
25
Efektywna stała sprzężenia w QED
A
adunek gołego elektronu jest ekranowany
przez dodatnie ładunki pozytonów
z wirtualnych par e+e�
Q�
im krótsza długość fali sondującego fotonu
Q� + 4q+ (  ~ 1 / p ) tym na mniejszych odległosciach
("p"x ~ '
) jest próbkowany goły ładunek
elektronu, a tym samym foton  widzi
Q� + 8q+
efektywnie większy ładunku elektronu
( wkład od polaryzacji próżni jest mniejszy )
na dużych odległościach, czyli dla małych
pędów, efekty ekranowania powodują, że
efektywny ładunek jest mniejszy od gołego
ładunku
A
adunek i stała sprzężenia ą rosną wraz z energią
( biegnąca stała sprzężenia )
26
Biegnąca stała sprzężenia QED
Elektromagnetyczna efektywna stała sprzężenia zależy od przekazu pędu ( q )
Równanie grupy renormalizacyjnej ą możemy przedstawić w postaci rozwinięcia
w szereg w potęgach ln(q2 / �2) ; � - referencyjna energia ( skala renormalizacji )
,
Współczynnik �0 wyraża się przez liczbę rodzajów fermionów ( nf ) i samooddziałujących
bozonów ( nb ) występujacych w diagramach pętlowych dających wkład do polaryzacji
próżni
QED : nb = 0 ( bozony pośredniczace, fotony, nie oddziaływują ze sobą brak pętli
z fotonami ), przy dużych energiach liczba rodzin fermionów nf = 3 �0 = 1 / Ą
27
Biegnąca stała sprzężenia QED
Elektromagnetyczna stała sprzężenia rośnie b. powoli ( logarytmicznie ) wraz
przekazem pędu
małe 
duże 
słabsze ekranowanie
ł"
ekranowanie
ładunku
ładunku
QED opisuje jak stała sprzężenia ą zmienia
energia fotonu
się z przekazem pędu, ale jej wartość
absolutna jest wyznaczona z eksperymentu
W granicy q2 0 ą odpowiada
Efektywna stała sprzężenia ą przy
pomiarowi ładunku elektrycznego
przy skali odp. masie bozonu Z0
na dużych odległosciach
jest odpowiednio większa
( pomiar ładunku elektrycznego na
małych odległosciach )
28