Wykład 6. 15 listopada 2010
X X
Y = {f : X Y }, X, Y skończone i |X| = m, |Y | = n to Y | = nm, gdzie
|X| = card X = X oznacza ilość elementów zbioru X.

X = = {a : - };
a(n) =: an - n-ty wyraz ciągu;
a = (an) = (an)n" = (an)n 1 - oznaczenie ciągu
a " X - a ciągiem o wyrazach wymiernych.
k : - , kn < kn+1
Przykłady: kn = 2n - 1, kn = 2n, kn = n + l - 1, kn = nl, kn = ln, l " , l 2.
kn = n + l - 1, k( ) = {n " : n l} =: ;
l
kn = 2n, k( ) =: 2 = Par
a ć% k = (ak ) - podciąg ciągu (an)
n

lim an = g " �! an - g "
n"

"� " , � > 0 "N (n N �! (|an - g| < � �! g� < g < g + �))

"L > 0 "� " , � > 0 "N (n N �! |an - g| < L�)
an - g - 0.
Twierdzenie. Jeżeli an g1, an g2 to g1 = g2.
|g1-g2|
Dowód. Gdyby g1 = g2 to przy � = i n N = max(N1, N2) otrzymamy

2
|g1-g2| = |g1-an+an-g2| |g1-an|+|an-g2| < �+� = 2� = |g1-g2| - sprzeczność.

Q := {(an) " X : "g " an - g}.

(an) ograniczony z dołu �! "M1 " "n an M1

(an) ograniczony z góry �! "M2 " "n an M2
(an) " B ciąg ograniczony �! (an) ograniczony z dołu i z góry

"M " "n |an| M
Lemat. an - g �! (an) " B czyli L �" B.
Dowód. Niech � = 1. Istnieje N takie, że dla n N
g - 1 < an < g + 1 �! -|g| - 1 an |g| + 1 �! |an| < |g| + 1.
Jeśli zdefiniujemy M = max(|a1|, . . . , |aN-1|, |g| + 1) to będziemy mieli |an| M.
28
Twierdzenie.
an + bn - g + h

an - g
�! an - bn - g - h �! "ą, � " ąan + �bn - ąg + �h.
bn - h
an � bn - g � h
Dowód. Niech "n |an| M1, |bn| M2. Ustalmy � > 0. Istnieją wskaz
niki N1, N2
takie, że |an - g| < � dla n N1 i |bn - h| < � dla n N2.
Stąd dla n N = max(N1, N2) mamy oszacowania
|ąan + �bn - (ąg + �h)| = |ą(an - g) + �(bn - h)
|ą||an - g| + |�||bn - h| < |ą|� + |�||� = (|ą| + |�|)� = L1�
|anbn - gh| = |(an - g)bn + g(bn - h)| |an - g||bn| + |g||bn - h|
< M2� + |g|� = (M2 + |g|)� = L2�.
h
Lemat. Jeżeli bn - h > 0 to istnieje N0 takie, że dla n N0 bn > .
2
h h
Dowód. Niech � = i N0 będzie dobrane do �. Dla n N0 mamy |bn| < skąd
2 2
h h h
h - < bn < h + , w szczególności bn > .
2 2 2
|h|
Wniosek. Jeżeli bn - |h| = 0 to istnieje N0 takie, że dla n N0 bn > .

2
Dowód. Jeżeli h > 0 to mamy sytuację z lematu. dla h < 0 stosujemy lemat do ciągu
|h|
-h
cn = -bn, skąd otrzymamy dla n N0 |bn| = -cn > = .
2 2
an g
Twierdzenie Jeżeli an - g, bn - h = 0 to - .

bn h
Dowód. Ustalmy � > 0 i dobierzmy N = max(N0, n1, N2) aby dla n N równocześnie
|h|
zachodziły warunki |bn| > , |an - g| < �, |bn - h| < �. Wtedy
2
an g anh - bng
- =
bn h bnh
(an - g)h + g(h - bn) |an - g||h| + |g||h - bn|
bnh |bn||h|
|g| + |h|
2 � = L�.
|h|2
C = {(an) " X : (an) - ciąg Cauchy ego (ciąg podstawowy)}.
(an) " X jest ciągiem Cauchy ego jeżeli
"� > 0"N (n, m N �! |an - am| < �
"L > 0 "� > 0"N (n, m N �! |an - am| < L�
29
"L > 0 "� > 0"N (m > n N �! |an - am| < L�
"L > 0 "� > 0"N "n N, k 1 |an+k - an| < L�.
Twierdzenie. Każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy ego, ciąg Cauchy ego jest
ciągiem ograniczonym, czyli Q �" C �" B.
Dowód. Jeżeli (an) " Q to dla � > 0 istnieje N, takie, że dla n, m N mamy |an -g| <
�, |am - g| < �. Stąd
|an - am| = |an - g + g - am| |an - g| + |g - am| < 2�.
Jeżeli natomiast (an) " C to przy n N dla � = 1 mamy
|an| = |an - aN + aN | |an - aN| + |aN| 1 + |aN|
skąd już dla wszystkich n
|an| 1 + max(|a1|, . . . , |aN|) = M.
n
1 1 1 1
Przykład. an = + + � � � + = .
0! 1! n! k!
k=0
1 1
|an+k - an| = + � � � +
(n + 1)! (n + k)!
1 1 1 1
= + + � � � +
n! n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2) � � � � � (n + k)
k-1
1 1 1 1 1 1 1 1
< + + � � � + = 1 + + � � � +
n! n + 1 (n + 1)2 (n + 1)k) n! n + 1 n + 1 n + 1
k
1
1 -
1 1 1 1 1
n+1
= = (1)
1 1
n! n + 1 1 - n! (n + 1)(1 - ) nn!
n+1 n+1
1 1
< �
n N
1
gdy N .
�

k
Przypuśćmy, że an - " , k, l " . Możemy założyć, że l 2 i niech s "
l
1 1
będzie takie, że + < 1.
s l
1
Niech � = , dobieramy odpowiednie N i przy n N, n l będziemy mieli,
sl!
korzystając z (1)
1 1 1 k 1 1 1 k
+ + � � � + - = + + � � � + - + al - an
0! 1! l! l 0! 1! n! l
1 1 1 1 1 1
< + = + <
sl! ll! s l l! l!
30
1 1 1
x = l! + + � � � + - (l - 1)!k < 1 �! x = 0 bo x "
0! 1! l!
k 2k k
i al = co jest niemożliwe bo zamieniając l na 2l otrzymamy a2l = = = al czyli
l 2l l
1 1 1
+ + � � � + = 0.
(l+1)! (l+2)! (2l)!
Wniosek. Q jest właściwym podzbiorem C.
Niech C0 = {(an) " C : an - 0}.
Definiujemy relację R �" C � C następująco
(an)R(bn) �! (an) - (bn) = (an - bn) " C0.
Z własności ciągów zbieżnych wynikają łatwo własności tej relacji
Propozycja. Relacja R jest relacją równoważności.
Definicja.
= C/R = {[(an)] : (an) " C}.
Własności


1) Odwzorowanie I : g - [(g)] " jest zanurzeniem, gdzie [(g)] oznacza
klasę ciągu stałego o wyrazie g. Będziemy pisać g zamiast [(g)].
D. Jeżeli [(g)] = [(h)] to g - h - 0 �! g = h.
2) Działania.
2.1) [(an)] + [(bn)] := [(an + bn)], [(an)] - [(bn)] := [(an - bn)];
2.2) [(an)] � [(bn)] := [(an � bn)];
2.3) [(bn)]-1 = 1 : [(bn)] := [(1 : bn)], gdy [(bn)] = 0, gdzie bn = 1 dla bn = 0 i bn = bn

jeśli bn = 0.

2.4) [(bn)] = 0 to [(an)] : [(bn)] := [(an : bn)] = [(an)] � [(bn)]-1.

3) Nierówności.

df
[(an)] < [(bn)] �!�! "h " "N "n N bn - an h
+
Relacja jest dobrze określona (nie zależy od wyboru reprezentanta) bo jeśli b n -
bn - 0, a n - an - 0 to przy odpowiednio dobranym N takim aby zachodziły
h h
równocześnie, przy n N, nierówności bn - an h, |an - a n| < , |bn - b n| < to
3 3
h h h
b n - a n = b n - bn + bn - an + an - a n h - - = .
3 3 3
31
df
x y �!�! x = y lub x < y; x < y �! x y i x = y.

Własności.

3.1) "x " x x;

3.2) "x, y, z " x y i y z �! x z;

3.3) "x, y " x y i y x �! x = y.

3.4) "x, y " x y (" y x
32