1 II 1999 8 II 1999
1. Rozwiązać równanie w dziedzinie liczb zespolonych 1. Dane są macierze
1 3 7 4 8 7
(z4 + 81)(z2 - 3x + 2) = 0 Ą#ń# Ą# ń#
ó#2 Ą# ó#3
A = -4 5 B = 5 2Ą#
ó#Ą# ó# Ą#
ó#Ą#
2. Zbadać warunki rozwiązalnosci ukladu równań
Ł#2 1 -2Ś# ó# 2 9Ś#
Ł#1 Ą#
3x
ż# - 2y + z = b Obliczyć wyznacznik macierzy C = A �" B-1
�#5x - 8y + 9z = 3
�#
�#2x + y + az = -1
2. W przestrzeni 3 znalez
ć wektor w taki że
�#
a,b - parametry
w Ą" v = [1, 2,3], w Ą" u = [1,0, -2] oraz w = 3
3. Zbadać przebieg zmiennosci funkcji i narysować
3. Policz z definicji pochodną fukncji w punkcie x0
jej wykres f (x) = x - 2arctgx
f (x) = x3 - x
4. Oblicz calki
dx
4. Obliczyć calkę
dx 2x2 - x - 5
+"
, dx
(1+ x2 )2
+"+"
4cos x + 3sin xx2 - 2x
5. Obliczyć dlugosć luku krzywej
1
x -1
5. Obliczyć calke o ile istnieje dx 1+ x 1
+"
3
g(x) = 2ln - 4 x , 0 d" x d"
x5
-1
2
1- x
9 II 2000
1 II 2000
4
1. Obliczyć 3 - 4i
1. Oblicz 2 - 2 3i
2. Na elipsie 9x2 + 25y2 = 400 znalez
ć punkty, dla których
2. Wektor a = (2,-2,3) przedstawić w postaci sumy
odleglosć od ogniskaF2 (c,0) c>0 jest cztery razy większa od
dwóch wektorów, z którychjeden jest równolegly,
odleglosci od drugiego ogniska
a drugi prostopadly do wektora b = (-1,0, 2)
3. Dane są macierze. Oblicz wyznacznik det(A-1 �" B)
3. Rozwiązać uklad równań w zależnosci od parametrów
2
Ą# -1 1 1 2 3
ń# Ą#ń#
a i b
ó#1 ó#2
A = 3 1Ą# B = 1 -1Ą#
ó#Ą# ó#Ą#
3x
ż# - 2y + z = b
ó#Ą#
�#5x - 8y + 9z = 3
Ł#2 1 2Ś# ó# 6 3 Ą#
Ł#4 Ś#
�#
�#2x + y + az = -1
�#
4. Policzyć z definicji f '(x0 )
f (x) = ctg 4x
4. Oblicz z definicji pochodną funkcji w punkcie x0
3
f (x) = x2 +1
x2 +1
5. Policzyć calkę dx
+"
x2 + 2x -1
cos x
5. Oblicz calkę dx
+"
sin3 x - cos3 x
31 I 2002 7 II 2002
6
1. Wykazać, że A �" B �! A \ B = "
( ) ( )
1. Obliczyć -64
2. Rozwiązać uklad równań w zależnosci od parametrów a i b
2. Obliczyć det(A�" B-1)
3x
ż# - 2y + z = b
1 3 2 1 2 2
Ą#ń# Ą# ń#
�#5x - 8y + 9z = 3
ó#2 ó#
�#
A = -1 3Ą# B = 1 -3Ą#
ó#Ą# ó#-2 Ą#
�#2x + y + az = -1
ó# -5 4Ś# Ł# 3 -4 2 �#
Ł#3 Ą# ó# Ą#
Ś#
3. Na elipsie 9x2 + 25y2 = 225 znalez
ć punkty, dla których
3. Wektor a = (2, -2,3) przedstawić w postaci sumy
odleglosci od ogniska F2 (c,0) (c>0) są cztery razy większe
dwóch wektorów, z których jeden jest równolegly
od odleglosci od drugiego ogniska
a drugi prostopadly do wektora b = (1, 2,0)
4. Obliczyć z definicji pochodną
n
4. Obliczyć granicę 3n + 5n + 7n
lim
n" f (x) = ctg x2 +1 w x = x0
5. Obliczyć calki
5. Obliczyć calki
dx
3x - 2
a)
a) dx
+"
+"
3 + 2cos x
x2 + x +1
dx
2x2
b)
+" b) dx
+"
x2 + 5x + 7
(1+ x2 )2
29 I 2004
29 I 2003
1. Obliczyć det C, jeżeli C = A �" B-1
1. Rozwiązać uklad równań w zależnosci od
0 5 0 2 1 3 4 5
Ą#ń# Ą#ń#
parametru a "
ó#8 3 4 5Ą# ó#3 0 0 2Ą#
ó#Ą# ó#Ą#
3x
ż# - 2y + z = 0 A = B =
ó#Ą# ó#Ą#
7 2 1 4 5 1 2 7
�#ax -14y +15z = 0
ó#Ą# ó#Ą#
�#
Ł#0 4 0 1Ś# Ł#2 0 0 3Ś#
�#x - 2y - 3z = 0
�#
2. Znalez
ć równanie stycznej i normalnej do paraboli y2 = 8x
2. Wektor u = (3, -2, -1) przedstawić w postaci sumy
w punkcie o rzędnej y0 = 2 oraz znalez
ć pole trójkąta
utworzonego przez tą styczną, normalną i os OX
dwóch wektorów a i b takich, że a Ą" v i b v.
v = (1,1,1)
3. Oblicz pochodną funkcji z definicji w punkcie x = x0
f (x) = tg x2 +1
3. Na pólkuli o promieniu R>0 opisać stożek
o najmniejszej objętosci
4. Oblicz calkę -3x2 + 2x +1dx
+"
2 + sin x
4. Obliczyć calkę dx
+"
5. Oblicz dlugosć luku krzywej zadanej równaniem:
sin x(1+ cos x)
1
x(t) = 2(cost + ln tg t)
2
"
(2n)!
y(t) = 2sin t
5. Zbadać zbieżnosć szeregu
"
n2n + 2n
n=1
od punktu A(0,2) do punktu B(x0 , y0 )
30 I 2004
9 II 2004
1. Rozwiązać uklad równań
1. Obliczyć
x
ż# - 2y - z = 1 Ą Ą
(1+ cos + i sin )6
�#2x + y + az = 2
30 3
�#
�#
�#bx + 2y - z = 0
�#3x - 2y + z = 1
2. Wektor a = (1,1,1) przedstawić w postaci sumy
�#
dwóch wektorów, z których jeden jest równolegly
a,b "
a drugi prosotopadly do b = (1, -2,3)
2. Znalez
ć równanie prostej w 3 przechodzącej
3. Obliczyć drugą pochodną funkcji
przez punkt P (2,3,1) oraz równoleglej do plaszczyzn:
H1 : 6x - y + z - 2 = 0
1 x2 + 2x +1 1 2x
f (x) = ln - arctg
H2 : x + 3y - 2z +1 = 0 x2 -1
4 2 x2 - 2x +1 2 2
dx
3. Obliczyć drugą pochodną funkcji:
4. Obliczyć calkę
+"
tg3 �" cos2 x
1 x2 + 2x +1 1 2x
f (x) = ln - arctg
x2 -1
4 2 x2 - 2x +1 2 2
3
dx
5. Obliczyć calkę
+"
x2 - 4x + 3
dx
0
4. Obliczyć calkę
+"
sin x - 2cos x +1
3
dx
5. Obliczyć calkę
+"
x2 - 4x + 3
0
I termin w 2006
31 I 2008 (2-gi ciąg)
1. Wyznaczyć pierwiastki zespolone równania
1. Rozwiązać równanie w dziedzinie zespolonej
(x2 - 3 - 4i)(x3 +1) = 0
(x2 -1+ 4i)(x4 + 64) = 0
2. Rozwiązać uklad równań
2. Znalez
ć równanie prostej na której leży cięciwa hiperboli
2x + y + z = 2
ż#
o równaniu 4x4 - 9y2 = 36o srodku w punkcie S(5;1)
�#x + 3y + z = 5
�#
�#x + y + 5z = -7
�#
3. Obliczyć pochodną z definicji w x = x0
�#2x + 3y - 3z = 14
�#
f (x) = tg2 x
3. Obliczyć pochodną funkcji w x = x0
4. Obliczyć calkę
f (x) = tg x +1
dx
+"
5 + 4cos x
4. Obliczyć
xe- x2 (x2 + 3)dx
5. Obliczyć dlugosć luku krzywej
+"
1+ x
k : y = 2ln( ) - 4 x
5 Obliczyć dlukosć luku krzywej t "[0,Ą ]
1- x
1
x(t) = (t2 - 2)sin t + 2t cost
x "[0, ]
4
y(t) = (x - 2t2 )cost + 2t sin t