1.ZAGADNIENIA TEORETYCZNE
Pole magnetyczne charakteryzowane jest wielkością wektorową B - zwaną indukcją magnetyczną.
Pojęcie indukcji magnetycznej wprowadza się na podstawie związku
B = μμ0H, gdzie μ ( wielkość bezwymiarowa ) podaje względną przenikalność magnetyczną danego ciała, w którym pole magnetyczne to H; jednostka ta jest pochodną innych jednostek magnetycznych.
Współcześnie wprowadzamy indukcję magnetyczną jako pierwszy wektor magnetyczny, tzn. inne jednostki magnetyczne są pochodną tej wielkości.
Pojęcie indukcji magnetycznej wprowadzamy na podstawie wzoru
F = q(v * B), a więc wartości siły F wywieranej na ładunek q poruszający się z prędkością v przez indukcję magnetyczną B.
Legalna jednostka indukcji magnetycznej B w układzie jednostek SI (T -tesla) jest oparta na jeszcze innym wzorze, związanym ze zjawiskiem przepływu strumienia wektora indukcji magnetycznej przez powierzchnię przekroju s: φ=Bs.
Za jednostkę indukcji pola magnetycznego przyjmujemy indukcję magnetyczną pola magnetycznego jednorodnego, przy której na przekrój poprzeczny jednego metra kwadratowego przypada strumień magnetyczny jednego webera.
Efekt Halla
Załóżmy, że nośnikami prądu są elektrony ( założenie słuszne dla metali i półprzewodników typu n ). Jeżeli do punktów C i D przyłożymy napięcie, to w razie braku pola magnetycznego przez próbkę będzie płynąć prąd o natężeniu I. Wytworzone w próbce pole elektryczne EX będzie skierowane zgodnie z kierunkiem płynącego prądu, natomiast elektrony poruszać się będą w kierunku przeciwnym polu,z prędkością vX .
Gęstość prądu płynącego przez płytkę jest określona wzorem : j = envX. Natężenie prądu I można określić jako iloczyn gęstości prądu j i powierzchni s prostopadłej do kierunku prądu , zatem : I = envXad .
W obecności pola magnetycznego o indukcji B, na elektrony poruszające się w tym polu z prędkością vX, działa siła Lorentza : FL = -e ( vX * B ) .
Tak więc każdy elektron w płytce, poruszający się z prędkością vX , zostaje odchylony od swego początkowego kierunku ruchu zgodnie z powyższym wzorem. Wskutek zmiany torów elektrony gromadzą się na jednej krawędzi płytki, natomiast na drugiej wytwarza się niedobór elektronów. Dzięki temu powstaje dodatkowe pole elektryczne o wartości: EY = UH/a .
Proces gromadzenia się ładunków trwa tak długo, aż powstałe poprzeczne pole elektryczne EY , działające na elektrony siłą: FY = -eEY ,zrównoważy siłę Lorentza. Dla warunków równowagi możemy napisać: FY = FL .
Następnie korzystając z powyższych zależności możemy napisać: UH= γIB , gdzie: γ=1/(e.n.d) , n-koncentracja elektronów , 1/en -stała Halla;
Mierząc natężenie prądu I płynącego przez płytkę, napięcie Halla UH oraz znając współczynnik γ , można wyznaczyć indukcję magnetyczną B.
Urządzenie służące do wyznaczania indukcji magnetycznej nazywa się hallotronem , współczynnik γ zaś nazywamy czułością hallotronu.
Fluksometr - galwanometr pełzny
Jedną z metod pomiaru pola magnetycznego jest metoda , w której w badanym polu umieszczamy cewkę pomiarową Cs,zwaną sondą bądź czujnikiem,połączoną z galwanometrem specjalnego typu (np.fluksometrem). W cewce pomiarowej pod wpływem zmiany strumienia magnetycznego powstaje impuls prądu indukcyjnego, powodujący wychylenie galwanometru. Owo wychylenie proporcjonalne jest do ładunku, który przepłynął przez uzwojenie cewki (ramki) galwanometru.
2. POMIARY
(Pomiar indukcji magnetycznej za pomocą fluskometru)
Schemat układu pomiarowego
Zastosowana przez nas metoda pomiarowa polega na wykorzystaniu fluskometru do pomiaru strumienia magnetycznego. Znając wartość tego strumienia i pole powierzchni przez które przepływa, bez trudu będziemy mogli wyznaczyć indukcję magnetyczną B ( φm = ∫Bds ). Problem sprowadza się zatem do sposobu pomiaru strumienia magnetycznego φ.
Jak wyżej wspomniałam, pomiar strumienia magnetycznego realizowany jest przez przyrząd zwany fluskometrem ( galwanometrem bez momentu zwrotnego),a wartość indukcji magnetycznej określona jest wzorem:
B = φ/s*n
gdzie:
φ- wartość strumienia magnetycznego odczytana na fluskometrze (jest to wartość maksymalna jaką obserwujemy zaraz po włączeniu zasilania);
s- pole powierzchni przez, którą przepływa strumień magnetyczny φ ( wartość ta podana jest w instrukcji do ćwiczenia s = 4.70*0.04. 10-4 m2 );
n- liczba zwojów cewki (sondy) podana w instrukcji do ćwiczenia n = 40*0.5;
błąd dB
Błąd z jakim wyznaczamy indukcję magnetyczną obliczamy metodą różniczki logarytmicznej:
dB = ( dφ/φ + dn/n + ds/s ).B
Błąd dφ,dI ustalamy na podstawie klasy przyrządu. W ćwiczeniu dysponowaliśmy przyrządami kl. 0,5. Błędy ustalone na tej podstawie wynoszą pół elementarnej działki i znajdują się w tabeli wyników.
I [A]
|
dI [A] |
φ 10-3 [Wb] |
dφ 10-3 [Wb] |
B 103 [T] |
dB 103 [T] |
0.50 |
0.05 |
1.25 |
0.05 |
66,5 |
4,06 |
1.00 |
0.05 |
2.40 |
0.05 |
127,7 |
5,34 |
1.50 |
0.05 |
3.50 |
0.05 |
186,2 |
6,57 |
2.00 |
0.05 |
4.70 |
0.05 |
250,0 |
7,91 |
2.50 |
0.05 |
5.70 |
0.05 |
303,2 |
9,03 |
3.00 |
0.05 |
6.75 |
0.05 |
359,0 |
10,20 |
3.50 |
0.05 |
7.35 |
0.05 |
391,0 |
10,87 |
4.00 |
0.05 |
8.05 |
0.05 |
428,2 |
11,66 |
4.00 |
0.05 |
8.00 |
0.05 |
425,5 |
11,60 |
3.50 |
0.05 |
7.35 |
0.05 |
391,0 |
10,87 |
3.00 |
0.05 |
6.55 |
0.05 |
348,4 |
9,98 |
2.50 |
0.05 |
5.65 |
0.05 |
300,5 |
8,97 |
2.00 |
0.05 |
4.75 |
0.05 |
252,7 |
7,97 |
1.50 |
0.05 |
3.55 |
0.05 |
188,8 |
6,63 |
1.00 |
0.05 |
2.40 |
0.05 |
127,7 |
5,34 |
0.50 |
0.05 |
1.30 |
0.05 |
69,1 |
4,11 |
Wartości średnie:
-BŚR =263.5T
-dBŚR= 8.20T
(wykres zależności B od I znajduje się na osobnej kartce milimetrowej - na wykresie znajdują się uśrednione wartości B i I dla pomiarów wykonanych w dwie strony)
(Badanie efektu Halla)
schemat układu pomiarowego
pomiary przy ustalonej indukcji magnetycznej B = 0.5 [T] (ε = 2%)
I 10-3[A]
|
UH [V] |
γ [V/A.T] |
dγ [V/A.T] |
1.0 |
0.0530 |
106,0 |
4,25 |
1.5 |
0.0814 |
108,5 |
4,34 |
2.0 |
0.1117 |
111,7 |
4,47 |
2.5 |
0.1363 |
109,0 |
4,36 |
3.0 |
0.1572 |
104,8 |
4,19 |
3.5 |
0.1819 |
103,9 |
4,16 |
4.0 |
0.2016 |
100,8 |
4,03 |
4.5 |
0.2169 |
96,4 |
3,86 |
5.0 |
0.2329 |
93,2 |
3,73 |
I- natężenie prądu płynącego przez płytkę hallotronu;
UH- obserwowane napięcie Halla;
γ- tzw. czułość hallotronu: γ = 1/(e.n.d) ( w ćwiczeniu wyznaczamy czułość hallotronu γ korzystając ze wzoru: γ = UH/(I *B) [γ] = V/(A.T) )
błędy:
dI- błąd ten ustalamy na podstawie klasy przyrządu dI = 0.05 . 10-3 [A]; dla wszystkich pomiarów natężenia I jest on taki sam, ponieważ poruszaliśmy się po jednym zakresie przyrządu.
dUH- według instrukcji do ćwiczenia przyjmujemy: dUH = (0.05%)UH ; na tej podstawie błąd dUH < 1.3*10-4 V we wszystkich pomiarach.
dγ- błąd stałej hallotronu wyznaczamy metodą różniczki logarytmicznej:
dγ = (dUH/UH + dI/I + dB/B).γ
Biorąc pod uwagę wielkości wkładów do błędu dγ każdej z mierzonych wielkości widzimy, że wkład do błędu dγ wielkości UH jest o dwa rzędy wielkości mniejszy od pozostałych dlatego w ostateczności :
dγ = (dI/I + dB/B).γ
gdzie: dB/B = 2% -przyjęte na podstawie instrukcji do ćwiczenia;
(Wykres zależności napięcia Halla (UH) od natężenia prądu sterującego hallotron znajduje się na osobnej kartce milimetrowej.)
pomiary przy ustalonym natężeniu prądu płynącego w płytce I = (5.00*0.05). 10-3 [A]
B [T]
|
UH [V] |
γ [V/A.T] |
dγ [V/A.T] |
0.034 |
0.0179 |
105,3 |
3,16 |
0.100 |
0.0511 |
102,2 |
3,07 |
0.170 |
0.0856 |
100,7 |
3,02 |
0.246 |
0.1225 |
99,6 |
2,99 |
0.300 |
0.1559 |
103,9 |
3,12 |
0.370 |
0.1929 |
104,3 |
3,13 |
0.400 |
0.2075 |
103,8 |
3,11 |
0.470 |
0.2409 |
102,5 |
3,08 |
0.500 |
0.2581 |
103,2 |
3,10 |
-Objaśnienia wielkości występujących w tabelce i błędów tak jak wyżej.
( Wykres zależności napięcia Halla (UH) od indukcji magnetycznej B znajduje się na osobnej kartce milimetrowej.)
Na podstawie otrzymanych wykresów możemy stwierdzić, że napięcie Halla (UH) jest wprost proporcjonalne do indukcji magnetycznej B i natężenia prądu I .
Stałą hallotronu γ możemy zinterpretować jako współczynnik tej proporcjalności i ustalić jego średnią wartość.
γ [V/A.T]
|
dγ [V/A.T]
|
106,0 |
4,25 |
108,5 |
4,34 |
111,7 |
4,47 |
109,0 |
4,36 |
104,8 |
4,19 |
103,9 |
4,16 |
100,8 |
4,03 |
96,4 |
3,86 |
93,2 |
3,73 |
105,3 |
3,16 |
102,2 |
3,07 |
100,7 |
3,02 |
99,6 |
2,99 |
103,9 |
3,12 |
104,3 |
3,13 |
103,8 |
3,11 |
102,5 |
3,08 |
103,2 |
3,10 |
103.3 |
3,62 |
Zatem średnia wartość stałej hallotronu γ = 103,3* 3,62[V/A.T]
koncentracja elektronów swobodnych
Koncentrację elektronów swobodnych w płytce wyznaczamy korzystając ze wzoru:
n = 1/(e.γ.d)
(na podstawie instrukcji przyjmujemy: e = 1.6 . 10-19 C ;
d = 10-4 m (grubość płytki);
εd = 5% );
[n] = 1/(C.(V/A.T).m) = 1/(A.s.(V/(A.V/s.m2).m) = 1/m3
n = 1/( 1.6.10-19 . 103.3 . 10-4) = 6,05. 1020 [1/m3]
Błąd wyznaczamy korzystając z metody różniczki logarytmicznej :
dn = (de/e + dγ/γ + dd/d).n
ale wartość elementarnego ładunku e możemy odczytać z taką dokładnością,żeostatecznie:
dn = (dγ/γ + dd/d).n
dn = (0.04 + 0.05).6.05 . 1020 = 0.54 . 1020 [1/m3]
Otrzymaliśmy: n =6.05*0.54 . 1020
3. WNIOSKI I UWAGI
(Pomiar indukcji magnetycznej za pomocą fluskometru)
Na podstawie otrzymanego wykresu B = f(I) możemy powiedzieć, że indukcja magnetyczna na badanym przedziale zmian prądu płynącego w uzwojeniu cewki zależy wprost proporcjonalnie od tego prądu.
(Badanie efektu Hala)
Dyskusja doboru przyrządów i zakresów pomiarowych:
1) Woltomierz mierzący napięcie Hala daje możliwość odczytania napięcia z dokładnością rzędu dziesiątych części procenta.
2) Amperomierz mierzący natężenie prądu płynącego przez uzwojenie cewki plus charakterystyka B = f(I) dla tej cewki daje możliwość ustalenia indukcji magnetycznej z dokładnością do 2%.
3) Amperomierz mierzący natężenie prądu płynącego przez płytkę halotronu daje możliwość odczytania natężenia I z dokładnością rzędu kilku procent.
Na podstawie przytoczonych powyżej danych możemy powiedzieć, że przy tak dobranych przyrządach i zakresach pomiarowych tych przyrządów największy wkład do błędu γ ma pomiar natężenia prądu I płynącego przez płytkę halotronu i pomiar indukcji magnetycznej B. Te dwa pomiary decydują, że wyznaczana przez nas stała γ ma błąd względny rzędu εγ = 4%
Interpretacja wyników
Podczas ćwiczenia mieliśmy możliwość zaobserwowania efektu Hala i sprawdzenia teorii, która tłumaczy to zjawisko. W oparciu o tę teorię otrzymaliśmy, że powstałe napięcie Hala wyraża się wzorem: UH = γ.I.B,gdzie γ- tzw. stała hallotronu.
Wartość współczynnika γ=1/(e.n.d) zależy od wartości ładunku e, koncentracji elektronów n, grubości płytki d, czyli trzech wielkości, które się nie zmieniają podczas pomiarów. Na tej postawie twierdzę, że γ powinno być stałe dla całego zakresu zmian I.B, po którym się poruszamy w doświadczeniu. Otrzymane wyniki potwierdzają te przewidywania: γ jest takie samo w granicach błędu z jakim je wyznaczyliśmy dla wszystkich pomiarów,co jest dowodem słuszności teorii opisującej efekt Hala.
Wartość współczynnika γ można także zinterpretować jako tangens nachylenia otrzymanych krzywych ( przy czym argumentem będzie już iloczyn natężenia prądu i indukcji magnetycznej I.B, czyli będziemy mieli funkcje
UH = f(I.B) ).
Wyznaczona koncentracja elektronów swobodnych n =(6.05*0.54).1020 [1/m3] daje możliwość ustalenia właściwości elektrycznych metalu,z którego wykonana jest płytka hallotronu.
I tak dla miedzi i srebra n jest rzędu 1028 elektronów na metr sześcienny. Porównując koncentrację elektronów swobodnych w naszej płytce hallotronu z koncentracją elektronów swobodnych w miedzi widać, że różnią się między sobą o osiem rzędów wielkości. Na tej podstawie można stwierdzić, że właściwości elektryczne np. przewodność naszej płytki- będzie gorsza niż płytki miedzianej.
Magdalena Poterek
PPT II r. IB
SPRAWOZDANIE
Z
ĆWICZEŃ
56 ORAZ 57
BADANIE EFEKTU HALLA
POMIAR INDUKCJI MAGNETYCZNEJ
ZA POMOCA FLUKSOMETRU