7.1. Składowe symetryczne

W przypadku zwarć symetrycznych i ogólnie symetrycznego obciążenia występują w układzie trójfazowym A, B, C następujące równości

I_A + I_B + I_C = 0

U_A + U_B + U_C = 0

W przypadku zwarcia niesymetrycznego, np. zwarcie przewodu fazowego z ziemią lub ogólnie niesymetrycznego obciążenia, suma zespolonych prądów fazowych jest różna od zera i ma wartość prądu zwarcia, rys. 7.1

I_A + I_B + I_C = I_zk

Rys. 7.1. Zwarcie 1-fazowe

Ze względu na łatwość analizowania stanów symetrycznych dąży się do przekształcenia zwarcia niesymetrycznego w kilka stanów symetrycznych. Można to uczynić na wiele sposobów. Najprostszym sposobem jest przekształcenie układu współrzędnych fazowych A, B, C w nowy układ współrzędnych, nazywany układem składowych symetrycznych 0, 1, 2.

Składowe te noszą nazwy:

• składowa zerowa (0),

• składowa zgodna (1),

• składowa przeciwna (2).

W przekształceniu jest stosowany zespolony operator obrotu

a = e = cos(120^o) + j sin(120^o) = − 0,5 + j )

a² = (e
)² = cos(240^o) + jsin(240^o) = cos(−120^o) + jsin(−120^o) = − 0,5 − j

1 + a + a² = 0

a³ = (e
)³ = cos(360^o) + jsin(360^o) = 1 + j0 = 1

a* = a² a⁴ = a (a²)* = a

Macierz przekształcenia układu współrzędnych fazowych A, B, C na składowe symetryczne 0, 1, 2 ma następującą postać

Wzory transformacji prądów oraz napięć z układu A, B, C do układu 0, 1, 2 są następujące

I₀₁₂ = S I_ABC

U₀₁₂ = S U_ABC

prądy napięcia

I₀ = (I_A + I_B + I_C ) U₀ = (U_A + U_B + U_C )

I₁ = (I_A + aI_B + a²I_C ) U₁ = (U_A + aU_B + a²U_C )

I₂ = (I_A + a²I_B +aI_C ) U₂ = (U_A + a² U_B + aU_C )

Wzory transformacji prądów oraz napięć z układu 0, 1, 2 do układu A, B, C są następujące

I_ABC = S^-1 I₀₁₂

U_ABC = S^-1 U₀₁₂

prądy napięcia

I_A = I₀ + I₁ + I₂ U_A = U₀ + U₁ + U₂

I_B = I₀ + a²I₁ + aI₂ U_B = U₀ + a²U₁ + aU₂

I_C = I₀ + aI₁ + a²I₂ U_C = U₀ + aU₁ + a²U₂

Moc trójfazową w stanie niesymetrycznego obciążenia można wyrazić korzystając bezpośrednio ze składowych symetrycznych

P + jQ =

P + jQ =

Zwróćmy uwagę, że

wobec czego

P + jQ = 3

Całkowita moc zespolona w stanie niesymetrycznego obciążenia może być obliczona jako suma mocy zespolonych poszczególnych składowych symetrycznych.

Rys. 7.1a. Ilustracja przekształcenia układu ABC prądów na układ składowych symetrycznych prądów 012.

Rys. 7.1b. Ilustracja przekształcenia układu 012 prądów na układ ABC.

Rys. 7.1c. Sieć zgodna, przeciwna i zerowa

7.2. Model generatora synchronicznego

7.2.1. Stan symetrycznego obciążenia generatora

Jeżeli pominąć nieliniowość obwodów magnetycznych wirnika, czyli nasycenie, to wówczas w stanie ustalonym generator może być przedstawiony jako siła elektromotoryczna E za impedancją synchroniczną Z_G. Wynika to z rozważań teoretycznych.

Załóżmy, że w stanie symetrycznego obciążenia prądy stojana i wirnika mają tylko podstawową harmoniczną. Wówczas

U_ABC = E_ABC − Z I_ABC = E_ABC − ΔU_ABC

gdzie:

- macierz impedancyjna generatora

gdzie

K - impedancja własna uzwojenia,

L, M - impedancje wzajemne uzwojeń.

Macierz Z jest macierzą niesymetryczną cykliczną. Oznacza to, że faza A jest sprzężona magnetycznie z fazami B i C w identyczny sposób, jak faza B z fazami C i A oraz faza C z fazami A i B. Wynika to z kierunku obrotu wirnika mijającego uzwojenia stojana w kolejności A, B, C, A, B, C, A, B, C, ... oraz z identyczności faz stojana.

W zapisie szczegółowym mamy

czyli

gdyż

W stanie symetrycznego obciążenia impedancje generatora synchronicznego w poszczególnych fazach są sobie równe i wynoszą

Z_G = K + a²L+ aM

7.2.2. Stan obciążenia niesymetrycznego generatora

Do analizy stanu niesymetrycznego zastosujemy przekształcenie prądów, napięć i sem z układu A, B, C do układu 0, 1, 2

U_ABC = E_ABC − Z I_ABC = S^-1 U₀₁₂ = S^-1 E₀₁₂ − Z S^-1 I₀₁₂

Po pomnożeniu równania lewostronnie przez macierz S otrzymujemy

U₀₁₂ = E₀₁₂ − Z₀₁₂ I₀₁₂

gdzie

Z₀₁₂ = S Z S^-1 - macierz impedancji generatora w układzie 0, 1 , 2.

Macierz impedancji generatora w układzie składowych symetrycznych ma następująca postać

Z₀₁₂ =

gdzie

Z₀ = K + L + M - impedancja dla składowej zerowej /impedancja zerowa/

Z₁= K + a²L + aM - impedancja dla składowej zgodnej /impedancja zgodna/

Z₂= Z₁ = K + aL + a²M - impedancja dla składowej przeciwnej /impedancja przeciwna/ równa impedancji dla składowej zgodnej.

U₀₁₂ = E₀₁₂ - Z₀₁₂ I₀₁₂=

Impedancja zgodna jest równa reaktancji podprzejściowej

Z₁ = jX₁ = j

Impedancja przeciwna może być oszacowana jako średnia geometryczna

Z₂ = jX2 = j

W stanie podprzejściowym obie reaktancje , niewiele się różnią i w przybliżonych obliczeniach zwarciowych przyjmuje się z reguły, że reaktancja przeciwna generatora jest równa reaktancji zgodnej.

Impedancja zerowa generatora

Impedancja zerowa - gdyby występowała - byłaby zawsze mniejsza od impedancji zgodnej

X₀ = (0.1 ÷ 0.6) X₁

Na ogół impedancja zerowa nie wchodzi do schematu zastępczego, gdyż generatory mają przeważnie nieuziemiony punkt neutralny. Jeśli nawet punkt neutralny jest uziemiony, to generator jest zazwyczaj oddzielony od miejsca zwarcia transformatorem o uzwojeniach połączonych w trójkąt, co stanowi przerwę dla składowej zerowej.

Przekształcenie sem z układu A, B, C do układu 0, 1, 2 pokazuje, że jeżeli generator jest trójfazowym źródłem symetrycznym

E_A = E , E_B = a²E , E_C = aE

to we współrzędnych 012 jest tylko źródłem składowej zgodnej, gdyż wytwarza tylko składową zgodną sem

E₀₁₂ = SE_ABC =

czyli

E₀ = 0 - sem dla składowej zerowej

E₁ = E - sem dla składowej zgodnej

E₂ = 0 - sem dla składowej przeciwnej

Stąd w układzie składowych symetrycznych generator synchroniczny opisany jest następującym równaniem macierzowym

W praktycznych obliczeniach przy analizowaniu zwarć niesymetrycznych tworzony jest układ 6 równań liniowych opisujących dane zwarcie, przy czym 3 spośród tych równań są równaniami związanymi z zastępczym źródłem.

Rys. 7.2. Schematy zastępcze generatora synchronicznego. W przypadku izolowanego punktu neutralnego z_N = ∞, co oznacza, że w obwodzie występuje przerwa i prąd składowej zerowej ma wartość zero.

W przypadku generatora z uziemionym punktem neutralnym suma napięć lub prądów dla składowej zgodnej oraz przeciwnej wynosi zero, a suma napięć lub prądów dla składowej zerowej jest różna od zera. Potencjał punktu neutralnego jest mniejszy od zerowego potencjału ziemi o spadek napięcia na impedancji uziemienia 3z_NI₀ co oznacza, że impedancja składowej symetrycznej zerowej generatora na schemacie zastępczym wynosi Z₀ +3z_N , patrz rys. 7.2 i w rezultacie

U₀ = 0 − (Z₀ + 3z_N)I₀

7.2.3. Inne maszyny elektryczne

Kompensatory i silniki synchroniczne

Kompensator i silnik synchroniczny jest zastępowany w układzie 0, 1, 2 dokładnie tak samo jak generator synchroniczny.

Silniki asynchroniczne

Silnik indukcyjny modeluje się w postaci rzeczywistego źródła napięcia o impedancji dla składowej zgodnej wyznaczonej na podstawie parametrów rozruchowych i mocy znamionowej.

Impedancja dla składowej przeciwnej jest równa impedancji dla składowej zgodnej, Impedancja dla składowej zerowej nie występuje.

7.3. Modele elementów statycznych / niewirujących /

W elementach statycznych, jakimi są linie i transformatory, impedancje wzajemne między poszczególnymi fazami są sobie równe

L = M

W rezultacie dla elementów statycznych otrzymujemy następujące zależności dla impedancji:

- składowa zerowa

Z₀ = K + L + M = K + 2L = K + 2M

- składowa zgodna

Z₁ = K + a²L + aL = K + L( a + a²) = K − L = K − M

- składowa przeciwna

Z₂ = K + aL + a²L = K + L( a + a²) = K − L = K − M

Z porównania wzorów wynika w przypadku elementów statycznych:

- impedancja zgodna jest równa impedancji przeciwnej

Z₁ = Z₂

- impedancja zerowa jest większa od impedancji zgodnej

Z₀ > Z₁

7.3.1. Linie napowietrzne

Impedancja zgodna i przeciwna linii napowietrznych są sobie równe, co wynika z symetrii linii oraz tego, że linia jest elementem statycznym.

Impedancja zerowa linii napowietrznej zależy w dużym stopniu od konstrukcji linii, między innymi od liczby przewodów odgromowych. O wartości impedancji zerowej decyduje droga przepływu składowej symetrycznej zerowej. Każdy słup linii wysokiego napięcia jest uziemiony przez rezystancję około 10 Ω. Rozdzielnie są uziemione przez rezystancje bardzo małe, około 0.1Ω.

Rezystancja zerowa linii może być oszacowana w oparciu o uproszczony wzór

R₀ = (R₁ + 0.15)l_linii

gdzie l_linii oznacza długość linii w km.

Reaktancja zerowa linii jest obliczana zwykle w oparciu współczynnik stosunku reaktancji zerowej do zgodnej

k = X₀ /X₁

Wartość współczynnika k zawiera się w granicach od 2 do 4. Wartości największe charakteryzują linie średniego napięcia pracujące bez przewodów odgromowych.

Linie o napięciu 110 kV i wyższym są wyposażone w jeden lub dwa przewody odgromowe. Przewody odgromowe można traktować jako zamknięte pętle ziemnopowrotne, biegnące równolegle do przewodów roboczych.

W praktyce wpływ jednego przewodu odgromowego powoduje zmniejszenie impedancji zerowej linii o jedną czwartą, a dwóch - o jedną trzecią.

Przykładowo:

- linia 110 kV

X₀ = 3,4X₁ dla linii jednotorowej bez przewodu odgromowego,

X₀ = 2,9X₁ dla linii jednotorowej z jednym przewodem odgromowym,

X₀ = 2,5X₁ dla linii jednotorowej z dwoma przewodami odgromowymi,

X₀ = 2,4 X₁ dla linii dwutorowej bez przewodu odgromowego,

- linia 220 kV

X₀ = 2,0X₁ dla linii jednotorowej z dwoma przewodami odgromowymi,

X₀ = 2,5X₁ dla linii dwutorowej z dwoma przewodami odgromowymi,

- linia 400 kV

X₀ = 2,2X₁ dla linii jednotorowej z dwoma przewodami odgromowymi i dwoma przewodami w wiązce,

X₀ = 2,5X₁ dla linii dwutorowej z dwoma przewodami odgromowymi i dwoma przewodami w wiązce.

Susceptancja poprzeczna linii średniego napięcia ma bardzo istotne znaczenie przy obliczaniu prądów zwarć 1-fazowych. Jeżeli brak jest szczegółowych danych, to można przyjąć

B₀ = 0.6B₁

gdzie B₁ oznacza susceptancję linii wykorzystywaną w obliczaniu stanów ustalonych /rozpływów mocy/.

Parametry poprzeczne linii napowietrznych od 110 kV wzwyż mają niewielkie znaczenie w obliczeniach zwarciowych i są pomijane.

Przykładowe parametry linii średniego napięcia o przewodach AFL-6 70 bez przewodu odgromowego

U_N,kV R₁,Ω/km X₁,Ω/km B₁,μS/km R₀,Ω/km X₀,Ω/km B₀,μS/km

20 0.44 0.37 3.336 0.59 1.55 1.285

Przykładowe parametry linii 110 kGV o przewodach AFL-6 240 z 1 przewodem odgromowym

U_N,kV R₁,Ω/km X₁,Ω/km B₁,μS/km R₀,Ω/km X₀,Ω/km B₀,μS/km

110 0.12 0.41 2.774 0.29 1.03 1.684

7.3.2. Linie kablowe

Impedancja zgodna i przeciwna linii kablowych są sobie równe, co wynika z własności elementów statycznych.

Impedancja zerowa linii kablowych zależy od rodzaju kabla. W kablu można wyróżnić kilka obwodów ziemnopowrotnych, utworzonych przez:

• żyły robocze,

• powłokę ołowianą,

• powłokę z taśm stalowych lub drutów,

• ekrany z papieru metalizowanego,

• żyły ochronne, itp.

Wszystkie wymienione obwody za wyjątkiem żył roboczych są uziemiane w głowicach i mufach kabli.

Ocena ilościowa wpływu wszystkich elementów ochronnych na parametry zastępcze zerowe jest bardzo trudna. Parametry te podaje zwykle producent lub należy wyznaczyć je metodami laboratoryjnymi.

Przykładowo:

• kable trójfazowe o izolacji rdzeniowej X₀ = (3 ÷ 5)X₁

• kable jednofazowe X₀ = X₁

W obliczeniach zwarciowych prowadzonych dla sieci średnich napięć uwzględnia się w obliczeniach pojemność zerową kabli. Dla stosowanych najczęściej typów kabli SN mamy orientacyjnie C₀ = 0,6C₁ , przy czym C₁ wynosi około (0,6 ÷ 0,8) μF/km, a więc ponad 100 razy więcej niż w przypadku linii napowietrznych.

7.3.4. Transformatory

Impedancje transformatora zgodna i przeciwna są sobie równe i nie zależą od rodzaju połączeń uzwojeń transformatora, a impedancja magnesowania Z_μ jest pomijana.

Impedancja zerowa zależy od grupy połączeń uzwojeń transformatora, od sposobu pracy punktu neutralnego oraz od konstrukcji transformatora.

Grupy połączeń uzwojeń transformatora są kombinacją połączeń w gwiazdę - Y lub y , trójkąt - D lub d oraz zygzak - Z lub z.

Uzwojenia z wyprowadzonym punktem gwiazdowym oznacza się literami YN lub yn oraz ZN lub zn.

Przyjmuje się, że litery duże dotyczą strony wyższego napięcia, małe - strony niższego napięcia.

Impedancja magnesowania Z_μ jest uwzględniania przy wyznaczaniu schematu zastępczego transformatora dla składowej zerowej.

W transformatorze 4- lub 5-kolumnowym i w zespole 3 transformatorów jednofazowych strumienie magnetyczne zgodne co do fazy przebiegają w żelazie rdzenia, który przedstawia sobą małą reluktancję (opór magnetyczny), co oznacza bardzo dużą reaktancję, czyli Z_0μ = ∞

W transformatorze 3-kolumnowym strumienie magnetyczne wywołane prądem składowej symetrycznej zerowej zamykają się częściowo w powietrzu, w stali kadzi i oleju transformatora, co powoduje, że reluktancja jest duża, a więc reaktancja ma skończoną wartość, czyli Z_0μ << ∞

W przypadku braku danych można przyjąć, że

X_0μ = 6X₁

W Polsce około 90% transformatorów ma rdzeń 3-kolumnowy.

Przy tworzeniu schematów zastępczych dla składowej symetrycznej zerowej brany jest pod uwagę fakt, czy prąd zerowy może , czy też nie przepłynąć przez transformator.

Połączenie YNyn, czyli uziemiona gwiazda - uziemiona gwiazda

Na rys. 7.3. pokazano schemat ideowy transformatora, którego punkt neutralny po stronie górnego napięcia jest uziemiony przez impedancję Z_gH, a po stronie dolnego napięcia - przez impedancję Z_gL. Uziemienie punktu neutralnego powoduje, że prąd płynie po obu stronach transformatora.

Rys. 7.3. Transformator YNyn, a) schemat ideowy, b) pomiar impedancji, c) schemat zastępczy dla składowej symetrycznej zerowej.

Z_T - impedancja zwarciowa transformatora wyznaczona na podstawie danych znamionowych, w odniesieniu do górnego napięcia,

Z_gH - impedancja uziemienia punktu neutralnego po stronie górnego napięcia,

- impedancja uziemienia punktu neutralnego po stronie dolnego napięcia, przeliczona na stronę górnego napięcia. Znak prim oznacza przeliczenie na stronę górnego napięcia.

Połączenie YNd, czyli uziemiona gwiazda - trójkąt

Schemat ideowy i zastępczy transformatora pokazano na rys. 7.4. Uziemienie punktu neutralnego powoduje, że droga prądu zamyka się przez uziemienie po stronie gwiazdy, a po stronie trójkąta - w oczku utworzonym przez gałęzie trójkąta.

Rys. 7.4. Transformator YNd, a) schemat ideowy, b) pomiar impedancji, c) schemat zastępczy dla składowej symetrycznej zerowej.

Prąd składowej symetrycznej zerowej po stronie trójkąta nie wydostaje się do sieci. A zatem, od strony trójkąta transformator przedstawia sobą przerwę w obwodzie, natomiast od strony gwiazdy jego impedancja jest równa impedancji rozproszenia transformatora.

Impedancja uziemienia punktu neutralnego gwiazdy jest pomijalnie mała Z_g = 0. Impedancja zerowa transformatora widziana od strony uzwojenia górnego napięcia wynosi

Impedancja zerowa transformatora widziana od strony uzwojenia dolnego napięcia jest nieskończona i stanowi zaporę dla prądu zerowego.

Połączenie YNy, czyli uziemiona gwiazda - gwiazda

Schemat ideowy i zastępczy transformatora pokazano na rys. 7.5. Prąd składowej symetrycznej zerowej nie może płynąć po stronie gwiazdy z izolowanym punktem neutralnym, gdyż nie ma zamkniętej drogi. Prąd będzie zatem płynął tylko po stronie pierwotnej zamykając się przez impedancję magnesowania.

Spotyka się wyłącznie jednostki 3-kolumnowe, dla których

Z_0Z = 0.1Z_T oraz Z_0T = (3÷5)Z_T

Pozostałe układy połączeń transformatorów 2-uzwojeniowych, to połączenie gwiazda izolowana - gwiazda izolowana Yy, co stanowi przerwę dla prądu zerowego.

Rys. 7.5. Transformator YNy, a) schemat ideowy, b) pomiar impedancji, c) schemat zastępczy dla składowej symetrycznej zerowej.

Impedancja uziemienia punktu neutralnego gwiazdy jest pomijalnie mała Z_g = 0. Impedancja zerowa transformatora widziana od strony uzwojenia górnego napięcia wynosi

Impedancja zerowa transformatora widziana od strony uzwojenia dolnego napięcia jest nieskończona i stanowi zaporę dla prądu zerowego.

Połączenie ZNyn, czyli uziemiony zygzak - uziemiona gwiazda

Połączenie to umożliwia osiągnięcie małej wartości impedancji zerowej. W przypadku zasilania transformatora źródłem napięcia o kolejności zerowej od strony gwiazdy, w uzwojeniach połówkowych zygzaka indukują się sem, ale z uwagi na przeciwne zwroty przepływu prądu impedancja zerowa odpowiada stanowi jałowemu transformatora. W przypadku zasilania transformatora od strony zygzaka, strumienie wzbudzane w uzwojeniach połówkowych znoszą się, a reaktancja rozproszenia ma wartość kilkakrotnie mniejszą od X₁ . Po stronie uzwojeń połączonych w gwiazdę nie indukują się sem, gdyż strumień wypadkowy jest zerowy. W rezultacie przepływy prądu zerowego po każdej stronie są całkowicie niezależne. Schemat ideowy i zastępczy transformatora pokazano na rys. 7.6

Rys. 7.6. Schemat zastępczy transformatora ZNyn

Transformator 3-uzwojeniowy

Transformator 3-uzwojeniowy przedstawiany jest w schematach zgodnym, przeciwnym i zerowym jako szóstnik pasywny (rys. 7.7.a - c). Impedancje zgodne i przeciwne są sobie równe. Ich wartości oblicza się na podstawie danych znamionowych transformatora.

Rys. 7.7. Schematy zastępcze transformatorów 3-uzwojeniowych

Schemat dla składowej zerowej transformatorów 3-uzwojeniowych zależy od połączeń uzwojeń oraz konstrukcji transformatora. Na rysunkach 7.7a - c przedstawiono schematy zerowe transformatorów o różnych grupach połączeń i podano wartości impedancji w zależności od konstrukcji transformatora. Symbole Z_Hm , Z_Tm , Z_Lm oznaczają impedancje uzwojenia gwiazdowego górnego H, środkowego T i dolnego L, a symbole Z_gH , Z_gL - impedancje uziemienia punktu neutralnego po stronie górnego napięcia H i dolnego napięcia - L.

Autotransformator

Autotransformatory spotykane w systemach elektroenergetycznych to jednostki wielkiej mocy, np. 160 MV⋅A, 250 MV⋅A, sprzęgające ze sobą sieci najwyższych napięć. Mają one z reguły trzecie uzwojenie połączone w trójkąt, o mniejszej mocy. Napięcia zwarcia autotransformatorów są podawane dla poszczególnych par uzwojeń HL, HT, TL i odniesione z reguły do mocy znamionowej jak dla transformatora 3-uzwojeniowego.

Model zgodny i przeciwny jest taki sam jak dla transformatora 3-uzwojeniowego. Model dla składowej zerowej wynika z układu połączeń uzwojeń. Najczęściej spotykanym układem połączeń autotransformatora jest gwiazda - gwiazda z dodatkowym uzwojeniem kompensującym połączonym w trójkąt.

Rys. 7.8. Schemat zastępczy autotransformatora

Schemat zastępczy dla składowej zerowej takiego autotransformatora jest taki sam jak dla transformatora 3-uzwojeniowego. Na rys. 7.8. pokazano schemat zastępczy zerowy autotransformatora YNyd. Wartości liczbowe impedancji zerowych autotransformatorów podane na rys. 7.8. należy traktować jak przybliżone.

Przykład

Na rys. 7.9 pokazano schemat ideowy wraz z schematami zastępczymi dla składowej symetrycznej zgodnej i zerowej.

Rys. 7.9. Schemat ideowy - a), schemat zastępczy dla składowej zgodnej - b) i schemat zastępczy dla składowej zerowej przykładowego systemu elektroenergetycznego.

17

Wykład 7 - Zwarcia niesymetryczne w systemach elektroenergetycznych Modele elementów.

---