STATYSTYKA - wykłady, podstawowe pojęcia

1. Wykład I i II - podstawowe pojęcia statystyki opisowej

1. Statystyka - nauka zajmująca się metodami ilościowymi , bada prawidłowości zjawisk masowych. Inaczej - to część matematyki stosowanej opisująca za pomocą funkcji statystycznych i liczb prawidłowości, tendencje, trendy w populacji generalnej obiektów.

Zjawiska masowe - takie zjawiska, które teoretycznie występują nieskończoną ilość razy.

2. Badanie statystyczne - ogół prac mających na celu poznanie struktury badanej zbiorowości statystyczne.

3. Zbiorowość statystyczna - zbiór dowolnych obiektów - elementów, osób, przedmiotów lub faktów, podobnych pod względem określonych cech, ale nie identycznych i poddanych badaniu statystycznemu

1. zbiorowość generalna (populacja) - wszystkie potencjalnie dostępne elementy (obiekty), będące przedmiotem badania, co do których chcemy formułować wnioski

2. zbiorowość próbna (próba) - podzbiór populacji generalnej obejmujący część jej elementów wybranych w określony sposób. (wybór może być np. celowy , kwotowy lub losowy)

	właściwości		skale		przykłady
	jakościowe		jakościowe - dyskretne, skokowe (nominalne, kategorialne, niemetryczne, np. dychotomiczne lub trychotomiczne)		płeć kierunek wykształcenia barwa typ temperamentu rasa
obiekty (osoby fizyczne, organizacje, firmy, kraje)	porządkowe (porządkujace)		porządkowe - dyskretne, skokowe (porządkujace, rangowe)		miejsce w rankingu poziom wykształcenia ocena skuteczności w rangach
	ilościowe		ciągłe inetrwałowe (metryczne) ciągłe ilorazowe (metryczne)		Wynik sumaryczny (lub średni) w punktach testu psychologicznego (dodatni, ujemny) waga, wzrost, wiek (wartości dodatnie)

4. Rodzaje badania statystycznego:

1. całkowite (wyczerpujące) - gdy obserwacji poddane są wszystkie jednostki populacji generalnej (np. powszechny spis ludności)

2. częściowe (próba)

5. Rodzaje cech jednostek statystycznych:

1. skokowe (dyskretne) - mają przeliczalny lub skończony zbiór wartości (reprezentują właściwości jakościowe i porządkowe, mierzone sa na skalach jakościowych i porządkowych)

2. ciągłe (metryczne - między dwoma punktami można określić odległość)

• jeżeli cechy przyjmują wartości ze zbioru liczb rzeczywistych dodatnich i ujemnych, - wtedy mówimy, że mierzone są na skalach interwałowych

• jeżeli wartości cechy są z założenia dodatnie i przyjmują wartości ze zbioru liczb rzeczywistych dodatnich wtedy mówimy, że mierzone są na skalach ilorazowych

6. Cele badania statystycznego :

• poznanie rozkładu zbiorowości pod względem wybranych cech (określenie parametrów rozkładu, takich jak średnia, mediana, moda, wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik skośności czy natężenia, proporcji)

• ustalenie, czy między zmiennymi występują zależności , a jeżeli tak, to jakiego rodzaju (współzmienność, współzależność cech)

• porównywanie i porządkowanie obiektów opisanych ze względu na wiele cech

• opis zbiorowości ze względu na dynamikę wybranych cech

Najczęściej stosowane miary opisu statystycznego

Skala pomiarowa	Miary tendencji centralnej	Miary rozproszenia (rozrzutu, dyspersji, zróżnicowania)	Miary asymetrii	Miary koncentracji	Miary współzmien-ności
nominalna	dominanta	współczynnik dyspersji względem klasyfikacji			współczynniki korelacji: Fi Youle'a, V Cramera, niepewności, kontyngencji, r tetrachoryczne
porządkowa	dominanta, kwantyle - mediana, kwartyle, tetryle, decyle, percentyle	rozstęp, rozstęp kwartylowy, odchylenie ćwiartkowe, współczynnik zmienności, współczynnik zmienności względem mediany			współczynniki korelacji rs Spearmana, w Kendalla, Tau Kendalla
ilościowa (ciągła, interwałowa lub ilorazowa)	średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna, średnia geometryczna, średnia logarytmiczna, średnia potęgowa	rozstęp, rozstęp kwartylowy, kwartylowy współczynnik zmienności, współczynnik zmienności względem mediany, odchylenie przeciętne, wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności względem średniej	współczynnik skośności α3, współczynnik asymetrii As	współczynnik spłaszczenia - eksces (kurtoza α4 - 3), współczynnik skupienia - kurioza α4	kowariancja, współczynniki korelacji liniowej r Pearsona, współczynniki korelacji krzywoliniowej, współczynniki korelacji wewnątrzklasowej, rs Spearmana, w Kendalla, Tau Kendalla

7. Etapy badania statystycznego:

1. przygotowanie badań

• sformułowanie celu badawczego (postawienie pytań i hipotez)

• określenie rzeczowego, przestrzennego i czasowego zasięgu badań

• rodzaje wykorzystywanego materiału badawczego i metod jego gromadzenia

• określenie sposobu opracowania i prezentacji zebranego materiału

• określenie metod analizy tego materiału

• określenie reguł wnioskowania

2. gromadzenie materiału badawczego - materiał pierwotny (pozyskany przez nas) lub wtórny (już istniejący, pochodzący np. ze sprawozdawczości)

3. opracowanie i prezentacja zebranego materiału

• podział uporządkowanego materiału według kryteriów na podstawie interesujących nas cech

• zliczenie pogrupowanych danych

• interpretacja zebranego materiału i pogrupowanie wartości (tabele lub wykresy)

4. opis statystyczny (analiza badanej zbiorowości) - obliczanie miar, czyli charakterystyk opisowych badanej zbiorowości (statystyka opisowa) za pomocą miar tendencji centralnej, rozproszenia, skosności, asymetrii, koncentracji, współzmienności, struktury

5. wnioskowanie statystyczne - zastosowanie testów na podstawie których dokonuje się uogólnień do całe zbiorowości

1. Grupowanie statystyczne:

1. grupowanie typologiczne - ma na celu wyróżnienie jednorodnych grup jakościowych

2. grupowanie wariancyjne - ma na celu uporządkowanie badanej zbiorowości i poznanie jej struktury. Polega na łączeniu w klasy jednostek statystycznych o odpowiednich wartościach cech statystycznych

2. Szeregi statystyczne - występują przy użyciu grupowania wariancyjnego. Jest to ciąg wielkości statystycznych uporządkowanych według określonego kryterium. Rodzaje szeregów statystycznych:

1. szereg szczegółowy - uporządkowanych ciąg wartości badanej cechy statystycznej, w wypadku małej ilości danych. Można go uporządkować malejąco lub rosnąco.

2. szereg rozdzielczy - zbiorowość statystyczne podzielona na części (klasy) według określonej cechy mierzalnej jakościowej lub ilościowej, z podaniem liczebności dla każdej z wyodrębnionych klas (rozkład empiryczny)

• szereg rozdzielczy I typu - każdy wariant cechy stanowi osobną klasę

• szereg rozdzielczy II typu - występują przedziały „od/do”, które zawsze mają dolną granicę (x_d) i górną. Różnica między dolną a górną granicą to rozpiętość przedziału (l).

3. Przedstawienie graficzne wyników

1. histogram (wykres słupkowy)- zbiór prostokątów, których podstawy są wyznaczone na osi odciętych, stanowiąc rozpiętości poszczególnych przedziałów klasowych. Natomiast wysokości są określone na osi rzędnych, przez liczebności odpowiadające poszczególnym przedziałom klasowym

2. wielobok liczebności - linia łamana powstała z połączenia punktów, których współrzędnymi są środki przedziałów klasowych (x_i`), czyli średnia arytmetyczna (dolna granica +górna granica / 2)

3. szereg skumulowany - szereg powstały z szeregu rozdzielczego przez kolejne dodawanie (kumulowanie) przedziałów klasowych oraz odpowiadających im wartości (n_cum)

4. Opis struktury badanej grupy - opisujemy przy pomocy parametrów. Jednym z nich są miary tendencji centralnej:

1. średnie klasyczne:

• średnia arytmetyczne

• średnia harmoniczna

• średnia geometryczna

2. średnie pozycyjne (zajmują w szeregu szczególną pozycję)

• dominanta - wartość tej zmiennej, która w szeregu statystycznym występuje najczęściej

x_d = dolna granica przedziału najliczniejszego

l = rozpiętość przedziału najliczniejszego

n₀ = liczebność najliczniejszego przedziału

n_n-1 = liczebność przedziału poprzedzającego najliczniejszy

n_n+1 = liczebność przedziału po najliczniejszym

• kwartyle

Q₁ - wartość szeregu dzieląca zbiorowość na dwie części tak, że ¹\₄ ≤ Q₁ ≥ ³\₄

Q₃ - wartość szeregu dzieląca zbiorowość na dwie części tak, że ³\₄ ≤ Q₁ ≥ ¹\₄

• mediana - wartość środkowa, która dzieli szereg na dwie równe liczebnie części - część wartości równych i mniejszych niż mediana i część wartości równych i większych niż mediana

x_d = dolna granica przedziału mediany

ⁿ\₂ = wyraz środkowy

n_cum-1 = liczebność skumulowana w przedziale poprzedzającym przedział mediany

n_M = liczebność zwykła przedziału mediany

3. Miary rozproszenia (zróżnicowania)

1. Miary rozproszenia (zróżnicowania): Pozwalają na uogólnienie różnic w wartościach cechy, zaobserwowanych u jednostek w badanej zbiorowości. Klasyczne (odchylenie klasyczne, wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności) i pozycyjne (rozstęp, odchylenie ćwiartkowe, współczynnik zmienności dla miar pozycyjnych)

1. klasyczne:

• odchylenie przeciętne (odchylenie średnie) - średnia arytmetyczna bezwzględnych wartości odchyleń wartości cechy od średniej arytmetycznej szeregu. Kolejność postępowania:

• wyliczamy średnią arytmetyczną szeregu

• od poszczególnych wartości zmiennej odejmujemy obliczoną średnią

• obliczone odchylenia sumujemy ignorując znaki

• dzielimy przez liczebność szeregu

• wariancja - średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od ich średniej arytmetycznej

• odchylenie standardowe - pierwiastek kwadratowy wariancji, zmodyfikowany o poprawkę Sheparda, czyli o ile różnią się przeciętnie wartości cech od średniej arytmetycznej

l = rozpiętość przedziału klasowego

• współczynnik zmienności - wyraża się go w %, im więcej procent tym większe jest zróżnicowanie

2. pozycyjne:

• rozstęp:

• odchylenie ćwiartkowe - tu badamy tylko połowę ilości przypadków, ale dobre, gdy przedziały są niedomknięte

• współczynnik zmienności dla miar pozycyjnych - czyli stosunkowe odchylenie ćwiartkowe

M = mediana

Q = odchylenie ćwiartkowe

4. 29.X

1. Miary asymetrii

1. asymetria rozkładu- określana przez porównywanie x_A, m i D:

• jeżeli x_A=M=D - szereg symetryczny.

• jeżeli x_A>M>D - rozkład o asymetrii prawostronnej

• jeżeli x_A<M<D - rozkład o asymetrii lewostronnej

2. rozkłady symetryczne - to takie, w których obserwacje rozłożone są równomiernie po obu stronach osi symetrii.

3. rozkłady asymetryczne -

• I - większość obserwacji znajduje się w przedziałach położonych bliżej początku szeregu, większość cech ma wartości i niskich nominałach.

• II - przedział klasowy zawierający największą liczbę obserwacji przesunięty jest w prawo - w ostatnich przedziałach

• Rozkłady bimodalne - dwa wyraźne punkty skupienia

• rozkłady siodłowe - posiada dwa punkty skupienia obserwacji znajdujące się w krańcowych przedziałach (pierwszym i ostatnim)

• rozkład równomiarowy - we wszystkich przedziałach występuje ta sama liczba obserwacji.

• asymetria dodatnia - punkt skupienia znajduje się prze niskich wartościach cechy

• asymetria ujemna - punkt skupienia znajduje się przy wyższych wartościach cechy.

4. miernik skośności - jest podstawowym miernikiem asymetrii rozkładu

• M_s = 0 - symetria

• M_s >0 - asymetria prawostronna

• M_s <0 - asymetria lewostronna

5. współczynnik skośności - siła i kierunek skośności

W_s∈ (-1, 1)

S = odchylenie standardowe

W_s = 0 - symetria

6. pozycyjna miara asymetrii

As∈ (-1,1)

As∈ (-1,0> - asymetria lewostronna

As∈ <0,1) - asymetria prawostronna

7. moment centralny trzeci w jednostkach standardowych - najdokładniejsza miara, bo uwzględnia wszystkie wartości

α₃∈ (-2,2) - im bliższy 0 tym asymetria jest słabsza

2. Miary koncentracji - jak bardzo poszczególne obserwacje skupiają się wokół średniej arytmetycznej:

1. kurtoza

K∈(-3,3) - jeżeli K= 3 rozkład normalny

5. 5.XI.

1. Rozkład normalny

1. pole powierzchni pod krzywą wynosi 1, takie też jest prawdopodobieństwo, że zmienna znajdzie się w przedziale zawierającym się pod krzywą, czyli (-∞,+∞). Sigma (δ) to odchylenie standardowe w rozkładzie normalnym i od (-δ,+δ) znajduje się 68,26% przypadków (po 34,13% po każdej stronie osi symetrii)

2. Oś symetrii rozkładu normalnego to średnia arytmetyczna (= mediana = dominanta). Dany jest rozkład normalny X: N(x_A, δ)

6. 21.XI.

1. Estymacja parametrów - rodzaj wnioskowania polegający na szacowaniu parametrów populacji generalnej na podstawie statystyk z próby.

1. estymacja punktowa - znalezienie konkretnej liczby dla każdego szacowanego parametru.

D(Tn) - błąd standardowy szacunku

T - konkretna wartość statystyki tego parametru w próbie

2. estymacja przedziałowa - wyznaczenie przedziału, w którym z pewnym prawdopodobieństwem znajduje się parametr estymowany. Występuje tu przedział ufności i współczynnik ufności, a długość przedziału ufności wynosi:

Q - szacowany parametr

P = 1-α - współczynnik ufności

t +/-z_αD(Tn) - granice przedziału ufności

z_α - zmienna standaryzowana (wartość krytyczna)

7. Testy ℵ²

1. dla tabeli, dane ilościowe i jakościowe

1.

2.

n_e - liczebności empiryczne, rzeczywiście zaobserwowane w pomiarach

n_t - liczebności teoretyczne, oczekiwane w poszczególnych komórkach

k - kolumny

w - wiersze

ℵ²_obl > ℵ²_α - nie ma przesłanek do przyjęcia H₀, przyjmujemy H₁

2. dla szeregu, dane ilościowe (rozkład normalny)

ss = k - r - 1; gdzie r to liczba parametrów, a k to liczba kolumn

• Dla ostatniego wiersza nie obliczamy z;

• Dystrybuanta f(z_i) (z tablic) odejmowanie lub dodawania do z (w zależności od znaku)

• P_i w pierwszym wierszu = D (dystrybuanta)

• kolejne wiersze = D_n - D_n-1

• ostatni wiersz = 1- D_poprzedniego

• suma prawdopodobieństw musi być równa 0

8. Siła korelacji

1. Współczynnik korelacji c Pearsona. <-1;1> , siła związku:

2. Współczynnik korelacji r:

mniejsza z różnic (k - 1) lub (w - 1)

3. Współczynnik korelacji V²

mniejsza z różnic (k - 1) lub (w - 1)

4. Związek między cechami ilościowymi - współczynnik korelacji r Pearsona

r = 0 - nie ma związku

r = 1 - związek całkowity dodatni (jak jeden w rośnie to drugi też)

r = -1 - związek całkowity ujemny

0< r >1 - korelacja dodatnia niedoskonała

-1< r >0 - korelacja ujemna niedoskonała

0< r >0,2 - bardzo słaba

0,2< r >0,3 - słaba

0,3< r >0,5 - średnia

0,5< r >0,7 - silna

0,7< r >1 - bardzo silna

9. LICZENIE ZADANIA Z DANYMI ILOŚCIOWYMI W TABLICY KORElACJI

1. Wyznaczamy środki przedziałów klasowych x_i i y_i.

2. Wyznaczamy punkty wyjściowe (arbitralne) x₀ i y₀, czyli środki przedziałów przedziału środkowego (w przypadku liczby parzystej np.4 wziąć drugi lub czwarty).

3. Obliczamy wartości odchyleń u_i i v_i, poszczególnych środków przedziałów klasowych od ich punktów arbitralnych wg:
   

4. Obliczamy iloczyny odchyleń i właściwych im liczebności w przedziałach (n_iu_i i n_iv_i)

5. Obliczamy iloczyny kwadratów odchyleń i liczebności w przedziałach

6. Obliczamy iloczyny odchyleń cechy x i cechy y: u_iv_i (dla każdej komórki) a liczebności te zapisujemy w lewych górnych rogach komórki tablicy

7. Wpisany w lewym górnym roku iloczyn (u_iv_i) mnożymy przez liczebność a wynik mnożenia wpisujemy w prawym dolnym rogu komórki

8. Wpisany w prawych dolnych rogach komórek iloczyny - n_iu_iv_i - sumujemy w poziomie i pionie a wyniki sumowań zapisujemy w ostatnim wierszu i ostatniej kolumnie i to też sumujemy

9. Sprawdzamy poprawność obliczeń poprzez porównanie sumy w ostatnim wierszu i ostatniej kolumnie. Powinny się równać.

Literatura dodatkowa

L.Gruszczyński „Elementy statystyki dla socjologów”

1

---