Anteny

Jak pokazaliśmy na poprzednich wykładach fale elektromagnetyczne mogą rozchodzić się zarówno w przestrzeni jak i mogą być przesyłane przez różnego rodzaju linie transmisyjne (falowody, kable koncentryczne, światłowody).

Teraz musimy powiązać te dwa sposoby przenoszenia fal, czyli odpowiedzieć na pytanie jak elektron w obwodzie elektrycznym może wywołać falę w przestrzeni, oraz jak fala rozchodząca się w przestrzeni wpływa na elektrony w obwodzie. Zadanie powiązania tych dwóch sposobów rozchodzenia się fal pełnią anteny.

Zadanie jest bardzo trudne teoretycznie, ponieważ długości fal są porównywalne z rozmiarami urządzeń odbiorczych jakimi są anteny, nie ma więc zbyt wielu możliwości uproszczenia rozwiązań równań Maxwella.

Nic więc dziwnego, ze rodzajów anten jest niemal tyle ilu projektantów tych urządzeń. Pewne tezy są jednak niepodważalne; impedancja urządzenia antenowego powinna odpowiadać impedancji próżni (377Ω) w przeciwnym wypadku zamiast przesyłać sygnał antena może stać się reflektorem odbijającym sygnał do generatora sygnału podgrzewając go. Jeżeli jednak naszą pracę wykonamy dobrze będziemy mogli przesyłać sygnał zarówno na odległość kilkunastu metrów jak i w obrębie naszego układu słonecznego.

Czasowo zależne potencjały.

Aby zrozumieć zasadę działania anten konieczne jest oswojenie się z faktem, ze pola elektryczne i magnetyczne w fali są zmienne w czasie, a w konsekwencji zmienne są także potencjały skalarny dla pola elektrycznego i wektorowy dla pola magnetycznego. Zacznijmy od tego ostatniego:

Podstawmy potencjał wektorowy pola magnetycznego do prawa Faradaya

jak już wcześniej pokazaliśmy gdy rotacja pewnej wielkości wynosi zero może ona być równa gradientowi pewnej funkcji skalarnej:

dla zmiennych pól aby otrzymać wartość pola elektrycznego należy do gradientu potencjału dodać pochodną po czasie z potencjału wektorowego (pola magnetycznego).

Ponieważ pole magnetyczne jest rotacją potencjału
możemy do niego dodać gradient innego potencjału bez zmieniania wartości pola:

to oczywiście zmieni pole elektryczne, chyba że zmienimy potencjał pola elektrycznego

te podstawienia upraszczają w późniejszych rozważaniach oba potencjały.

Zacznijmy od prawa Gaussa w próżni:

Drugą zależność otrzymamy z prawa Ampere'a

W przypadku gdy założymy, że

otrzymamy równania fali wywoływane przez ładunki i prądy elementarne

Jeżeli weźmiemy teraz periodycznie zmienne
oraz podobnie zmienne
zależność od czasu uprości się i otrzymamy:

gdzie

Rozwiążmy powyższe równania używając techniki z szukaniem funkcji Greena

definiujemy
. Ponieważ funkcja delta zależy tylko od r, z powodu symetrii funkcja G nie zależy od kąta pomiędzy wektorami x i x' dlatego równanie to zapisane w układzie zmiennych sferycznych przyjmuje postać:

a dla r≠0 upraszcza się do następującej postaci:

Rozwiązanie tego równania łatwo odgadnąć:

w granicy przy r dążącym do zera
a ponieważ
.

Potencjały skalarny i wektorowy można wyliczyć całkując powyższą funkcję wraz z odpowiednim rozkładem ładunków bądź prądów.

wykładniki w eksponencie reprezentują przesunięcie fazowe w rozchodzącej się kulistej fali. Można je powiązać z opóźnieniem czasowym
.

Ponieważ rozwiązanie z plusem reprezentuje falę powracającą a nie rozchodzącą się w czasie zakładamy, że β=1 więc potencjały przyjmą postać:

przy czym w jednorodnych mediach powinny być jeszcze zmodyfikowane przez względną przenikalność elektryczną i podatność magnetyczną.

co daje możliwość wyrażenia zmiennego pola elektrycznego tylko przez potencjał wektorowy

Możemy teraz bezkarnie przedstawić potencjał wektorowy jako wielkość zespoloną (dla operacji addytywnych jak transformacje liniowe i całkowanie nie wpływa to na wynik, natomiast zawodzi np. dla mnożenia, które miesza części urojona z rzeczywistą).

Obliczmy teraz wartość średnią części rzeczywistych dwóch zespolonych wartości A i B

Zauważmy teraz, że

To oznacza, że możemy znaleźć obserwowalne wartości rozważając jedynie rzeczywiste części wielkości zespolonych.

Np. dla wektora Poyntinga otrzymujemy:

dla fal periodycznych.

Promieniowanie dipola

Dipol o nieskończonej długości (dipol Hertza)

Załóżmy zmienny liniowy prąd o długości d i stałej amplitudzie I₀ płynący w kierunku z

W układzie sferycznym (r,Θ,ϕ) wersor jednostkowy w kierunku z, a w konsekwencji także składowe potencjału wektorowego przyjmują postać:

wobec czego niezerowa pozostaje jedynie składowa ϕ pola magnetycznego

Znajdując stąd pole elektryczne otrzymujemy:

Czynnik 1/r³ dominuje dla małych odległości dając pole dipola o momencie p=I₀d. Dla odległości dużych dominuje wyrażenie 1/r, natomiast 1/r² jest istotne przy odległościach.

Dla dużych odległości wektor Poytinga wyniesie:

A całkowita moc wypromieniowywana

Dla zasilanego prądem zmiennym rezystora moc w nim tracona w nim tracona wynosi

porównując dwa ostatnie wzory możemy zdefiniować rezystancję radiacyjną

jeżeli ta wielkość jest mała, rzeczywista impedancja w obwodzie powoduje rozpraszanie energii zamiast jej wypromieniowywanie.

Dipol o skończonej (pomijalnej) długości

Rozważmy prąd w skończonym przewodniku o długości d. Na końcach dipola prąd musi znikać otrzymujemy więc następujące zależności:

Licząc jak poprzednio pole magnetyczne z rotacji potencjału A otrzymujemy:

oraz pole elektryczne i wektor Poytinga

Podobnie jak dla dipola Hertza możemy obliczyć choć są to obliczenia nietrywialne moc i rezystancję radiacyjną:

Ta ostatnia wartość tłumaczy dlaczego tak powszechne są linie przesyłowe o impedancji 75Ω choć dla rzeczywistych dipoli antenowych ta wartość często się zmienia ze względu na oddziaływanie anteny z pobliskimi obiektami...

Wzajemność i odpowiedniość

Jak pewnie łatwo zauważyć równania Maxwella wykazują w próżni ciekawą symetrię. Można zamienić E na H i H na -E oraz μ i ε a otrzymamy takie same równania. Opis dipola elektrycznego przypomina opis dipola magnetycznego itd.

Zauważmy także pewną głębszą symetrię: rozważmy dwa zestawy periodycznie zmiennych pól o częstości ω.

Całkując obie strony tego równania po objętości sfery otrzymujemy

Zauważmy, że jeżeli rozwiążemy problem z rysunku na maksimum mocy przekazanej rezystorowi wystąpi w przypadku R_load=R_rad i wyniesie

Jeżeli natomiast chcemy znaleźć jak V jest powiązane z prądem źródła możemy poprzednie równanie zastosować do pary anten wówczas:

Wzajemność dwóch anten polega na tym, że stosunek indukowanego prądu do potencjału jakie wytwarza antena w miejscu w którym znajduje się druga antena jest stały. Jest to ważna zależność. Łączność można poprawić poprawiając warunki pracy jednej z anten.

Wydajność anteny

Maksymalna wartość wektora Pointinga podzielona przez całkowitą moc na 1Sr.

Jeżeli antena 1 emituje moc W₁, odległa o r antena o powierzchni A₂ odbierze moc W₂ o wartości

stosunek wysłanej i odebranej mocy wyniesie:

jeśli zamienimy rolą anteny

jak widać stosunek wydajności anteny do jej powierzchni jest stały bez względu na jej konstrukcję i wynosi λ²/4π.

12

---