Pierwsza część naszego projektu opiera się na realizacji i porównaniu odpowiedzi skokowej i impulsowej.
Naszym równaniem rekurencyjnym jest:
Naszemu równaniu rekurencyjnemu odpowiada ten oto schemat :
Zauważamy, że zarówno w tym schemacie jak i równaniu rekurencyjnym mamy do czynienia z dwoma opóźnieniami, y(n-1) oraz y(n-2),
oraz dwoma współczynniki,a1 - uzależniony od opóźnienia y(n-1), oraz a2 - uzależniony od opóźnienia y(n-2).
Naszym zadaniem była realizacja tego układu dla a1=2/7 , a2 = 1/8, (współczynników równania rekurencyjnego) b0=4 (mnożnika sygnału wejściowego) , oraz dwóch warunków początkowych y[-1]=8, y[-2]=10.
Pierwszą częścią naszego zadania było wyznaczenie odpowiedzi skokowej układu II rzędu.
Zaczęliśmy od wyznaczenia odpowiedzi skokowej metodą rekurencyjną. Dla tej metody otrzymaliśmy wartość sygnału odpowiedzi y równą,
Jeżeli chodzi o wyznaczanie odpowiedzi skokowej, to dla naszego równania rekurencyjnego, które po przekształceniach wyglądało tak :
, oraz dla równania odpowiedzi :
, nasze rozwiązanie w dziedzinie Z wyglądało następująco :
, zaś nasza szukana odpowiedz skokowa przedstawiała się :
Wykres który poniżej prezentujemy, przedstawia wartość skokową o 10 krokach które możemy na tym wykresie zaobserwować, jak widać nie mamy do czynienia ze stałymi wartościami tylko z przedziału od 0.464 w kroku pierwszym, poczym obserwujemy dosyć drastyczny skok wartości „w górę”, do 2.867, w kroku trzecim możemy zaobserwować najwyższą wartość, którą jest 3.123, po czym kolejne wartości do 10, nieznacznie się zmieniają, zarówno rosną jak i maleją.
Drugą częścią naszego projektu było wyznaczanie odpowiedzi impulsowej układu II rzędu, zarówno metodą rekurencyjną jak i metodą przekształcenia Z.
Naszymi danymi do tej metody, tak jak w odpowiedzi skokowej były:
a1=2/7 , a2 = 1/8, b0=4,y[-1]=8, y[-2]=10
Pierwszą z metod jaką się zajęliśmy była metoda rekurencyjna, jak sama nazwa wskazuje działa to na rekurencji, dlatego mając obliczone wartości odpowiedzi dla n= 0 oraz dla n =1 tj:
Możemy obliczyć wartości kolejnych odpowiedzi także rekurencyjnie z wzoru :
Obliczonymi wartościami sygnału odpowiedzi y są :
Następnie korzystając z poniższego równania rekurencyjnego:
Wyznaczamy odpowiedź impulsową metodą przekształceń transformaty Z.
Równanie w dziedzinie transformaty :
Po przekształceniach :
Transformata wymuszona :
Rozwiązaniem takiego układu w dziedzinie Z jest:
natomiast odpowiedzią impulsową układu dyskretnego II rzędu jest:
Naszym wykresem odpowiedzi impulsowej układu II rzędu jest:
Wnioski:
Układ jest stabilny asymptotycznie, ponieważ wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego mają ujemną część rzeczywistą (leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej). Innym przykładem stabilności układu jest zdolność powrotu do stanu równowagi z dowolnego niezerowego stanu początkowego co obrazują wykresy.