Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki

Zadanie 2.5

W układzie jak na rysunku wiadomo, że e₁=20V, i­₃=100mA, i₄=10mA, i₅=10mA, i₇=5mA, R₂=10kΩ, R₄=1kΩ, R₆=2kΩ, R₇=5kΩ, R₈=8kΩ, R₉=2,5kΩ, R₁₀=1kΩ. Obliczyć wartość SEM e­₈, przy której napięcie panujące na obciążeniu R₀ w stanie dopasowania energetycznego wynosi 5V. Obliczyć moc wydzieloną w obciążeniu.

Przy rozwiązywaniu zadania posługiwałem się:

„Teoria Obwodów cz.1” Włodzimierz Wolski, Marceli Uruski, Wydawnictwo Politechnika Wrocławska 1982

Mówimy, że odbiornik jest dopasowany energetycznie do źródła, gdy jego impedancja jest wartością sprzężoną do impedancji wewnętrznej źródła. Ponieważ obwód na rysunku jest dwójnikiem, możemy potraktować go, zgodnie z twierdzeniem Thevenina jak źródło SEM o pewnej wewnętrznej impedancji. Natomiast z faktu, że ani w obwodzie ani w obciążeniu nie występują elementy L i C, a jedynie rezystory, wynika, że impedancja całego układu będzie miała jedynie część rzeczywistą i zerową część urojoną. Toteż zagadnienie dopasowania energetycznego sprowadza się do znalezienia rezystancji zastępczej obwodu, która będzie stanowić rezystancję wewnętrzną źródła, a następnie dołączenie do dwójnika rezystancji obciążenia o wartości równej obliczonej rezystancji wewnętrznej.

Do obliczenia rezystancji zastępczej układu (a więc tym samym rezystancji obciążenia), można wykorzystać fakt, że występujące w obwodzie źródła prądowe i napięciowe są źródłami idealnymi, dającymi na zaciskach wartość prądu bądź też napięcia niezależną od obciążenia. Dzięki tej właściwości możemy źródła napięciowe potraktować jako zwarcia, a prądowe jako rozwarcia a następnie zsumować rezystancje uzyskując wartość R_W=R₀. Po wykonaniu wyżej opisanych operacji, otrzymujemy obwód jak na Rys.2.

Rys.2

Tak powstały układ łatwo jest policzyć upraszczając go najpierw do postaci:

Rys.3

Obliczmy teraz rezystancję zastępczą takiego układu:

R_Z(4+6)=R₄+R₆=3kΩ

Rezystancję równolegle połączonych rezystorów obliczymy sumując ich odwrotności:

1/R_Z=1/R_Z(4+6)+1/R₉=(R₉+R_Z(4+6))/R_Z(4+6)*R₉=(2,5kΩ+3kΩ)/2,5kΩ*3kΩ

Tak więc

R_Z=7,5*10⁶/5,5*10³=1,3636kΩ≈1,36kΩ

Rezystancja całego układu składa się z połączonych szeregowo rezystorów R_Z=1,36kΩ oraz R₁₀=1kΩ, których suma wynosi R₀=2,36kΩ.

Moc wydzieloną w obciążeniu obliczymy z zależności:

P=U²/R=25/2,36*10³=10,59*10^-3≈10,6mW

Teraz, korzystając z twierdzenia Thevenina przekształcimy dwójnik z rys.1 do postaci szeregowo połączonego źródła napięciowego napięciowego rezystancji wewnętrznej tego źródła.

W pierwszym kroku przekształcimy źródło i₄ w źródło napięciowe i obliczymy wypadkową wartość SEM oraz rezystancję tak utworzonego dwójnika. W tym wypadku można pominąć źródło i₃ oraz rezystor R₂ ponieważ spadek napięcia na ich zaciskach wynosi tyle samo co wartość źródła e₁.

Rys. 4

i₄ e₄=i₄*R₄=10*10^-3*10³=10V

Zatem wypadkowa SEM całego dwójnika będzie równa algebraicznej sumie e₁ oraz e₄ i wyniesie:

e_w1= e₁-e₄=10V

Zaś rezystancja wewnętrzna dwójnika będzie równa R₄

Tak powstały dwójnik złożony ze źródła oraz rezystancji wewnętrznej warto jest w celu dalszych obliczeń przekształcić w źródło prądowe:

e_w1 i_w1=e_w1/R₄=30/10³=10mA

Tak powstały dwójnik dołączamy do reszty układu i otrzymujemy:

Rys. 5

Korzystając teraz z własności źródła prądowego, mówiącej, że w gałęzi w której znajduje się źródło prądowe, wypadkowy prąd musi być równy prądowi tego źródła można zapisać równanie na napięcie na zaciskach dwójnika z rys. 5, tworząc w ten sposób wypadkowy dwójnik składający się ze źródła napięciowego o SEM równym co do wartości napięciu u_w z rysunku i szeregowej rezystancji wewnętrznej. Na rysunku zastrzałkowane zostały „drogi” przepływu prądów w obwodzie oraz spadki napięć na rezystorach. Równanie napięciowe dla teo obwodu przyjmie postać:

u_w=e_w2=R₄(i_w1-i₅-i₇)-i₇R₆=1*(10-10-5)-5*2=-15V

Rezystancja zastępcza tego układu będzie równa sumie algebraicznej R₄ i R₆ i wyniesie:

R_w2=R₄+R₆=3kΩ

Teraz tak powstały dwójnik dołączmy znów do reszty obwodu otrzymując:

Rys. 6

Rezystancja wypadkowa tego dwójnika wynosi tyle samo co R_w2, gdyż w warunkach zwarcia źródeł napięciowych, na rezystorze R₈ nie odłoży się żadne napięcie, ponieważ w obwodzie nie popłynie żaden prąd. Wypadkowa SEM wyniesie zaś:

e_w3=e_w2-e₈

Do tak powstałego dwójnika dołączony jest ponadto dzielnik napięciowy oraz rezystancja obciążenia jak na rys. 7:

Rys. 7

Znając z treści zadania spadek napięcia na R₀, który ma wynieść 5V, oraz znając wartość R₀=2,36 kΩ można wyliczyć z prawa Ohma prąd w gałęzi obwodu, w której znajduje się wspomniany rezystor.

i₀=u₀/R₀=5/2,36*10³=2,12mA

Stąd można wyznaczyć napięcie wypadkowe, jakie odłoży się na szeregowo połączonych rezystancjach R₀ i R₁₀

u₁=i₀(R₀+R₁₀)=2,12*3,36=7,12V

Taki sam spadek napięcia będzie miał miejsce na rezystorze R₉, stąd prąd w tamtej gałęzi będzie miał wartość:

i₉=7,12/2,5*10³=2,85mA

Zatem prąd w gałęzi, w której znajduje się rezystancja R_w2 będzie miał wartość algebraicznej sumy prądów i₉ oraz i₀ i wyniesie:

i_w=2,12+2,85=4,97mA

Suma spadków napięcia w oczku ze źródłem napięciowym musi być równa zero więc:

e_w3=i_w*R_w2+7,12=4,97*3+7,12=22,03V

Stąd szukana e₈=e_w2-e_w3=-15-22=-37V

e₈

i₄

R₈

R₄

R_o

R₉

R₁₀

i₇

R₇

R­­₆

i₅

i­­­₃

R­2

e₁­

R₄

R₆

R₉

R₁₀

R­₄

R₄

R_w2

e₁

i_w1­

e_w3

R­­₆

R₈

i₅

i₇

R₁₀

R₉

R₄+R₆

e₈

u₁

e₄

R_w2

R₀

e_w2

R₉

u_w

R₁₀

---