1. Dziedzina 2. Pochodna 3. Miejsca zerowe pochodnej f '(x)=0 i liczę `x'
4. Ponieważ (mianownik)>0 dla x∈R, to znak f '(x) jest taki sam jak znak funkcji (licznik) 5. Wykres m-c zerowych (+D) 6. f(x)>0 dla x∈ (prze) i f `(x) rosnaca 6. Liczę ekstrema (z m-c zerowych) f(e); 7. Asymptoty: a) pionowa-z tego co wyrzucamy z dziedziny (+ i - ), 2x f(x) 1x f `(x) jak wyjdzie ∞ lub -∞ to tworzy przy f ` podst liczbe b) pozioma x --> + - ∞ z f(x) jak wyjdzie cyfra to tworzy. c) ukośna: y=ax+b a=lim (x->+-∞)f `(x) - liczymy 1 raz. Jak wyjdzie cyfra to ok, jak 0-pozioma, cos innego - brak, b=lim(+-∞)=(f(x)-ax) - cyfra ok., 0-pozioma, cos innego-brak
x | -∞ | | m-ce 0 #1| |wywalone z D| |m-ce 0 #2| | +∞ |
f ` (x) | | +/ - | 0 |+/-| X |+/- | 0 |+/- | |
f (x) | lim| | max/min | | asympt lub x | | max/min | | lim |
[∞/∞] [∞-∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0] - nieoznaczone; [∞+a]=∞ [a/0]=∞ [0/a]=0
(f(x)+-g(x))'= f '(x) - +g(x) | (af(x))'=af'(x) | (xk)'= kxk-1 k∈R | (ee )'= ex
(ax )'= ax ln a | (sqrt z `x', n - stopnia)' = 1 / (n*sqrt z x^n-1) | e-x = - e-x
[f(x)*g(x)]'=f `(x)*g(x)+f(x)*g'(x) | [f(x)/g(x)]'=f `(x)*g(x)-f(x)*g'(x)] / [g(x)]2
(1/x)'= -1/x2 [cos5(7x)]'=35sin(7x)*cos4(7x) ; (ln6x)'=6/x log5x (sin9x)'=9cos9x f(zw)'(za `x' wewn)*f'(wewn) ab=e b ln a
Ciągłość i różniczkowalność: f(x)=(e4x-1)/x dla x≠0 i 4 dla x=0 }
4x- f. jest ciagla dla x∈R,ex- f. jest ciągła|| x- f. ciagla (e4x-1)/x- f. jest ciągł
Lim (x->0) f(x)=(e4x-1)/x=[0/0]=h=(4e4x )/1=[4/1]=4 f(x) jest ciągła dla x=4
^[f(x)-f(0)]/(x-0); f `(0)=lim (x->0) f(x)=[((e4x-1)/x)-4]/x=[(e4x-1-4x)/x2]=[0/0]=
=h=lim (4e4x-4)/2x=[0/0]=lim 16e4x/2=[16/2]=8 - liczba rozniczko; ∞ nie ok
Błąd względny: Rn(x)=[(f n+1(c))/(n+1)!]*(x-x0) n+1
w. Taylora: W(x)=f(x) + f `(x0)*(x-x0) + [(f ”(x)/2!] * (x0)(x-x0)2 + …
jednostajna ciągłość: liczę: f '(x), |f `(x)|=|cos|<=>liczba dla x∈R stąd jest jednostajnie ciagla dla x∈R
0' δ(x,y)>=0 ;1' δ(x,y)=0 <=> x=y ;2' δ(x,y)= δ(y,x) 3' δ(x,y)<= δ(x,z)+δ(z,y
0' Ustalmy dowolne x,y∈R* // δ(x,y)=|wzor|>=0
1' δ(x,y)=0 ->|wzor|=0 ->wzor=0 -> r. liniowe->x=y stad własność 1' speln
2' δ(x,y)=|f(x)-f(y)|=f(y)-f(x)= δ(y,x) -> stad własność 2' spelniona
3' δ(x,y)=|wzor|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|=|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|= δ(x,z)+ δ(z,y)
Wszystkie warunki sa spelnione wiec jest to metryka. K(y,r)={X∈R+: δ(x) y<=r
Indukcja 1. spr.dla n=1 2. ustalmy dow. n>=1 oraz załóżmy że zachodzi T(wzor)-(zał.) Dowodzimy teraz że zach. T(n+1) (teza)
Ln+1=Pn+1 || k.1i2 dow, ze spełnione są zał. tw. o ind.mat. dla równości T(wzor) więc wnioskujemy, że równość T(wzor) jest prawdziwa dla wszystkich n€N
Granica z def. Należy wykazać dla dowolnego E>0 istnieje no ∈R tż dla n>no mamy |wzor - cos|<E
Ustalmy dow. E>0. Wyznaczamy no tak że dla n>no zachodzi |wzor- g|<E.
Przyjmujemy no=max{x/E;0-lub inne}
Dla n>no mamy x/n<E więc n>no mamy |T(n)|<E.
d'Alemberta - ! Un+1/Un=r r<1 zbieżny; r>rozbieżny a-b=a²-b²/a+b
Cauchego - sqrt n√Un=r r<1 zbieżny, r>rozbieżny a-b=a³-b³/a²+ab+b²
Tw.porów. 0<=an<=bn dla n>no
Ciągłość na przedziałach. 1. pochodna 2. f'(x)=0 - do D 3. licze f od przedziałów i to co należy do dziedziny, min i max porownuje i zapisuje.
1. Dziedzina 2. Pochodna 3. Miejsca zerowe pochodnej f '(x)=0 i liczę `x'
4. Ponieważ (mianownik)>0 dla x∈R, to znak f '(x) jest taki sam jak znak funkcji (licznik) 5. Wykres m-c zerowych (+D) 6. f(x)>0 dla x∈ (prze) i f `(x) rosnaca 6. Liczę ekstrema (z m-c zerowych) f(e); 7. Asymptoty: a) pionowa-z tego co wyrzucamy z dziedziny (+ i - ), 2x f(x) 1x f `(x) jak wyjdzie ∞ lub -∞ to tworzy przy f ` podst liczbe b) pozioma x --> + - ∞ z f(x) jak wyjdzie cyfra to tworzy. c) ukośna: y=ax+b a=lim (x->+-∞)f `(x) - liczymy 1 raz. Jak wyjdzie cyfra to ok, jak 0-pozioma, cos innego - brak, b=lim(+-∞)=(f(x)-ax) - cyfra ok., 0-pozioma, cos innego-brak
x | -∞ | | m-ce 0 #1| |wywalone z D| |m-ce 0 #2| | +∞ |
f ` (x) | | +/ - | 0 |+/-| X |+/- | 0 |+/- | |
f (x) | lim| | max/min | | asympt lub x | | max/min | | lim |
[∞/∞] [∞-∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0] - nieoznaczone; [∞+a]=∞ [a/0]=∞ [0/a]=0
(f(x)+-g(x))'= f '(x) - +g(x) | (af(x))'=af'(x) | (xk)'= kxk-1 k∈R | (ee )'= ex
(ax )'= ax ln a | (sqrt z `x', n - stopnia)' = 1 / (n*sqrt z x^n-1) | e-x = - e-x
[f(x)*g(x)]'=f `(x)*g(x)+f(x)*g'(x) | [f(x)/g(x)]'=f `(x)*g(x)-f(x)*g'(x)] / [g(x)]2
(1/x)'= -1/x2 [cos5(7x)]'=35sin(7x)*cos4(7x) ; (ln6x)'=6/x log5x (sin9x)'=9cos9x f(zw)'(za `x' wewn)*f'(wewn) ab=e b ln a
Ciągłość i różniczkowalność: f(x)=(e4x-1)/x dla x≠0 i 4 dla x=0 }
4x- f. jest ciagla dla x∈R,ex- f. jest ciągła|| x- f. ciagla (e4x-1)/x- f. jest ciągł
Lim (x->0) f(x)=(e4x-1)/x=[0/0]=h=(4e4x )/1=[4/1]=4 f(x) jest ciągła dla x=4
^[f(x)-f(0)]/(x-0); f `(0)=lim (x->0) f(x)=[((e4x-1)/x)-4]/x=[(e4x-1-4x)/x2]=[0/0]=
=h=lim (4e4x-4)/2x=[0/0]=lim 16e4x/2=[16/2]=8 - liczba rozniczko; ∞ nie ok
Błąd względny: Rn(x)=[(f n+1(c))/(n+1)!]*(x-x0) n+1
w. Taylora: W(x)=f(x) + f `(x0)*(x-x0) + [(f ”(x)/2!] * (x0)(x-x0)2 + …
jednostajna ciągłość: liczę: f '(x), |f `(x)|=|cos|<=>liczba dla x∈R stąd jest jednostajnie ciagla dla x∈R
0' δ(x,y)>=0 ;1' δ(x,y)=0 <=> x=y ;2' δ(x,y)= δ(y,x) 3' δ(x,y)<= δ(x,z)+δ(z,y
0' Ustalmy dowolne x,y∈R* // δ(x,y)=|wzor|>=0
1' δ(x,y)=0 ->|wzor|=0 ->wzor=0 -> r. liniowe->x=y stad własność 1' speln
2' δ(x,y)=|f(x)-f(y)|=f(y)-f(x)= δ(y,x) -> stad własność 2' spelniona
3' δ(x,y)=|wzor|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|=|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|= δ(x,z)+ δ(z,y)
Wszystkie warunki sa spelnione wiec jest to metryka. K(y,r)={X∈R+: δ(x) y<=r
Indukcja 1. spr.dla n=1 2. ustalmy dow. n>=1 oraz załóżmy że zachodzi T(wzor)-(zał.) Dowodzimy teraz że zach. T(n+1) (teza)
Ln+1=Pn+1 || k.1i2 dow, ze spełnione są zał. tw. o ind.mat. dla równości T(wzor) więc wnioskujemy, że równość T(wzor) jest prawdziwa dla wszystkich n€N
Granica z def. Należy wykazać dla dowolnego E>0 istnieje no ∈R tż dla n>no mamy |wzor - cos|<E
Ustalmy dow. E>0. Wyznaczamy no tak że dla n>no zachodzi |wzor- g|<E.
Przyjmujemy no=max{x/E;0-lub inne}
Dla n>no mamy x/n<E więc n>no mamy |T(n)|<E.
d'Alemberta - ! Un+1/Un=r r<1 zbieżny; r>rozbieżny a-b=a²-b²/a+b
Cauchego - sqrt n√Un=r r<1 zbieżny, r>rozbieżny a-b=a³-b³/a²+ab+b²
Tw.porów. 0<=an<=bn dla n>no
Ciągłość na przedziałach. 1. pochodna 2. f'(x)=0 - do D 3. licze f od przedziałów i to co należy do dziedziny, min i max porownuje i zapisuje.