Indukcja 1. spr.dla n=1

2.ustalmy dow. n>=1 oraz załóżmy że zachodzi T(n)(zał.)

Dowodzimy teraz że zach. T(n+1) (teza)

Ln+1=Pn+1 || k.1i2 dow, ze spełnione są zał. tw. o ind.mat. dla równości T(n) więc wnioskujemy, że równość T(n) jest prawdziwa dla wszystkich n€N.

2'ustalmy dow. n>=1 oraz zał, że zach.T(n) jest podzi. przez 6 czyli że istn. k€N t.ż. 10^n-4=6k n,k€N, n jest podz. przez k <=>istnieje l€N tż n=l*k

Dow.teraz że zach. T(n+1)jest podz. przez 6, czyli że ist. l€N,tż T(n+1)=6l

Granica z def.

Należy wykazać dla dowolnego E>0 istnieje no€R tż dla n>no mamy |Xn - g|<E

Ustalmy dow. E>0. Wyznaczamy no tż dla n>no zachodzi |Xn - g|<E.

Przyjmujemy no=max{x/E;0}

Dla n>no mamy x/n<E więc n>no mamy |T(n)|<E.

'∞ Należy wykazać że dla każ. standard. oto. u punktu ∞ istnieje no€R, tż T(n)€u

Ustalamy dowolne stand.oto. u punktu ∞ u=[∞,b], gdzie b<0 jest ustaloną liczbą. Wyznaczamy no.

Wykazaliśmy ze dla dowolnego E>0 istnieje n₀>3/Epsilon takie ze mamy |Xn-g|>-b. || n₀=max{n₀;n}

d'Alemberta - ! Un+1/Un=r r<1 zbieżny; r>rozbieżny

Cauchego - sqrt n√Un=r r<1 zbieżny, r>rozbieżny

Tw.porów. 0<=an<=bn dla n>no

Jeśli funkcja jest metryką musi spełniać 4 warunki:

0' δ(x,y)>=0

1' δ(x,y)=0 <=> x=y # δ(x,y)=0f(x)=f(y)

2' δ(x,y)= δ(y,x) # δ(x,y)=|f(x)-f(y)|=symetria=δ(y,x)=|f(y)-f(x)|

3' δ(x,y)<= δ(x,z)+δ(z,y) # x,y,z∈P δ(x,y)=|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|=|a+b|<=|a|+|b|=|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|= δ(x,z)+ δ(z,y) nierownosc trojkata jest spelniona a-b=a²-b²/a+b a-b=a³-b³/a²+ab+b²

1. 0' 2. x,y>=0 => f. roznowartosciowa metryka w zbiorze P

3. K(srodek 1;1/2promien)={A∈[0, ∞]; δ(1,A)<1/2}
4. δ(1,A)=|f(1)-f(A)| pod wzor z zadania i mam modul przez modul<1/2

Zamieniam na takie żeby była nierownosc w lini i pozniej licze A dla:
1' [0,1] i 2' [1; ∞] i mam k=(1,1/2)=(0;sqrt3)

Indukcja 1. spr.dla n=1

2.ustalmy dow. n>=1 oraz załóżmy że zachodzi T(n)(zał.)

Dowodzimy teraz że zach. T(n+1) (teza)

Ln+1=Pn+1 || k.1i2 dow, ze spełnione są zał. tw. o ind.mat. dla równości T(n) więc wnioskujemy, że równość T(n) jest prawdziwa dla wszystkich n€N.

2'ustalmy dow. n>=1 oraz zał, że zach.T(n) jest podzi. przez 6 czyli że istn. k€N t.ż. 10^n-4=6k n,k€N, n jest podz. przez k <=>istnieje l€N tż n=l*k

Dow.teraz że zach. T(n+1)jest podz. przez 6, czyli że ist. l€N,tż T(n+1)=6l

Granica z def.

Należy wykazać dla dowolnego E>0 istnieje no€R tż dla n>no mamy |Xn - g|<E

Ustalmy dow. E>0. Wyznaczamy no tż dla n>no zachodzi |Xn - g|<E.

Przyjmujemy no=max{x/E;0}

Dla n>no mamy x/n<E więc n>no mamy |T(n)|<E.

'∞ Należy wykazać że dla każ. standard. oto. u punktu ∞ istnieje no€R, tż T(n)€u

Ustalamy dowolne stand.oto. u punktu ∞ u=[∞,b], gdzie b<0 jest ustaloną liczbą. Wyznaczamy no.

Wykazaliśmy ze dla dowolnego E>0 istnieje n₀>3/Epsilon takie ze mamy |Xn-g|>-b. || n₀=max{n₀;n}

d'Alemberta - ! Un+1/Un=r r<1 zbieżny; r>rozbieżny

Cauchego - sqrt n√Un=r r<1 zbieżny, r>rozbieżny

Tw.porów. 0<=an<=bn dla n>no

Jeśli funkcja jest metryką musi spełniać 4 warunki:

0' δ(x,y)>=0

1' δ(x,y)=0 <=> x=y # δ(x,y)=0f(x)=f(y)

2' δ(x,y)= δ(y,x) # δ(x,y)=|f(x)-f(y)|=symetria=δ(y,x)=|f(y)-f(x)|

3' δ(x,y)<= δ(x,z)+δ(z,y) # x,y,z∈P δ(x,y)=|f(x)-f(y)|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|=|a+b|<=|a|+|b|=|f(x)-f(z)|+|f(z)-f(y)|= δ(x,z)+ δ(z,y) nierownosc trojkata jest spelniona a-b=a²-b²/a+b a-b=a³-b³/a²+ab+b²

1. 0' 2. x,y>=0 => f. roznowartosciowa metryka w zbiorze P

3. K(srodek 1;1/2promien)={A∈[0, ∞]; δ(1,A)<1/2}
4. δ(1,A)=|f(1)-f(A)| pod wzor z zadania i mam modul przez modul<1/2

Zamieniam na takie żeby była nierownosc w lini i pozniej licze A dla:
1' [0,1] i 2' [1; ∞] i mam k=(1,1/2)=(0;sqrt3)

---