Definicja liczby zespolonej.

Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych a i b i oznaczamy jako (a, b).

Właściwości liczb zespolonych.

1. Dwie liczby zespolone są równe:
   
   

2. Suma dwóch liczb zespolonych (a, b) i (c, d) jest:
   
   

3. Iloczyn liczb zespolonych (a, b) i (c, d):
   
   

4. Iloraz liczb zespolonych (a, b) i (c, d):
   
   

Liczby zespolone są to liczby w postaci:

z = a i b, gdzie:

a = Rez - część rzeczywista liczby zespolonej (tzw. realis z łac.)
b = Imz - część urojona liczby urojonej (tzw. imaginarius z łac.)

i = jednostka zdefiniowana jako

Liczbę zespoloną, której Rez = 0, nazywamy liczbą urojoną, a liczbę, której Imz = 0, nazywamy liczbą rzeczywistą.

Jeżeli zarówno
liczba zespolona.

POPRAWNE
! BŁĘDNE

Postać: z = a + bi nazywamy postacią algebraiczną (lub kartezjańską, kanoniczną) liczby zespolonej.

W energetyce liczbę zespoloną oznacza się jako z = a + bj, bo i - natężenie prądu.

Liczba sprzężona do liczby zespolonej z = a + bi:

Przykład 1:
!

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Przykład 2:

Oblicz liczbę zespoloną z równania:

Przykład 3:

Oblicz liczby x i y, spełniające równanie:

Interpretacja geometryczna liczb zespolonych.

Z - całkowite.

Jeżeli

- postać trygonometryczna liczby zespolonej.

Właściwości:

Dla dwóch liczb
i
zachodzi:
.

Przykład 4.

Przedstaw w postaci trygonometrycznej.

1. 
   
   
   
   

2. 
   

3. 
   
   
   

Potęgowanie liczb zespolonych - wzór de Moivre'a.

						1
					1		1
				1		2		1
			1		3		3		1
		1		4		6		4		1
	1		5		10		10		5		1
1		6		15		20		15		6		1

!

1. 
   

2. 
   
   

0

x

I

b

a=Rez

Imz

a

b

- fi

- moduł liczby zespolonej

argument główny

y

x

-1

y

x

-1

y

1

x

I

II

III

IV

Wielokrotność
,

byle nie ułamek

Dwumian Newtona

Trójkąt Pascala

y

x

1

1

y

x

y

x

I

II

III

IV

1

-1

---