Zestaw1: 1.Podać określenie układu inercjalnego: Układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym i jeżeli nie przykładamy do ciała żadnych sił, to taki układ nazywamy inercjalnym. Układ inercjalny jest układem bezwładności. I zasada Dynamiki Newtona nazywa się często zasadą bezwładności, a układy odniesienia, w których ona obowiązuje układami inercjalnymi. 2. II zasada dynamiki Newtona w układzie nie inercjalnym poruszającym się prostoliniowo. Jeżeli układ odniesienia porusza się ruchem przyspieszonym względem inercjalnego układu odniesienia, to taki układ nazywamy nie inercjalnym. W układzie takim ciało porusza się z przyspieszeniem różnym od 0, mimo że suma sił działających na ciało jest = 0. m*a = F a= dV/ dt = d2 r / dt = dmV / dt = F mdV / dt = F p = mV dp / dt = F II zasada dynamiki zwana również równaniem ruchu. m* a = F - w układzie inercjalnym jest słuszne F - wypadkowa sił „ rzeczywistych” Równanie Newtona w układzie nie inercjalnym: a = a - A ; m*a = F - mA lub: m*a = P + Pb gdzie Pb = - mA -jest siłą bezwładności w nie inercjalnym układu poruszającym się prostoliniowo. II zasada Dynamiki Newtona : a = F/m - przyspieszenie punktu materialnego w jego ruchu pod wpływem siły jest proporcjonalne do tej siły i odwrotnie proporcjonalne do masy bezwładności. 3. Określ wektor położenia środka masy układu N cząstek i wektor prędkości środka masy:
Oznaczając masę tego elementu przez dm , a jego położenie w układzie odniesienia 0 przez r , możemy wykazać, że masa bryły : M = ∫ dm = ∫ p( r ) d3r - Środek masy ma równanie: Rs = 1/ M* ∫ r dm = 1/ M ∫ r p( r ) d3r - Równanie trzech równań skalarnych środka masy : xs = 1 / M* ∫ x dm r (x,y,z) = ys = 1 / M* ∫ y dm zs = 1 / M* ∫ z dm - Ruch środka masy : Fo = M* d2 Rs / dt - Prędkość środka masy:
r = r1*m1 + r2*m2 / m1+ m2 x = x1*m1 + x2*m2 / m1+ m2 y = y1*m1 + y2*m2 / m1+ m2 z = z1*m1 + z2*m2 / m1+ m2
V = dr / dt = m1* dr1 / dt + m2* dr2 / dt = = m1* V1 + m2* V2 / m1+ m2
|
Zestaw 2: 1. Przytoczyć definicje wektora prędkości kątowej ω i przyspieszenia kątowego oraz podać ich związki z wektorami prędkości liniowej i przyspieszenia liniowego w ruchu obrotowym.
Średnia prędkość kątowa ω punktu P dla określonego przedziału czasu: ω = θ2 - θ1 / t2 - t1 = Δθ / Δt
Chwilowa prędkość kątowa: ω = lim* Δθ / Δt = dθ / dt
Jeżeli prędkość kątowa nie jest stała, to ciało doznaje przyspieszenia kątowego. Chwilowe (rzeczywiste ) przyspieszenie kątowe jest to pochodna prędkości kątowej po czasie lub druga pochodna drogi kątowej po czasie. = lim Δω / Δt = dω / dt
Zależność między wartościami bezwzględnymi prędkości liniowej i kątowej: V = ω * r Prędkość liniowa w ruchu kołowym równa się iloczynowi odległości r od osi obrotu i prędkości kątowej. dV/ dt = dω / dt *r at = r Wartość bezwzględna składowej stycznej prędkości punktu materialnego będącego w ruchu kołowym jest iloczynem przyspieszenia kątowego i odległości r punktu od osi obrotu. 2. Zdefiniować moc dla przemieszczenia liniowego i przemieszczenia związanego z obrotem. Szybkość wykonywania pracy jest to moc. Średnia moc dostarczana przez jakieś urządzenie jest równa całkowitej pracy wykonanej przez to urządzenie podzielonej przez całkowity przedział czasu. P = W / t Moc chwilowa : P = dW / dt P = lim ΔW /Δt = lim F* Δr /Δt = F * r
Dla przemieszczenia związanego z obrotem otrzymujemy: P = lim ΔW /Δt = lim N* Δ /Δt = N * ω gdzie : N = r F - moment siły 3. Zbudować równanie ruchu wahadła matematycznego oraz równanie przybliżone dla małych wychyleń w oparciu o zasadę zachowania energii mechanicznej. Wahadło matematyczne jest to punkt materialny o masie m zawieszony na nierozciągliwej nici o dł. L. Siłę ciężkości rozkładamy na dwie składowe równoległą i prostopadłą do nici. Wyprowadzamy punkt m z położenia równowagi odchylając nić o bardzo mały kąt
|
Zestaw 4: 1. Definicja pola potencjalnego. Pole grawitacyjne: Pole grawitacyjne:
M - jest to kula, również może być to planeta. Na ciało m działa siła przyciągana : F = G* M*m / r2 G = 6,672 * 10 -11 N*m2 / kg2 - stała uniwersalna powszechnego ciążenia Ciało M wytwarza „ linię sił ”, są to linie wzdłuż których leżą siły działające na ciało m . Linie sił rozchodzą się promieniami ku środkowi kuli, tworząc pole grawitacyjne. W każdym punkcie pole działa na ciało siła F = m*a, gdzie: a - oznacza przyspieszenie ciała m gdy było swobodnym (a = F / m). Nazywa się inaczej natężeniem pola grawitacyjnego w danym punkcie. Pole potencjalne: g = F / m - natężenie pola grawitacyjnego g= - G*M/(r- r )*B(r- r ) = -V*(-G*M / (r - r )) = -V* f (r ) f( r ) = - G*M / ( r - r ) - potencjał pola grawitacyjnego
Potencjał ten zależy od położenia punktu względem źródła pola i masy wytworzonej przez to pole: g = -V f Na podstawie tego związku stwierdzamy, że pole wektora natężenia pola grawitacyjnego jest polem potencjalnym.
2. Podać definicję energii potencjalnej w polu sił potencjalnych. Energia potencjalna w polu sił potencjalnych - jest to praca wykonana przez siły zewnętrzne przy przemieszczaniu cząstki materialnej z położenia Po do P (x,y,z). Dodać należy, że praca w polu sił potencjalnych jest niezależna od drogi po której przemieszczona jest cząstka. Ep (x, y ,z) = WPo→P =Po∫P (F dr = - Po∫P F dr F - jest siłą z jaką pole działa na cząstkę. Potencjalne pole siły - praca na drodze zamkniętej = są 0 ∫ F dr = 0
WACBDA= 0 ; ACB∫ F dr = BDA∫ F dr WACB + WBDA= 0 WACB = - WBDA; ACB∫ F dr = ADB∫ F dr
WACB = WADB
Ep(x,y,z,) = Po P∫ Fz dr = Po∫P Fz dr = - Po∫P F dr
Siła zachowawcza - jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który porusza się na dolnej drodze zamkniętej jest równa zero. F=[ 0,0,-mg ] ; Po= [ 0,0,0 ] ; P= [ 0,0,2 ]
Ep(x,y,z) = 0∫z mg dz = mgz F Ep Ep (x,y,z) = - Po∫P F dr
Z równania tego wynika, że możemy obliczyć Ep tylko wtedy, gdy siła F zależy jedynie od położenia punktu materialnego ( tzn. od stanu układu ). Jest to równoznaczne, ze stwierdzeniem, że energia potencjalna ma znaczenie jedynie dla sił zachowawczych.
3. Prawo dynamiki ruchu postępowego układu N cząstek materialnych w inercjalnym układzie odniesienia. Zasada zachowania pędu dla układu N cząstek. Dla układu N cząstek możemy zapisać II zasadę dynamiki w następujący sposób: Suma wszystkich sił zewnętrznych działających na poszczególne punkty układu równa się pochodnej po czsie wypadkowego pędu punktów układu: F= dp / dt ; gdzie F = Fi ; zaś p = mi*Vi Prawo to jest równoważne tzw. Prawu ruchu środka masy: F = M*a Gdzie: F = Fi - jest sumą wektorową sił działających na układ N cząstek M - masą całkowitą układu N cząstek Jeżeli na układ nie działają siły zewnętrzne lub suma jest = 0, wówczas środek masy układu porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku: p = mi*Vi = const. Układ na który nie działają siły zewnętrzn. lub wypadkowa jest równa 0 - nazywamy układem odosobnionym.
Pęd całkowity układu N cząstek: P = p1 + p2 + ... pn = m1*V1+ m2*V2 + ... mn*
|
|