Ruch obrotowy bryły sztywnej

Podstawowe pojęcia:

1. Bryła sztywna

2. Moment siły

3. Moment pędu

4. Moment bezwładności

Bryła sztywna

Bryłą sztywną nazywamy takie ciało, w którym wszystkie punkty mają zawsze względem siebie stałe odległości.

nie zależy od czasu i nie zmienia się pod wpływem sił działających

Ciała rozciągłe (bryły sztywne) będziemy rozpatrywać jako układy punktów materialnych (dzieląc w myśli bryłę sztywną na bardzo małe elementy).

Ruch obrotowy Torami punktów P1 i P2 są okręgi współśrodkowe.

Moment siły

 moment siły F przyłożonej w punkcie P względem punktu O

Jeśli M₁ = M₂, to M = 0

Ciało mogące obracać się wokół danej osi, znajduje się w stanie równowagi, jeżeli algebraiczna suma momentów sił względem tej osi jest równa zero.

Para sił

Moment pary sił nie zależy od wyboru punktu względem którego go badamy.

Moment pędu

gdzie: l - moment pędu punktu P względem punktu O

Moment pędu względem dowolnego punktu O pojedynczego punktu materialnego P, poruszającego się ze stałą prędkością, pozostaje stały podczas ruchu.

Moment pędu punktu materialnego względem osi.

Wyznaczamy moment pędu punktu materialnego P względem punktu O leżącego na osi.

Wartość
wynosi:

Rozłóżmy
na dwie składowe
i
. Wykażemy, że składowa
nie zależy od wyboru punktu O na osi.

ale
, stąd

Z rysunku widać, że
zatem
. Ponieważ

Momentem pędu punktu materialnego względem osi nazywamy składową (równoległa do osi) momentu pędu wyznaczonego względem dowolnego punktu tej osi.

Składowa
zależy od wyboru punktu O.

Moment pędu względem osi układu punktów materialnych

Oś ośrodka przechodzi przez środek mas

Ponieważ S jest środkiem mas, więc
. Zatem

Oznaczymy
, zaś
. Możemy zapisać
;
.

Jeśli dany układ punktów materialnych:
odległych od osi obrotu o
, to wówczas

nazywamy momentem bezwładności ciała względem danej osi obrotu.

Przykłady obliczania momentu bezwładności względem danej osi:

Sztywna, cienka obręcz o promieniu r obracająca się dookoła stałej osi prostopadłej do płaszczyzny obręczy i przechodzącej przez jej środek mas. gdzie: m - masa obręczy

Cienki jednorodny pręt, wirujący wokół osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez środek mas.




gdzie:

l	- długość pręta
m	- masa pręta
ρ	- gęstość
S	- pole poprzecznego przekroju







Twierdzenie Steinera




gdzie:


 moment bezwładności bryły względem tej osi




Moment bezwładności bryły względem osi OO' jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej od OO' i przechodzącej przez środek mas oraz iloczyny masy ciała przez kwadrat odległości obu osi.

Prawa ruchu obrotowego bryły sztywnej

Szybkość zmiany momentu pędu równa się momentowi siły wypadkowej działającej na punkt o masie m.

W przypadku układu punktów materialnych (bryły sztywnej):




Ponieważ:




gdzie:


 przyśpieszenie kątowe




Jeśli
, to
, zaś


Zasada zachowania pędu

Energia kinetyczna w ruchu obrotowym

Uwaga

W przypadku rozpatrywanej obręczy
ma ten sam kierunek co wektor
. Słuszny był wzór:




Z sytuacją taką mamy do czynienia wtedy, gdy spełnione są następujące warunki: ruch obrotowy zachodzi dookoła stałej osi, przechodzącej przez środek masy ciała i będącej jego osią symetrii.

Ciała o symetrii obrotowej nazywamy bąkami. Jeśli moment sił zewnętrznych
, bąk nazywamy swobodnym.

Oś obrotu, względem której moment bezwładności przyjmuje wartość maksymalną, jest stabilną osią obrotu.

Stabilna oś obrotu

Niestabilna oś obrotu

Bąk pod działaniem sił zewnętrznych

Wektor
, a razem z nim oś symetrii obręczy, obróci się dookoła osi X! Zjawisko to nosi nazwę efektu giroskopowego.

Zmienia się tylko kierunek wektora momentu pędu

Rozważmy ruch bąka w polu siły ciężkości

Pod wpływem momentu siły
działającego w czasie
, moment pędu bąka zmienia się o
.




Wektor
wykonuje ruch precesyjny. Oś obrotu, wektor
zakreślają powierzchnię stożka. Koniec
porusza się po okręgu.

Prędkość kątowa precesji:




ale
, zaś
. Zatem otrzymujemy:




Częstość precesji jest niezależna od ϕ.

Ruch postępowo-obrotowy bryły sztywnej

Toczenie np. walca można opisać jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego lub jako „czysty” ruch obrotowy dookoła chwilowej osi.







	Energia kinetyczna w ruchu obrotowym wokół osi przechodzącej przez środek masy S
	Energia kinetyczna ruchu postępowego

Ruch ciała złożony z ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego względem osi przechodzącej przez środek ma masy jest równoważny czystemu ruchowi obrotowemu zachodzącemu z tą samą prędkością kątową dookoła osi przechodzącej przez punkt zetknięcia z powierzchnią, po której może się on toczyć bez poślizgu.

Ruch postępowy	Ruch obrotowy
przesunięcie	kąt obrotu
prędkość	prędkość kątowa
masa m	moment bezwładności I
pęd	moment pędu
siła	moment siły
podstawowe prawo:	podstawowe prawo:
energia kinetyczna:	energia kinetyczna:

Ruch obrotowy bryły sztywnej • Fizyka 2002 - 2003

4




---