ELEMENTY STATYSTYKI - WYKŁAD 2 22.10.2011

MIARY ZRÓŻNICOWANIA- służą do oceny w jakim stopniu wartości badanej zmiennej odchylają się od wartości przeciętnej tej zmiennej

X – płace w tys. zł.

A	1 2 3 4 5
B	1 3 3 3 3
C	3 3 3 3 3

$$\overset{\overline{}}{x} = 3$$

$$\overset{\overline{}}{x} = 3$$

$$\overset{\overline{}}{x} = 3$$

1.ROZSTĘP – jedna z miar zróżnicowania. Miara charakteryzująca empiryczny obszar zmienności badanej cechy

R = X max – X min

2.WARIANCJA

SZEREG SZCZEGÓŁOWY:

$$s^{2}\left( x \right) = \frac{\sum_{i = 1}^{k}\left( x_{i} - \ \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}{N}$$

SZEREG ROZDZIELCZY:

$$s^{2}\left( x \right) = \frac{\sum_{i = 1}^{k}{\left( x_{i} - \ \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}*n_{i}}}{N}$$

Własności miary wariancji

1.Wariancja jest zawsze liczbą nieujemną s²(x) ≥ 0

2. Wariancja jest liczbą mianowaną, której jednostka jest wyrażona w kwadratach

3. ODCHYLENIE STANDARDOWE – wariancja jest miarą, której się nie interpretuje. Stanowi ona podstawę do obliczania ODCHYLENIA STANDARDOWEGO.

$$\text{s\ }\left( x \right) = \sqrt{s^{2}}(x)$$

S(x) – informuje o ile przeciętne rzecz biorąc wartości badanej zmiennej odchylają się od średniej arytmetycznej.

ZADANIE:

Zbadaj zróżnicowanie tego rozkładu (szereg przedziałowy).

Wiek w latach xi	Liczba studentów ni	xi	xi * ni	$x_{i} - \overset{\overline{}}{x}$	${(\ x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}$	${(\ x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}*n_{i}$
20-24	10	22	220	-8	64	640
24-28	20	26	520	-4	16	320
28-32	40	30	1200	0	0	0
32-36	20	34	680	4	16	320
36-40	10	38	380	8	64	640
OGÓŁEM	100	-	3000	-	-	1920

A/. Oceń zróżnicowanie tego rozkładu - czyli oblicz i zinterpretuj wartość odchylenia standardowego.

$$\text{s\ }\left( x \right) = \sqrt{s^{2}}(x)$$

$$s^{2}\left( x \right) = \frac{\sum_{i = 1}^{k}{\left( x_{i} - \ \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}*n_{i}}}{N}$$

$\overset{\overline{}}{x\ } = \frac{\sum_{}^{}{x_{i}*n_{i}}}{N} = \frac{3000}{100} = 30$

$s^{2}\left( x \right) = \frac{1920}{100} = 19,2\ $to są lata do kwadratu – nie interpretujemy tej miary!!!

$$s\left( x \right) = \sqrt{19,2} = 4,4\ lata$$

ODP. Wiek studentów odchyla się od średniego wieku przeciętnie rzecz biorąc o 4,4 lat.

LUB:

Przeciętne odchylenie od średniej arytmetycznej (np.: płacy, liczby punktów, itd.) wieku wynosi 4,4 lat.

4.ODCHYLENIE PRZECIĘTNE :

SZEREG SZCZEGÓŁOWY:

$$d\left( x \right) = \frac{\sum_{i = 1}^{N}\left| x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right|}{N}$$

SZEREG ROZDZIELCZY:

$$d\left( x \right) = \frac{\sum_{i = 1}^{N}\left| x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right|*n_{i}}{N}$$

5.WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI – względna miara zróżnicowania.

JEŚLI W ZADANIU JEST OCEŃ ZRÓŻNICOWANIE TO MOŻEMY SOBIE WYBRAĆ CZY OBLICZYĆ TO ODCHYLENIEM PRZECIĘTNYM , CZY STANDARDOWYM!!!

$V_{z} = \frac{s(x)}{\overset{\overline{}}{x}}$*100

$V_{z} = \frac{d(x)}{\overset{\overline{}}{x}}$*100

ZASTOSOWANIE:

1.Gdy chcemy ocenić zróżnicowanie TEJ SAMEJ zbiorowości pod względem kilku różnych cech (np. badamy pracowników ze względu na płacę, staż pracy i wydajność).

2. Gdy chcemy ocenić zróżnicowanie KILKU ZBIOROWOŚCI pod względem tych samych cech.

KOBIETY	MĘŻCZYŹNI
$$\overset{\overline{}}{X} = 11\ SZTUK$$	$$\overset{\overline{}}{X} = 15\ SZTUK$$
S(x)=5 sztuk	S(x)=5 sztuk

$$V_{z} = \frac{5}{11}*100 = 45\ \ \ \ \ > \ \ \ \ \ \ V_{z} = \frac{5}{15}*100 = 33$$

Odp. Kobiety wykazują większe zróżnicowanie w wypalaniu papierosów dziennie.

xi	ni	$${\hat{x}}_{i}$$	$${\hat{x}}_{i} - \overset{\overline{}}{x}$$	$$\left| {\hat{x}}_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right|$$	$$\left| {\hat{x}}_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right|*n_{i}$$
20-24	10	22	-8	8	80
24-28	20	26	-4	4	80
28-32	40	30	0	0	0
32-36	20	34	4	4	80
36-40	10	38	8	8	80
Σ	100	-	-	-	320

$$d\left( x \right) = \frac{\sum_{i = 1}^{N}\left| x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right|*n_{i}}{N} = \frac{320}{100} = 3,2\ lat$$

Odp. Przeciętne odchylenie odchyla się od średniej arytmetycznej o 3,2 lat.

$V_{z} = \frac{s(x)}{\overset{\overline{}}{x}}$*100 $V_{z} = \frac{d(x)}{\overset{\overline{}}{x}}$*100

$V_{z} = \frac{4,4}{30}*100 = 14,7\%$ $V_{z} = \frac{3,2}{30}*100 = 10,7\%$

Pyt. Jaki procent średniej arytmetycznej stanowi odchylenie standardowe?

Odp. 14,7% średniej arytmetycznej wieku stanowi odchylenie standardowe. Zróżnicowanie w rozkładzie jest małe.

Vz (%)	ZRÓŻNICOWANIE
Do 20%	Małe
20 – 40%	Średnie
40-60%	Duże
Powyżej 60%	Bardzo duże

MIARY ASYMETRII – służą do oceny kierunku i stopnia odchylania się rozkładu badanej zmiennej od rozkładu symetrycznego.

1.ROZKŁAD SYMETRYCZNY:

$\overset{\overline{}}{x} = Me = D$

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{x} - D = 0$$

$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{x} = Me = D$

2.ROZKŁAD LEWOSTRONNIE ASYMETRYCZNY:

$\overset{\overline{}}{x}\ < Me < D$

$\overset{\overline{}}{x} - D < 0$

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{x}\text{\ \ \ \ \ \ \ Me\ \ \ \ \ \ D\ \ \ }$$

3. ROZKŁAD PRAWOSTRONNIE ASYMETRYCZNY:

$\overset{\overline{}}{X} > Me > D$

$\overset{\overline{}}{x} - D > 0$

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ D\ \ \ \ \ \ \ \ Me\ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{x}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

1.WSPÓŁCZYNNIK SKOŚNOŚCI PEARSONA:

$A_{s} = \frac{\overset{\overline{}}{x} - D}{S(x)}$ A_s ∈ < − 1, 1>

As	KORELACJA
Do 0,2	Bardzo słaba
0,2 – 0,4	Słaba
0,4 – 0,8	Umiarkowana
Powyżej 0,8	Silna

ZADANIE:

X – płace z złotówkach

$\overset{\overline{}}{x}$ = 3600

D= 3000

S(x)= 1000

Ocenić kierunek i siłę asymetrii, zinterpretować wszystkie wyniki.

Odp. Średnia płaca wynosi 3600 zł, najczęstsze płaca wynosi 3000zł, przeciętne odchylenie od średniej arytmetycznej płac wynosi 1000 zł.

$A_{s} = \frac{\overset{\overline{}}{x} - D}{S(x)} = \ \frac{3600 - 3000}{1000} = 0,6$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ D\ \ \ \ \ \ \ \ < \ \ \ \ \ \ \ \overset{\overline{}}{x}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$

Odp. Rozkład płac charakteryzuje się umiarkowaną asymetrią prawostronną. Większość pracowników ma płacę poniżej średniej arytmetycznej.

OPISOWE METODY ANALIZY WSPÓŁZALEŻNOŚCI ZJAWISK:

1. ZALEŻNOŚĆ FUNKCYJNA – kiedy określonej wartości jednej zmiennej (zmienna niezależna x) odpowiada ściśle określona jedna i tylko jedna wartość drugiej zmiennej (zmienna zależna y)

y = f(x)

2.ZALEŻNOŚĆ STOCHASTYCZNA-konkretnym wartościom zmiennej niezależnej x odpowiadają różne wartości zmiennej zależnej y.

y = f(x)+ε gdzie ε to składnik losowy

3.ZALEŻNOŚĆ KORELACYJNA (statystyczna) – określonym wartościom jednej zmiennej przyporządkowane są średnie z kilku wartości drugiej zmiennej.

$$\overset{\overline{}}{y} = f\left( x \right) + \varepsilon$$

RODZAJE ZALEŻNOŚCI KORELACYJNYCH:

1.ZE WZGLĘDU NA LICZBE BADANYCH ZMIENNYCH:

- związki pomiędzy dwoma zmiennymi,

-związki między więcej niż dwoma zmiennymi.

2.ZE WZGLĘDU NA KSZTAŁT ZWIĄZKU KORELACYJNEGO:

-związki prostoliniowe, które dzielimy na

-dodatnie, tzn.: X↑ i Y↓ lub X↓ i Y↑

-ujemne, tzn.: X↑ i Y↓ lub X↓ i Y↑

-związki krzywoliniowe

3.ZE WZGLĘDU NA CHARAKTER POWIĄZAŃ MIĘDZY ZMIENNYMI WYRÓŻNIAMY:

-związki jednostronne X → Y lub X ←Y

-związki dwustronne X ↔Y

SPOSOBY PRZEDSTAWIANIA MATERIAŁU STATYSTYCZNEGO:

1.LICZBA OBSERWACJI MAŁA N ≤ 30

xi	x1	x2	…	xN
yi	y1	y2	…	yN

Np.: 7 uczniów rozwiązywało dwa testy psychologiczne. Ilość punktów była następująca:

Test x	20	19	18	18	17	16	15
Test y	19	20	20	18	17	15	15

2.LICZBA OBSERWACJI DUŻA N > 30 ( tablica korelacyjna)

yi xi	y1	y2	…..	y5	ni.
x1	n11	n12	…..	n1s	n1.
x2	n21	n22	….	n2s	n2.
…..	…..	…..	…..	….	….
…..	…..	…..	…..	….	….
…..	…..	…..	…..	…..	….
xr	nr1	nr2	…..	nrs	nr.
n.j	n. 1	n.2	…..	n.s	N

n.j – liczebności brzegowe występowania wartości zmiennej Y

n_1.- liczebności brzegowe występowania wartości zmiennej X

j= 1,2, . . . , y

j= 1,2, . . ., s

PRZYKŁAD:

Studentów trzeciego semestru studiów podyplomowych z informatyki szkolnej poddano oddzielnym badaniom dotyczącym wiedzy teoretycznej z metodyki prowadzenia zajęć z technologii informacyjnej (TI( w szkole podstawowej oraz umiejętności praktycznego prowadzenia lekcji z TI w klasie piątej.

X – wiedza teoretyczna Y – umiejętności

yi xi	0-10	10-15	15-20	20-25	ni.
20-40	3				3
40-60	2	4			6
60-80		9	10		19
80-100			3	7	10
n.j	5	13	13	7	38

OKREŚLENIE KSZTAŁTU ZWIĄZKU KORELACYJNEGO:

1.WYKRES ROZRZUTU – SZEREGI SZCZEGÓŁOWE (Xi, yi)

A.KORELACJA LINIOWA DODATNIA- jeśli da się objąć elipsą lub przeprowadzić prostą najbliżej tych punktów, to jest prostoliniowe, jak rośnie w górę, to jest dodatnia:

Y

X

B.KORELACJA LINIOWA UJEMNA:

Y

X

C.KORELACJA KRZYWOLINIOWA:

Y

X

D.BRAK KORELACJI (ZALEŻNOŚCI):

Y

X

MIARY KORELACJI:

1.WSPÓŁCZYNNIK KARELACJI PEARSONA – służy do badania wyłącznie związków prostoliniowych:

$$r_{\text{xy}} = \frac{cov\ (x,y)}{S\left( x \right)*S(y)}$$

cov (x,y) – kowariancja między zmiennymi X i Y.

A.DLA SZEREGU SZCZEGÓŁOWEGO:

$$r_{\text{xy}} = \frac{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)*\left( y_{i} - \overset{\overline{}}{y} \right)}{\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}*}\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}\left( y_{i} - \overset{\overline{}}{y} \right)^{2}}}}$$

WŁASNOŚCI r_xy:

1.MIARA NIEMIANOWANA < − 1,   + 1>

2.DO INTERPRETACJI UŻYWA SIĘ tzw. WSPÓŁCZYNNIKA DETERMINACJI. d =  r_xy² * 100

STOPIEŃ ZALEŻNOŚCI:

Poniżej 0,2	Słaba
0,2-0,4	Niska
0,4-0,7	Umiarkowana
0,7-0,9	Silna
Powyżej 0,9	Bardzo silna