1. Rodzaje więzów

Więzy	Niestacjonarne	Stacjonarne
Różniczkowe (kinematyczne)	$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{\text{i\ }}},\overset{\overline{}}{v_{i}},t \right) = 0$$	$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{\text{i\ }}},\overset{\overline{}}{v_{i}} \right) = 0$$	anholonomiczne
Skończone (geometryczne)	$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{\text{i\ }}},t \right) = 0$$	$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{\text{i\ }}} \right) = 0$$	holonomiczne
	Reonomiczne	Skleronomiczne	układy

r_i - wektor wodzący
v_i - prędkość
t - czas

Więzy mogą być:

Dwustronne

$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{v}},\overset{\overline{}}{v_{v}},t \right) = 0,\ \propto = (1,2,\ldots k)$$

Jednostronne ("bardziej swobodne")

$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{v}},\overset{\overline{}}{v_{v}},t \right) \leq 0,\ \propto = (1,2,\ldots k)$$

$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{v}},\overset{\overline{}}{v_{v}},t \right) \geq 0,\ \propto = (1,2,\ldots k)$$

Idealne (gładkie) składowe styczne reakcji więzów są równe zeru.

1. Współrzędne uogólnione

Współrzędne uogólnione służą do jednoznacznego opisu ruchu układu materialnego ograniczonego pewną ilością więzów. Na podstawie równania określającego ilość stopni swobody N=s=3n-k możemy wyrazić 3n współrzędnych w funkcji minimalnej liczby szczególnych współrzędnych, równej liczbie N stopni swobody ruchu układu, są to tzw. współrzędne uogólnione.

1. Siły uogólnione

Praca wirtualna uogólnionych sił na odpowiednich przemieszczeniach uogólnionych przygotowanych równa się pracy przygotowanej sił działających na układ.

$$\delta L = \sum_{i = 1}^{n}{\overset{\overline{}}{F_{i}}\delta\overset{\overline{}}{r_{i}} = \sum_{j = 1}^{N}{Q_{j}\delta q_{j} \rightarrow Q_{j} = \sum_{i = 1}^{n}{\overset{\overline{}}{F_{i}} \bullet \frac{\partial\overset{\overline{}}{r_{i}}}{\partial q_{i}}}}}$$

j=1,2,...,k
i=1,2,...,n

Wzór ten jest praktycznym wzorem służącym do wyznaczania wszystkich współrzędnych Qj wektora siły uogólnionej Q dla dowolnych n wektorów aktywnych Fi.

Siła uogólniona sił bezwładności

$$Q_{j}^{B} = - \sum_{i = 1}^{n}m_{i}(\ddot{x_{i}}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}} + \ddot{y_{i}}\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{j}} + \ddot{z_{i}}\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{j}})$$

1. Żyroskop

Symetryczne ciało sztywne poruszające się ruchem kulistym, przy czym środek ruchu kulistego A leży na osi symetrii.

1. Podział układów ze względu na więzy

Układ holonomiczny - skrępowany jedynie więzami geometrycznymi - nie zależą od prędkości ale mogą zależeć jawnie od czasu

$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{\text{i\ }}},t \right) = 0$$

$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{\text{i\ }}} \right) = 0$$

Układ nieholonomiczny - równania więzów zależą od prędkości

$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{\text{i\ }}},\overset{\overline{}}{v_{i}},t \right) = 0$$

$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{\text{i\ }}},\overset{\overline{}}{v_{i}} \right) = 0$$

Układ skleronomiczny - skrępowany jedynie więzami stacjonarnymi (czas nie występuje)

$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{\text{i\ }}},\overset{\overline{}}{v_{i}} \right) = 0$$

$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{\text{i\ }}} \right) = 0$$

Układ reonomiczny - skrępowany tak jak skleronomiczny ale zależy także od czasu

$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{\text{i\ }}},\overset{\overline{}}{v_{i}},t \right) = 0$$

$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{\text{i\ }}},t \right) = 0$$

1. Dwa punkty na płaszczyźnie połączone prętem - ile mają stopni swobody?

N=s=3n-k

1. Dyskretny układ mechaniczny

1. Dany jest pewien zbiór n punktów materialnych [m,r] (i=1,2,...,n) zanurzonych w przestrzeni trójwymiarowej

2. Istnieje zbiór więzów ograniczających ruch punktów postaci pewnej liczby k równań więzów ogólnej postaci

$$g_{\propto}\left( \overset{\overline{}}{r_{v}},\overset{\overline{}}{v_{v}},t \right) = 0,\ \propto = (1,2,\ldots k)$$

3. Na każdy i-ty punkt układu działa pewna wypadkowa sił aktywnych P_i ogólnej postaci

$$\overset{\overline{}}{P_{i}} = \overset{\overline{}}{P_{i}}\left( \overset{\overline{}}{r_{v}},\overset{\overline{}}{v_{v}},t \right) = 0,\ i = (1,2,\ldots n)$$

Parametr v przyjmować może wszystkie wartości od v=1 do n,... r_v - wektor wodzący,
v_v - prędkość, t - czas.

1. Równania Lagrange'a II rodzaju

$$\frac{d}{\text{dt}}\frac{\partial E}{\partial{\dot{q}}_{j}} - \frac{\partial E}{\partial q_{j}} = Q_{j}$$

1. Ogólne równanie dynamiki

Jeżeli układ punktów materialnych jest skrępowany więzami holonomicznymi i nieholonomicznymi dwustronnymi oraz doskonałymi, to praca sił zewnętrznych i sił bezwładności na przesunięciach przygotowanych jest równa zeru.

$$\sum_{i = 1}^{n}{\overset{\overline{}}{R_{i}}\delta\overset{\overline{}}{r_{i}} = \overset{\overline{}}{R} \bullet \delta\overset{\overline{}}{r} = 0,\ \overset{\overline{}}{R}\bot\delta\overset{\overline{}}{r}}$$

Jeśli układ ma więzy to II zasada Newtona jest postaci

$$m_{i}\ddot{\overset{\overline{}}{r_{i}}} = \overset{\overline{}}{P_{i}} + \overset{\overline{}}{R_{i}}$$

$$\sum_{i = 1}^{n}{\left( m_{i}\ddot{\overset{\overline{}}{r_{i}}} - \overset{\overline{}}{P_{i}} \right)\delta\overset{\overline{}}{r_{i}} = 0 \rightarrow}\sum_{i = 1}^{n}{\left( {\overset{\overline{}}{P_{i}} - m}_{i}\ddot{\overset{\overline{}}{r_{i}}} \right)\delta\overset{\overline{}}{r_{i}} = 0 \rightarrow \sum_{i = 1}^{n}{\left( {\overset{\overline{}}{F_{i}} - m}_{i}\ddot{\overset{\overline{}}{r_{i}}} \right)\delta\overset{\overline{}}{r_{i}} = 0}}$$

Ogólne równanie mechaniki, zasada d'Alemberta

$$\sum_{i = 1}^{n}{\left( X_{i} - m_{i}\ddot{x_{i}} \right)\delta x_{i}} + \sum_{i = 1}^{n}{\left( Y_{i} - m_{i}\ddot{y_{i}} \right)\delta y_{i}} + \sum_{i = 1}^{n}{\left( Z_{i} - m_{i}\ddot{z_{i}} \right)\delta z_{i}} = 0$$

1. Zasada prac przygotowanych

Jeżeli układ N punktów materialnych skrępowany jest więzami holonomicznymi, skleronomicznymi, dwustronnymi i doskonałymi, to warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi układu jest aby praca sił zewnętrznych Fi na przesunięciach przygotowanych ri czyli praca przygotowana sił zewnętrznych była równa zeru.

Zasadę prac przygotowanych uważamy za zasadę wariacyjną, ponieważ bierze się w niej pod uwagę nie jedną konfigurację układu, lecz zbiór konfiguracji dopuszczalnych przez więzy.

Położenie statyczne - bezruch, ruch dla którego

$$\ddot{\overset{\overline{}}{r_{i}}} = \dot{\overset{\overline{}}{r_{i}}} = \overset{\overline{}}{0}$$

$$\sum_{i = 1}^{n}{\left( {\overset{\overline{}}{F_{i}} - m}_{i}\ddot{\overset{\overline{}}{r_{i}}} \right)\delta\overset{\overline{}}{r_{i}} = 0}\ \rightarrow \sum_{i = 1}^{n}{\overset{\overline{}}{F_{i}}\delta\overset{\overline{}}{r_{i}} = 0}\text{\ \ }\frac{dla\ ukl}{\text{skler.}}\text{\ d}\overset{\overline{}}{r_{i}} = 0$$

Na to by pewne (zgodne z więzami) położenie układu było jego położeniem równowagi, potrzeba i wystarcza by w tym położeniu suma prac sił aktywnych na dowolnych przemieszczeniach wirtualnych była równa zeru.

Przesunięcia przygotowane - nieskończenie małe przesunięcie zgodne z więzami (często intuicyjne).